六同第三讲 直线型面积计算Word文档下载推荐.docx

1、a；梯形 S=（a+b） h2；三角形 S= a2。另外老师可以准备一些规则以及不规则的图形卡片，引导学生发现生活中实际有很多平面图形并不是规则的图形，那么我们该如何来求它们的面积呢？这就需要一定的方法了）下面就跟着老师走进今天的数学课堂，学完今天的内容大家就会豁然开朗了！那么我们一起来学习-直线型面积计算二、新课学习例1：（原例3）、已知长方形ABCD的面积是40平方厘米，AE=5cm，求BD的长。解析：可以很容易发现BD是三角形ABD的一条边，又因为AE为BD的高，那么在已知高的情况下如何求底边？利用公式三角形 S= a2变形得a=s2h。可以求得BD。三角形ABD的面积：402=20平方

2、厘米BD的长：205=8厘米小结：本题采用公式变形的方法计算出结果，称之定义法。例2：（原例1）、三角形ABC的面积为36平方分米,DC=2BD,求阴影部分的面积。由题意DC=2BD，可以理解成BD被分成3份，BD占1份，DC占2份，又因为三角形ADC和三角形ABD等高，所以三角形ADC是三角形ABD的2倍。36（1+2）2=24平方分米过渡：来看下一个例题可不可以用这个方法呢？例3、如图，在三角形ABC中，D是BC 的中点，AE=3ED，三角形ABC的面积为96平方厘米，求阴影部分。D为三角形ABC的底边BC 的中点，BD=CD，而且三角形ABD 和ADC等高，所以三角形ABD 和ADC面积

3、相等。也可以理解为AD把三角形ABC分成了面积相等的两部分，三角形ABD占一份。同样的，在三角形ABD中，底边AD上有这样的关系-AE=3ED，说明AD被分成了4等分，ED占一份，AE占3份，即三角形ABD被分成了面积相等的4部分，三角形ABE占3份。SABD=962=48平方厘米4843=36平方厘米通过以上两个例题，我们知道了同高三角形面积的份数关系等于底的分数关系（因为有些学生不知道比，所以老师们可以视班里学生情况总结）下面我们看下练习7练习：如下图，已知在三角形ABC中，BE=3AE，CD=2AD。若三角形ADE的面积为1平方厘米。求三角形ABC的面积。 这一题和刚才的两题就有点区别了

4、，题目中给出了边的份数关系和小三角形ADE的面积。我们要求大三角形ABC的面积。连接BD，我们还是从大三角形开始分析：CD=2AD，说明AC被分成了3等份，CD 占2份，即三角形ABC被分成了面积相等的3等份，三角形ABD占一份；BE=3AE,说明AB被分成了4等份，AE占一份，即三角形ABD的面积被分成了4等份，三角形ADE占一份。这样我们就找到了SADE与SABC的关系。1（3+1）=4（平方厘米）（2+1）=12（平方厘米）例4、下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，大正方形边长为5厘米，求三角形ABC的面积。这个题目只有小正方形的边长是已知的，而三角形ABC中有一部分

5、在小正方形中，还有一部分在大正方形中。如果我们能通过等量代换把三角形ABC全部都转换到小正方形中就好解决了。连接AD，显然ADBC,接下来怎么转化呢？我们把梯形ABCD单独拿出来讨论，发现，三角形ABD和ACD有公共的底AD，且它们的高相等（由于ADBC）。所以，SABD=SACD，而这两个三角形有一个公共的部分-三角形ADF，根据我们前面讲的，等式两边都减去SADF后所得结果仍然相等，联系图形，即SABF=SCDF。这是著名的蝶形定理中的一个性质。然后，我们就可以把三角形ABC全部转化到小正方形中了，SABC=SBCD。SABC=SBCD=442=8（平方厘米）答：三角形ABC的面积为8平方

