小学奥数教学立体几何.docx

1、小学奥数教学立体几何立体图形 立体图形的表面积和体积公式长方体和正方体如右图，长方体共有六个面 （每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.1在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形. ）2长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积： S长方体=2（ab亠beca）;长方体的体积：V长方体abC .3正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形. 如果它的棱长为a ,那么： S正方体=6 a , V正方体=a .二、圆柱与圆锥立体图形表面积体积f二刁h 圆柱匕工S圆柱=侧面积+2个底面积=2 xh +2 22V圆柱

2、=X h/ 圆锥-丄一S圆锥=侧面积+底面积= 2 + 2360注：1是母线，即从顶点到底面圆上的线段 长1 2V圆锥体 h3【例1】 如右图，在一个棱长为 10的立方体上截取一个长为 8,宽为3,高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？/O /卸叵/【例2】右图是一个边长为 4厘米的正方体，分别在前后、左右、上 下各面的中心位置挖去一个边长 I厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米 ？（图中只画出了前面、 右 面、上面挖去的正方体）练习：在一个棱长为 50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖 去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多 少？【例3】下图是

3、一个棱长为 2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为L厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相2同为L厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘4米？【例4】一个正方体木块， 棱长是1米，沿着水平方向将它锯成 2片，每片又锯成3长条, 每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体 24块，那么这24块长方体的表面27个小长方体表面积的和积之和是多少?（锯一次增加两个面）练习 一个表面积为56cm 2的长方体如图切成 27个小长方体，这 是 Cm 2 .表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小【例5】如图，25块边

4、长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少?体积:例1. 如图11-6 ,从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米 ？例2. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱， 并用尼龙编织条如图 11-9所示在三个方向上加固所用尼龙编织条的长分别为 365厘米、405厘米、485厘米.若每个尼龙条加固时接头处都重叠 5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米 ？图 11-9例1. 如图，在一个棱长为个立体图形的表面积5分米的正方体上放一个棱长为 4分米的小正方体，求这例2.如图，棱长分别为1厘米、2厘米、

5、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则例5.下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。例6. 体积的等积变形 水中浸放物体：V升水=V物 测啤酒瓶容积：V=V空气+V水例1.有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是 6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、 小水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6厘米和4米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米例2.在一只底面半径是 10厘米的圆柱形瓶中，水深是 8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块。把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？例3.在一个圆柱形储水桶里，放进一段半径是 5厘米的

6、圆钢，如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升 9厘米，如果把水中圆钢露出 8厘米长，那么这时桶里的水面就下降4厘米。问这段圆钢的体积是多少？视图与展开图 最短线路与展开图形状问题例1在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来图2例2在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图?图1 图2 图M 图电例3右图是一个立方体纸盒的展开图, 点重合？当折叠成纸盒时，1点与哪些例4.在下列各图中，哪些是正方体的展开图?(11)SC17)ino)4)例5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图?（单位：厘米）例7.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形 （不包括瓶颈），如图.已

7、知它的容积为 26.4 立方厘米.当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米.问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？例8. 一个酒瓶里面深30cm ,底面内直径是IOcm ,瓶里酒深15cm .把酒瓶塞紧后使其瓶 口向下倒立这时酒深 25cm .酒瓶的容积是多少？ （ 取3）例1.右图是由120块小立方体构成的4 56的立方体，如果将其表面涂成红 色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？一般地，当a，b，C都不小于2时，对于a b C的立方体：三面涂有红色的小 立方体有8块；两面涂有红色的小立方体的块数是： (a-2) + (b-2)

8、+ (c-2 ) 4; 一面涂有红色的小立方体的块数是： (a-2 )(b-2) + (a-2) (c-2 )+ ( b-2) (c-2 ) 2;没有被涂上红色的小立方体的块数是： (a-2) (b-2)( C-2 ) o例2.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为 1厘米3的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有 3块。求原来长方体的体积。例3.棱长是m厘米(m为整数)的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1厘米的小正方体.至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13 :12 ,此时m的最小值是多少？例4.把一个大长方体木块表面上涂满红色后， 分割成

9、若干个同样大小的小正方体， 其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？例3.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式， 然后把露出的表面涂成红色.求被涂成红色的表面积.【例6】 把正方体的六个表面都划分成 9个相等的正方形.用红、黄、蓝三种颜色去染这 些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最 多有多少个？【解析】一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）.因为染有5个红色方格的面不能 相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 5个红色方格.其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色， 至多能染4个红色方格（见上中图）因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两 个面可以染成4个红色方格.最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色 方格（见右上图）所以，红色方格最多有 5 2 4 2 2 2 =22 （个）.