算法设计与分析第2版王红梅胡明习题答案文档格式.docx

1、endl;break;计算n值的问题能精确求解吗编写程序，求解满足给定精度要求的 n值#include value;for （int i = 2;i!=value;+i）while （value % i = 0 ）k+=i;有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着 两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用 1分钟，乙过桥要用 2 分钟，丙过桥要用 5 分钟，丁过桥要用 10 分钟，显然，两个人走路的 速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长

2、时间由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如：第一趟：甲，乙过桥且甲回来第二趟：甲，丙过桥且甲回来甲，丁过桥一共用时19小时9 欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动为什么设最初两个数较大的为 a,较小的为b，两个数的最大公约数为 factor。则最终能出现的数包括 ：factor, factor*2, fac

3、tor*3,，factor*（a/factor）=a. 共 a/factor 个。如果a/factor是奇数，就选择先行动；否则就后行动。习题21 如果 Ti（n）=O（f （n），T2（n）=O（g（n），解答下列问题:（1 ）证明加法定理：T1（n）+ T2（n）=max O（f （n）, O（g（n）;（2 ）证明乘法定理：T1（n）x T2（n）=O（f （n） x O（g（n）;（3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理（1）（2）（3）比如在 for （f（n） for（g（ n）中应该用乘法定理如果在“讲两个数组合并成一个数组时” ，应当用加法定理2 考虑下面的算法，回答下

4、列问题：算法完成什么功能算法的基本语句是什么基本语句基本语句：s+=i*i，执行了 n次时间复杂度0 （n）（2） （2）完成的是n的平方3.分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。（1） 基本语句2*i1）return 3*T（n-1）;int T（int n）return 1;return 2*T（n/ 3）+n;5.求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。 （1）求数组中的最大元素；（2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图； （3）确定数组中的元素是否都是惟一的；（ 4）生成一个具有 n 个元素集合的所有子集 Q（n） 紧密（2） Q（n*n） Q（logn+n

5、）（先进行快排，然后进行比较查找）（4） Q（2A n）7.画出在三个数 a, b, c中求中值问题的判定树。曰.&国际象棋是很久以前由一个印度人 Shashi发明的，当他把该发明献给国王时，国王 很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。 Shashi要求以这种方式给他一些粮食：棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒， 以此类推，直到64个方格全部放满。这个奖赏的最终结果会是什么样呢#in clude using n amespace std;int mai n（）long double result=1;double j=1;for（int i=1;i=6

6、4;+i） j=j*2;result+=j;j+;resulte ndl;return 0;习题31.假设在文本ababcabccabccacbab中查找模式abccac，写出分别采用算法的串匹配过式化简。设计算法，将一个给定的真分数化简为最简分数形式。例如，将using n amespace std;int n;数字游戏。把数字1,2,9这9个数字填入以下含有加、减、乘算式中，使得该等式成立。要求 9个数字均出现一次且仅出现一次，且数字乘和除的一位数中（即排除运算式中一位数为 1的平凡情形）。BF算法和 KMP6/8化简为3/4。、除的四则运1不能出现在5. 设计算法求解 an mod m，

7、 其中 a、 n 和 m 均为大于 1 的整数 。（提示：为了避免 an超出 int 型的表示范围，应该每做一次乘法之后对 n 取模）int square（int x）return x*x;设计算法，在数组 rn中删除所有元素值为 x的元素，要求时间复杂性为 0（n）,空间复杂性为 O（1）。7.设计算法，在数组 rn中删除重复的元素，要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。void deletere（int a,int N）int b100=0;int i,k;k=0;static int j=0; for（i=0;N;i+） bai+;for（i=0;100;i+）if（b

8、i!=0）if（bi=2）k+;aj=i; j+;N-k;i+） coutai0且y0;使目标函数3x+5y取得极大值。int x,y,x0,y0;int summax=0,temp=0;for（x0=0;x0=4;+x0）for（y0=0;（x0+y0=4）&（x0+3*y0=summax）summax=temp;eat 和x=x0;1.1.11.1.2 变位词。给定两个单词，判断这两个单词是否是变位词。 果两个单词的字母完全相同，只是位置有所不同，则这两个单词称为变位词。例如， tea 是变位词。分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个 数有关，试说明这几