6、厘米。这一题我们连接AD，利用两个正方形的对角线，找出一个梯形，然后再进行等量代换。把三角形ABC中的ABF割下来补到三角形CDF中，这样就用到了我们今天要学习的第二种方法-割补法，把不能直接求的面积转化为可以求的面积。这一题还要注意蝶形定理的运用。例5：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积.先看一个简单的加减法算式13=5+8，如果等式的两边都减去3，结果还会不会相等呢？（提问）其实这里面隐含着一个很重要的性质-两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍然相等，简称同减。现在我们来看这一题，阴影部分的面积不能直接求出，可以转化为ABC与DOC的面积差。A

7、BC和DEF是相同的三角形，所以SABC=SDEF；从图中看出，DOC是ABC和DEF的公共部分。根据我们前面的分析，可以得出SABC-SDOC =SDEF -SDOC，所以S阴=SOEFC。SOEFC=（10+7）2=17（平方厘米）阴影部分的面积为17平方厘米。例6、如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下地长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。已知条件只给出了大、小两个直角三角形的斜边长，可是求三角形的面积需要知道直角边长，怎么办呢？能不能想办法把直角边转化为直角边呢？题目所给的三角形非常特殊，等腰直角三角形，其底角为45度。我们将这个三

8、角形沿着其中一条直角边旋转180度，之后得到下图： 我们发现，三角形ABC和DEF仍然是等腰直角三角形，且这两个三角形的面积可以直接得出。然后根据我们刚才学习的等量代换的思想，可以计算出阴影部分的面积，然后再得出题目所求。SABC=992=40.5（平方厘米）SDEF=552=12.5（平方厘米）S阴=40.5-12.5=28（平方厘米）S梯=282=14（平方厘米） 这种方法我们利用了这里特殊的45度角，除了利用补图形的办法外，还有没有别的办法呢？求三角形的面积需要知道底边长和对应边上的高，我们给这个等腰三角形作高，大家有没有什么发现呢？（引导学生，让他们学会利用等腰直角三角形特殊的45度角

9、）如下图MN垂直于AC，三角形CNM和FHM也都是等腰直角三角形，MN=CN=AC2=4.5（厘米）MH=FH=CD2=2.5（厘米）HN=4.5-2.5=2（厘米）S梯=（5+9）这一题我们有两种方法，都是利用了等腰直角三角形中特殊的45度角，或者是旋转补图形，或者是作高。下面大家看练习题8在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。这一题和例题的条件很相似，只是例题中平行于底边剪掉一个三角形，而本题中则平行于一条直角边剪掉一个三角形。根据刚才的学习，大家应该对等腰直角三角形中特殊的45度角很有

10、好感了！因为它对我们解题很有帮助。与例题类似，我们先补图形，如下图：我们发现，三角形AOF， AEF，ABC都是等腰直角三角形。因为题目中告诉了直角梯形的上底，即OF=OE=3，AO=3，所以三角形AEF的面积可求。等腰梯形EFCB的面积也可求，这样就能求出三角形ABC的面积。根据三角形的面积计算公式，可以求出BC，AD，然后再求CD，OD，即下底和高。 （3+3）32=9（平方厘米） 362+9=81（平方厘米） BCAD2=CDAD=CDCD=81（平方厘米） CD= AD =9（厘米） OD=9-3=6（厘米） 答：下底为9厘米，高为6厘米。例7、在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的

11、面积。求矩形的面积我们必须知道其长和宽，而题目给出的条件与所求没有任何关系，所以我们要想办法把已知条件转化为我们可以用的量。 因为题目给出的是一个直角三角形，我们给它补一个相同的直角三角形，让它变成一个矩形，如下图： 我们发现，在矩形ABCD中，三角形ABC和ACD相等；在矩形AEOG中，三角形AOG和AOE相等；在矩形CFOH中，三角形COF和COH相等。根据等量代换的思想，SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG，即SBEOH=SDFOG。矩形DOFG的面积可以有已知条件求出，所以得解。 SBEOH=SDFOG=46=24在这一例中，我们利用对称的思想补图形，然后再进行等

