完整版Matlab学习系列16数值计算线代篇Word文档下载推荐.docx

1、243716亠 5 2丄 5 3亠 5 4,-5 515517求它的秩和一个最大线性无关组，并用来表示其它向量代码：A=2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4; 4 -1 15 17;7 -6 -7 0 ;% format rat; % 使用分数表示rref（A）ans =-3-5可见，向量组的秩是3， 1, 2, 3是一个最大线性无关组；并且4 2 1 3 2 4 3， 5 1 5 2 5 3注：也可以用R,s=rref（A）; length（s）得到秩。三、线性方程组的通解null（A, r返回齐次线性方程组Ax=0的基础解系，选项r 返回有理数解，否则按分数显示；x0=in

2、v（A）*b 若A-1存在，直接可以得到Ax=b的一个特解x0,否则只能按求解理论求解;subs（A, k, n）,将矩阵或式A中的k用n代替例4求下列方程组的通解：2x1 4x2 x3 4x4 16x5 23x1 6x2 2x3 6x4 23% 73x1 6x2 4x3 6x4 19xs 23x1 2x2 5x3 2x4 19x5 43A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19;b=-2;7;-23;43;R,s=rref（A,b）m, n=size（A）;xO=zeros（n,1）; % 将特解x0初始化为零向量运行结果:R =

3、1s = 1 3x0 = 32 0 2 9 30 10 2 80 0 0 0 0x = -2 -2 -91 0 00 0-20 1 00 0 1例5已知齐次线性方程组（12k）N3x23x33x43x1（23X33x1 3x2 3（ （11 k）x4求出其基础问当k取何值时方程组有非零解？在有非零解的情况下, 解系。syms k;A=1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k;K=solve（D） % 解方程“X 0”即要求的k值for i=1:Ak=double（subs（A,k,K（i）;%用K（i）替换矩阵A中的k,得到的是符号矩阵，%再用dou

4、ble函数转化为数值矩阵x=n ull（Ak,r）D = 2*kA4 - 31*kA3 + 30*kA2 + 161*k + 98K = -17/214x = -1 -11 00 10 0x = -0.5x = 0.20.4四、基变换设Rn中的两组基向量U和V （都是nx n矩阵），若向量w在以U为基的坐标系内的坐标为 Wu （nx 1数组），在以V为基的坐标系 内的坐标为wv（nxi数组），则在基准坐标系内的坐标应分别为 U*wu 和V*Wv，这两者应该相等，即U*W u=V*W v所谓基坐标的变换，就是已知 Wu，求出Wv.将上式两边均左乘V-1，得到Wv=V*U* W u故坐标变换矩阵为

5、P:=V-1*U.例6已知R4中的两组寸基向量为-1 -1-22 -11 0 ，1 1求从U到V的坐标变换矩阵P.U=1 1 -1 -1; 2 -1 2 -1; -1 1 1 0; 0 1 1 1;V=2 0 -2 1; 1 1 1 3; 0 2 1 1; 1 2 2 2;P=inv（V）*U % 从U到V的基变换矩阵wu=1 2 3 4wv=P*wu%已知某向量在U坐标系下坐标为WU,求它在V坐标系下的坐标P = 0 1 -1 11 -1 1 -1wv = 3五、特征值与特征向量变换可以用矩阵表示。矩阵A的特征向量是指，经过矩阵A （左乘）变换后不发生方 向改变的那些向量； 特征值是指在经过

6、这些变换后特征向量的伸缩的 倍数。对于实对称矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交。矩阵（变换） A 的所有特征向量组成了该矩阵 （变换）的一组基， 可以理解为坐标系的坐标轴，可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转， 称为基变换。例如，在主成分分析中，通过在拉伸最大的方向设置基，忽略一 些小的量，可以极大的压缩数据而减小失真。矩阵（变换）的所有特征向量作为空间的基之所以重要， 是因为 在这些方向上矩阵（变换）可以拉伸向量而不必扭曲和选择它，使得 计算大为简单。2. Matlab 实现orth（A） 返回矩阵A的列向量组构成空间的标准正交基；P=poly（A） 返回矩阵A的特征多项式，P是行向量，