9、个参数与分治法时间复杂性之间的关系 。2.证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问 题的规模时，算法的时间复杂性可达到 O（n）。O（N）=2*O（N/2）+xO（N）+x=2*O（N/2）+2*xa*O（N）+x=a*（2*O（N/ 2）+x）+x=2*a *O（N/ 2）+（a+1）*x 由此可知，时间复杂度可达到 O（n）;3.分治策略一定导致递归吗如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分 治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。不一定导致递归。如非递归的二叉树中序遍历。 这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据

10、结构。4.对于待排序序列 （5, 3, 1, 9），分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。归并排序：（5,3）（1,9）；（3,5,1,9）；第三趟：（1,3,5,9）；快速排序： 5（ ,3,1,9）； 设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时 间性能。设计分治算法，实现将数组An中所有元素循环左移 k个位置，要求时间复杂性为 0（n）,空间复杂性为 0（1）。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。设计递归算法生成 n 个元素的所有排列对象。int data100;设计分治算法求解一维空间上 n 个点的最近对问题。参见 4.4.1 最近对问题的算法分析及算法实现9

11、.在有序序列（ri,2,rn）中，存在序号i （ K i n）,使得ri=i。请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为 0（log2n）。在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。请设计算法寻找众数并分析算法的时间 复杂性。设M是一个nxn的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元 素都按升序排列。设计分治算法确定一个给定的整数 x 是否在 M 中，并分析算法的时间复 杂性。12.设S是n （n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合 S划分为子集Si和9,使得| Si|=| S2|= n/2,且两个子集元素之和的差达到最大。设ai, a2,an是集合1,

12、2,n的一个排列，如果iaj，则序偶（ai, aj）称为该排 列的一个逆序。例如，2, 3, 1有两个逆序：（3, 1）和（2, 1）。设计算法统计给定排列中含有逆 序的个数。循环赛日程安排问题。 设有 n=2k 个选手要进行网球循环赛, 要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：（ 1 ）每个选手必须与其他 n-1 个选手各赛一次；（ 2）每个选手一天只能赛一次。采用分治方法。将2Ak选手分为2Ak-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下 2个选手时，然后进行比赛,回溯就可以指定比赛日程表了15. 格雷码是一个长度为 2n 的序列,序列中无相同元素,且每个元素都是长度为 n 的 二进制位

13、串, 相邻元素恰好只有 1 位不同。例如长度为 23的格雷码为 （000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100）。设计分治算法对任意的 n值构造相应的格雷码。矩阵乘法。两个 n x n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个 n x n的矩阵Z,且厶满足 （K i, j n）,这个公式给出了运行时间为 0（n3）的算法。可以用分治法解决矩阵乘法问题，将矩阵 X和Y都划分成四个n/2 x n/2的子块，从而 X和Y的乘积 可以用这些子块进行表达，即CF DH,然后再花费 0（n2）的时间完成加法运算即可。请设计分治算法实现矩阵乘法，并分析时间性能。能否再改进这个分治算法习题

14、 51. 下面这个折半查找算法正确吗如果正确,请给出算法的正确性证明,如果不正确,请说 明产生错误的原因。int BinSearch（int r , int n, int k）int low = 0, high = n - 1;int mid;错误。正确算法：int BinSearch1（int r , int n, int k）while （low = high）mid = （low + high） / 2;if （k rmid） low = mid + 1;else return mid;2. 请写出折半查找的递归算法，并分析时间性能。求两个正整数 m和n的最小公倍数。m和n的最小公倍数l

15、cm（m, n）与m和n的最大公约数 gcd（m, n）之间有如下关系：lcm（m, n）=m x n/gcd（ m, n）插入法调整堆。已知（ki, k2 ,kn）是堆，设计算法将（kl, k2,kn, kn+1）调整为堆（假设调整为大根堆） 。参照：void SiftHeap（int r , int k, int n）int i, j, temp;i = k; j = 2 * i + 1; 设计算法实现在大根堆中删除一个元素， 要求算法的时间复杂性为 O（log2n）。计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称50652513012260+652031040nm为俄式乘法，其思想是利用

