二项式定理典型例题.docx

1、二项式定理典型例题高考数学专题复习二项式定理练习题1.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项.I2x 丿分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.1 1 1 1得系数为：t1 =1, t2 n,t3 n(n ),22 4 81 由已知：2t2 t3 n=1 n(n1),8n = 8通项公式为一 16 J3r1 T1 二C；-rx 4 r=0,1,2_8,Tr1 为有理项，故 16-3r是 4 的倍数,2r =0,4,8.依次得到有理项为 T| = x4,T5 = C；

2、丄 x =*35 x,Tg = c8 W x x2 2 8 2 256说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r的取值，得到了有理项.类似地，(、“2汽3)10的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r的取值，得到共有 系数和为3n 2. (1)求(1 -x)3(1 * X)10展开式中x5的系数；(2)求(x 1 * 2)6展开式中的常数项.x分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， (1)可以视为两个二项展开式相乘； (2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1 ) (1-x)3(1 X)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并

3、同类项：用(1 -X)3展开式中的常数项乘以 (1 x)10展开式中的 x5项，可以得到 C；x5 ；用3 10 4 4 4 4 5(1-X)展开式中的一次项乘以(1 x)展开式中的x项可得到(-3x)(C1x )=-3C10X ；位。 10 q 2 3 3 3 5 3用(1 X)3中的x2乘以(1 - x)10展开式中的X3可得到3x C10X =3CioX ；用(1X)3中的的常数项为C；2二924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.2 6 c3求(1 x -X )展开式中X5的系数.分析：(1x-x2)6不是

4、二项式，我们可以通过 1 X-X2 = (1 x) -X2或1(x-x2)把它看成二项式展开.解：方法一：(1 X -X2)6 = (1 x) -x2f6 5 2 4 4=(1 x ) -6(1 x) x 15(1 x) x -其中含 X5 的项为 C：X5 -6C；X5 15C4X5 =6x5.含x5项的系数为6.方法二：(1 x- X2)6 = 1 (x -x2)F=1 6(X-X2) 15(x -X2)2 20(x -X2 )3 15(x -X2 )4 6(x-x2)5 (x-x2)6其中含 X5 的项为 2O(-3)X5 15(-4)x5 6x5=6x5 .二x5项的系数为6.方法3

5、:本题还可通过把(1 x - X2)6看成6个1 x - X2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项， x5项可由下列几种可能得到. 5个因式中取x, 个取1得到C6x5.3 13 23个因式中取x, 个取-X2，两个取1得到C6 C3X(-x ).1 2 2 21个因式中取X,两个取-X2，三个取1得到C6 C5X -X ) 合并同类项为(C； - W，C；c5)x5 =6x5, X5项的系数为6 1 2 n n 14求证：(1) Cn - 2Cn nCn 二 n 2 -；(2)cn 6；1 cn 1 (2n 1 -1) 2 3 n +1 n +1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性

6、质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值. 解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质C0 Cn -C2 - C：解: (1)= n! = n Z 二 ncn； k!(n k)! (k -1)!(n k)! (k_1)!(n+k)!左边=n C0_l + nC_1+n=n(Cj - Cnj - Cnb n 2n工右边.(2)丄c)丄n!k 1 k 1 k!(n -k)! (k -1)!(n - k)!1 (n 1)! 1 屮 1C n 1 n 1 (k 1)!(n -k)! n 1左边=亠cr+ch+丄n

7、1 n 1 n 1(C1n1 C：1 C1) 1 (2n1-1)=右边.n 1 n 1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求91089 7 8 22 C10 2 C10 2 Cw - 2Cw 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 2)10的展开式接近，但要注意：(1 2)1c0o Co 2 Co 22 Co -29 - C10 -210=1 2 10 22C0 29C：0 210C102 8 9 9 10-1 2(1

8、0 2C 2 G。 2 C10)从而可以得到：10 2Cio 28C：o 29C；0 =丄(310 _1) 25.利用二项式定理证明： 32n 2 -8n -9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明 32n 8n - 9是82的倍数，为了使问题向二项 式定理贴近，变形 32n 2 = 9n 1 = (8 1)n 1，将其展开后各项含有 8k，与82的倍数联系起来.解：/ 32n 2 -8n_9=9n 1 _8n _9 =(8 1)n 1 _8n _9n 1 1 n n 2 n=8 +Cn屮 8 + +CnL 8 +Cn41 8+18n9-8n 1 C； 1 8n 1 寸 82 8(

9、n 1) 1 -8n_9= 8n1 Cn1 8n C行 82= (8n1 C1 8n，；)64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数.108.若将(x y z)展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为( ).A. 11 B. 33 C. 55 D. 6610 10分析：(x y z)看作二项式(x y) z展开.解：我们把 y z看成(x y) z，按二项式展开，共有 11 “项”，即10(x y Z)10 =(x - y) z10 = C(x - y)10J zk .k=0这时，由于“和”中各项 z的指数各不相同

10、，因此再将各个二项式 (xy)10展开，不同的乘积G0(x y)10 zk ( k =0,1，10 )展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积 G0(x y)10* zk ( k =0,1，10).其中每一个乘积展开后的项数由 (x y)10*决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为 11 10 66,应选D .（ 1 、9.若x+丄2 I的展开式的常数项为 20,求n x 丿, .2nL - ,、X ，其通项为Jx丿人 1 二C；n（、X严（-1 ）r =（-1）rC2rnC.X）2nr ,vx令 2n -2r =0 ,得 n =r ,展开式

11、的常数项为（-1）nC；n ；同理可得，展开式的常数项为 （_1）nC；n无论哪一种情况，常数项均为 （_1）nC；n令（-1）nC；n 20，以 n =1,2,3，逐个代入，得 n = 3 10. I.G+丄的展开式的第3项小于第4项，贝U x的取值范围是3x 分析：首先运用通项公式写出展开式的第 3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.厂 1 I0解：使吋x+亍=I有意义，必须xa0 ；c8Ac8 -2r * r =5或 r =6 (v r 二 0,1,2 , , 8).系娄最大的项为： T6 =1792x5, T7 =1792x6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，

12、 n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负 变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.13.设f (xH(1 x)m (1 x)n(m, nN .),若其展开式中关于 x的一次项的系数和2为11，问m,n为何值时，含x项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到2x的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.解：cm C： = n m = 11.2Cm C2 21/2 2 、 m n 11(m -m n _n)=2 2110-2m n 2n2-11n 55 = (n112 99)2 42 n =5或6 , m =6或5时，x项系数最小，最小值为 25 .11 99 11说明：二次函数y=(x )2 的对称轴方程为 x ，即x=5.5，由于5、6距11 2 995.5等距离，且对nN , 5、6距5.5最近，所以(n )2 的最小值在 门=5或门=62 4处取得.14.若(3x -1)7 =a7x7 a6x6 亠