7、元素为多项式系数；roots（P）求多项式P的零点；r=eig（A） r为列向量，元素为矩阵 A的特征值；V, D=eig（A）矩阵D为A的特征值（从小到大排列）所构成 的对角矩阵，V的列向量为A的特征向量，与D中特征值一一对应（VtAV=D，VT=V-1），D也是矩阵A的相似对角化矩阵；V, D=schur（A）矩阵D为对称矩阵A的特征值所构成的对角 阵，V的列为A的单位特征向量，与D中特征值一一对应； 例7求下列矩阵的特征值和特征向量：2 2 20 192 16 9 118 4 6 10 8 4 7format short g 2 1 3; 1 1 2;%特征多项式法% P=poly（A）

8、;% lamda 1=roots（P） lamda2=eig（A） V,D=eig（A） in v（V）*A*V-0.0000V = 0.63960.7071-0.57740.6396-0.70710.42640.5774D =5.0000-1.00000.0000例 8 （人口迁徙模型） 设某大城市的总人口是固定的。人口的分布 则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有 6%的市区居民搬到 郊区去住，而有 2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有 30%的居民住在市区， 70%的居民住在郊区，问：（1） 10 年后市区和郊区的居民人口比例是多少？ 30 年、 50 年后 又如何？（2） 无限增加

9、时间，该比例最终是否会趋于稳定？ 问题分析： 该问题可以用矩阵乘法来描述。（1）把人口变量用市区Xc和郊区Xs两个分量表示，一年以后，市区人口为 Xci= （1-0.06） Xco+O.O2xso，郊区人口 Xsi=O.O6xco+ （1-0.02） Xso, 用矩阵乘法来表示：对于（2）,借助矩阵A的特征值和特征向量，因为 A作用在其特征向量上只改变值大小（为其特征值的倍数）而不改变方向。为此先求出A的特征值入，2及特征向量Vi, V2；将X0用特征向量Vi, V2作为坐标系表示出来（即做以Vi,V2为基坐标的基变换），X0= o/什 pV2从而，xk Akx0 Ak（ v1 v2） Akv

10、, Akv2 1kv1 ；v2令k趋于x,判断Xk是否存在极限。x0=0.3; 0.7;A=0.94 0.02; 0.06 0.98;x仁 A*x0x10=AA10*x0x50=AA50*x0V,D=eig（A）V（:,1）=V（:,1）./V（2,1）;,2）=V（:,2）./V（1,2） % 对V做初等变换化简k=inv（V）*x0 % 求x0用特征向量作为坐标系的表示% x0在原坐标系I中的表示为x0,%则基坐标变换到在坐标系 V的表示为x=P*x0=inv（V）*l*x0syms n;xn=k（1）*D（1,1）A n*V（:,1）+k （2） *D（2,2）a n*V（:,2）;%

11、xn=-0.05*（0.92）a n*v1+0.25*1A n*v2limit（x n,n,inf）0.7040x10 = 0.27170.7283x50 = 0.25080.7492V = -0.7071 -0.31620.7071 -0.9487D = 0.9200 00 1.0000V = -1.0000 1.00001.0000 3.0000k = -0.05000.2500ans = 1/43/4最终得到：无限增加时间 k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75.六、二次型 例 9 用正交变换法将下列二次型化为标准型（保持几何形状不变）f （x1, x2, x3）x12

12、2x22 3x32 4x1x2 4x2x3A=1 -2 0; -2 2 -2; 0,-2,3; % 输入二次型的矩阵 A%或用V,D=schur（A）, 结果相同；V 为正交变换矩阵，即Y=VXsyms y1 y2 y3;f=y1,y2,y3*D*y1;y2;y3V二-0.66670.3333-0.33330.6667D = -1.0000 00 2.0000 00 0 5.0000f = - y1A2 + 2*y2八2 + 5*y3A2XtAX二Y tVtAVY二YtDY七、用矩阵做图形变换图形变换是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等变换，其实质是改变图形的各个顶点的坐标。图形变换

13、可以通过对表示图形坐标的矩阵进行运算来实现，称为矩阵变换法：原图形 、一变换后图形一 变换 一顶点坐标*占“二顶点坐标 矩阵 矩阵 矩阵也可以用变换矩阵左乘实现，上式两边转置即可，即:btat=ct.F面只介绍二维图形的矩阵变换，代码示例是类似的省略之X1y1X2y2 *MXnyn n2（1）缩放变换aXy 门若a=d则为等比例缩放；若x y1I Ia b _ x2 y2c d 2 2 MMXn yn n21.基本变换0 ax dyda=1，则x方向不变；若a=0,则图形压缩为y轴上的线段 例10已知三角形的三个顶点坐标，绘制三角形并进行缩放变换。ABC=4 4; 1 3; 3 1; % 三角