16、了一个规模是 n的解和一个规模是n/2的解之间的关系：nx m= n/2x 2m （当n是偶数） 或：nx m= （n-1）/2x2m+ m （当 n 是奇数），并以 1 x m = m作为算法结束的条件。例如，图给出了利用俄式乘法计 算50x 65的例子。据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因此得名，这个算法也使得乘法 的硬件实现速度非常快，因为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。请设计算法 实现俄式乘法。n根火柴，两个拿子游戏。考虑下面这个游戏：桌子上有一堆火柴，游戏开始时共有 玩家轮流拿走1, 2, 3或4根火柴，拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。请为先走的玩家 设计一个制胜的策略（如

17、果该策略存在）如果桌上有小于 4根的火柴，先手必胜，如果是5根，先手必输；依次类推，同理15、20、25都是必输状态；所有每次把对手逼到 15、20、25等必输状态，就可以获胜。9.竞赛树是一棵完全二叉树，它反映了一系列“淘汰赛”的结果：叶子代表参加比赛的n个选手，每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者，显然，树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。请回答下列问题：（1）这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少（2） 设计一个高效的算法，它能够利用比赛中产生的信息确定亚军 。（1） 因为n人进行淘汰赛，要淘汰 n-1人，所有要进行n-1场比赛。10.在120枚外观相同的硬币中， 有一枚是假

18、币，并且已知假币与真币的重量不同， 但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，最坏情况 下，能不能只比较 5次就检测出这枚假币将120枚平均分为三组，记为： A, B, C;先将A,B比较，如果A,B重量不同（假如 B比A重），再将B与C比较，如果A,C相同，则B有假币；如果B, C相同，则A有假币；如果B,C不同，再将A,C比较，如果A,C不同，则B有假币；如果 A,B相同，则C有假币;习题61.动态规划法为什么都需要填表如何设计表格的结构在填写表格过程中，不仅可以使问题更加清晰，更重要的是可以确定问题的存储结构;设计表格，以自底向上的方式计算各个子问题的解并填

19、表。2.对于图所示多段图，用动态规划法求从顶点 0到顶点12的最短路径，写出求解过程。将该多段图分为四段；首先求解初始子问题，可直接获得:d（0, 1）=coi= 5（0 1）d（0, 2）=co2= 3（0 1）再求解下一个阶段的子问题，有：d（0,3）= d（0, 1）+ C13 =6（1 t 3）d（0,4）=mi nd（0,1）+ C14 ,d（0,2）+ m=8（1 t 4）3用动态规划法求如下 0/1 背包问题的最优解： 有 5 个物品，其重量分别为 （3, 2, 1, 4,5）， 价值分别为 （25, 2O, 15, 4O, 5O） ，背包容量为 6。写出求解过程。（x1, x2

20、,x3,x4,x5） t （1,1,1,O,O）（过程略）4.用动态规划法求两个字符串 A=xzyzzyx和B=zxyyzxz的最长公共子序列。 写出求解过程。略5.给定模式grammer和文本grameer，写出动态规划法求解 K-近似匹配的过程。6.对于最优二叉查找树的动态规划算法，设计一个线性时间算法，从二维表 R 中生成最优二叉查找树。7.Ackermann函数 A（m, n）的递归定义如下：n 1 m OA（m,n） A（m 1,1） m O,n OA（m 1, A（m,n 1） m O,n O设计动态规划算法计算 A（m, n）,要求算法的空间复杂性为 O（m）。考虑下面的货币兑付

21、问题： 在面值为（V1, V2,，vn）的n种货币中，需要支付y值的货币，nn应如何支付才能使货币支付的张数最少，即满足 xm y，且使 Xi最小（为是非负整i 1 i 1数）。设计动态规划算法求解货币兑付问题,并分析时间性能和空间性能。#define N 1OOOOO#define M 2Oint aNM;int valueM;while（true）int i,j,k;int x,y,z; 输入货币种类的个数： x; 从小到大输入货币的价值，其中第一个必须为一：for（i=1;=x;i+） 多边形游戏。多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个设计动态规划算法, 对于由n个顶点构成的多边形，每个顶点具有一个整数值， 每条边具有一个运算符 “ + ”或“x”。 游戏规则是每次选择一条边 e以及和e相关联的两个顶点i和j,用一个新的顶点k取代边e、 顶点i和j,顶点k的整数值是顶点i和j的整数值通过边 e上的运算符计算得到的结果。当 所有边都删除时,游戏结束,游戏的得分就是所剩顶点的整数值。给定的多边形计算最高得分。