12、量代换，得出题目所求。下面大家看练习题9，用类似的方法试试看。在下图中，长方形AEFD的面积是18平方厘米，BE长3厘米，求CD的长。这一题和例题非常的类似，只是把已知和求解调换了。同样的，我们先要补图形，如图和例题类似，在矩形ABGC中，三角形ABC和BGC相等；在矩形BEFM中，三角形BEF和BMF相等；在矩形CDFH中，三角形CDF和FHC相等。所以，SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC，即SAEFD=SGMFH SGMFH=FMHF=BECD CD=183=6（厘米）是不是所有的图形问题都可以用这种对称的思想解决呢？（提问）接下来我们看例8。例8、在下图中，平行四

13、边形ABCD的边长长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。同样的，我们先来看一个加法算式10=8+2，现在我在等号的两边同时加上4，所得到的新式子仍然相等吗？在这个变化过程中同样的包含一个重要的性质-两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍然相等，简称同加。现在我们看这一题，平行四边形的面积没办法直接求出，可以转化为阴影部分与梯形FGCB的和。由已知条件，有这样的等量关系：S阴=SEFG+10。由前面分析的性质，如果在等式的两边同时加上梯形FGCB的面积，等式仍然成立，即SFGCB+S阴=SFGC

14、B+SEFG+10。联系图形，我们发现，等式的左边是平行四边形ABCD的面积，右边的（SFGCB+SEFG）是三角形BEC的面积，即SABCD=SBEC+10。SABCD=1082+10=50（平方厘米）平行四边形的ABCD的面积为50平方厘米。例8中的图形面积都不能直接求出，我们通过转化为其他可求的图形才得以解决，这叫做等量代换，即一个量可以用它相等的量来代替。另外，在这两个例题中我们用到了两条重要的性质：两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍然相等；两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍然相等。这在以后的学习中也经常会用到，大家要掌握。下面我们看下练习10 。在下图中，AB=8

15、厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。由已知得出等量关系，SAFB=SEFD+18，所以SAFB+SBCDF=SBCDF+SEFD+18，联系图形，发现等式左边就是直角梯形ABCD的面积 ，右边的（SBCDF+SEFD）就是直角三角形BEC的面积，即SABCD=SBEC+18。而直角梯形ABCD的面积我们可以直接求出，进而计算出三角形BEC的面积，然后根据三角形的面积计算公式求出CE的长，最后计算ED的长。SABCD=（4+8）62=36（平方厘米）SBEC=36-18=18（平方厘米）SBEC=BC CE 2CE=186=6（厘米）ED

16、=6-4=2（厘米）ED的长为2厘米。总结：今天这节课可是大丰收，学习了很多解决直线型面积计算的方法，比如利用公式的变换、割、补、对称、等量代换等思想，课后要好好复习，并把方法运用到实际计算中去。好吗？家庭作业练习题1，2，3，4，5、6板书设计直线型面积计算ba2等量代换：同减；同加割补法：蝶形定理；等腰直角三角形45度角；一半模型；份数课后反思：练习巩固：1、（1）一块长方形草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草（阴影部分）的面积。（15-1）（10-1）=126平方米（2）已知：ABCD是长方形，。（单位：厘米）求阴影部分的面积。连BD 32+32=15平方厘米（3）、已知：在四边形AEC

17、F中，AE和EC垂直，CF和AF垂直。厘米）求：阴影部分的面积。 连AC 82+7102=51平方厘米 2、在直角三角形ABC中，AB=4cm,BC=3m,AC=5cm。求AC边上的高BE的长。 45=2.4厘米 3、如下图，已知在ABC中，若ADE的面积为1平方厘米。 4、如右图，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是多少平方厘米连接BF三角形ADE=三角形DEF=5三角形BDF=三角形ADF=10三角形ABC=103=30 5、如下图，两个正方形的边长分别为8cm和12cm，求阴影部分面积。 82+4122=32+24=56平方厘米6、下图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（15+20）2=140平方厘米7、在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。（3+3）8、在下图中，长方形AEFD的面积是18平方厘米，BE长3厘米，求CD的长。CD=18 9、在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。