14、形的三个顶点E=ABC（1,1）,ABC（1,2）; % 为了让图形封闭，在末尾补上起始点ABC=ABC;Esubplot（1,2,1）plot（ABC（:,1）,ABC（:,2）, % 将各个顶点连线，绘制三角形axis（0,5,0,5）;%放缩变换a=0.6;d=1.2;T=a 0; 0 d; % 变换矩阵ABC1=ABC*T; % 对原顶点做变换得到新的顶点subplot（1,2,2）plot（ABC1（:,1）,ABC1（:g % 绘制变换后的三角形（2）对称变换关于原点的对称变换关于x轴的对称变换关于y轴的对称变换关于直线y=x的对称变换关于直线y=-x的对称变换（3）错切变换（延x

15、轴或y轴一个方向移动，另一个方向不变）1延x轴方向错切X y c 1 x cy y变换后，平行于X轴的直线变换后仍平行于x轴；平行于y轴的直线变换后，y=0的点不动（不动点），y工0的点沿x方向平移了 cy,形成与y轴夹角为B的直线，且tg = cy / y= c.2延y轴方向错切（4）绕坐标原点的旋转变换变换矩阵为cos sin Tsin cos逆时针方向旋转时角度B取正值；顺时针方向旋转时角度 B取负值2.平移变换2X 2变换矩阵是不能实现平移变换的，为此需要扩展一维x y 1 0 1 0 x l y m 1l m 1补上一维的常数，称为齐次坐标表示法；若常数 =1,称为标准齐次坐标表示法

16、。若坐标变换结果是非标准化齐次坐标表示， 应将其化为标准齐次坐标表示，方法是所有项都除以齐次项：同除以sx y s例11已知三角形的三个顶点坐标，绘制三角形并进行平移变换。为了让图形圭寸闭，在末尾补上起始点将各个顶点连线，绘制三角形 %E subplot（1,2,1）%平移变换ABC 1=ABC,o nes（le ngth（ABC）,1）;%加上一列1扩维，变成标准齐次坐标表示1=1;m=0.5;T=1 0 0; 0 1 0; l m 1; % 平移变换矩阵ABC2=ABC1*T; % 做平移变换plot（ABC2（:,1）,ABC2（:axis（0,5,0,5） r r r1 r *4.5

17、- -3.52.5- 、 1.5 -0.5j U IIii 1 10 1 2 3 4 5三维变换矩阵还具备更多的功能，总结如下:3.组合变换一些复杂的变换都可以分解为若干基本变换的组合， 二维组合变换矩阵T = TiX T2X-X Tm,其中Ti是基本变换矩阵，具有不可交 换性。例如，（1）绕坐标原点以外的任意一点 P（xo, yo）旋转B角的旋转变换 可分解为： 平移变换一一将旋转中心 P平移到坐标原点；T1 0 1 0X0 y。旋转变换 绕坐标原点旋转 B角；cos sin 0T2 sin cos 03平移变换使旋转中心 P 回到原来的位置T3 0 1 0x0 y0 1于是，组合变换矩阵为

18、： T=T1*T 2*T3.（2） 关于任意直线的对称变换设直线方程为：Ax+By+C = 0 （A半0, B半0）,直线在x轴上的截距为-C/A，在y轴上的截距为-C/B ,直线与x轴的夹角a = arctg（A/B）.可分解为：C /A 0 1 旋转变换绕坐标原点旋转-a角，使直线与X轴重合;cos（ ）sin（）0T2 sin（ ）cos（3关于 x 轴做对称变换;1000014旋转变换 绕坐标原点旋转 a角;5平移变换沿 x 方向平移 -C/A ，使直线回到原位置C / A 0 1于是组合变换矩阵为： T= T1*T 2*T 3*T 4*T 5.（1） 可见前面的二维变换矩阵都可以统一地在三维矩阵中实现；（2） 以上介绍的二维图形的矩阵变换，类似地可以推广到三维空间图形的矩阵变换