经典例题剖析一次函数Word下载.docx

1、知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P（2，1）不在直线y=x+l的图象上知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，

2、y的值或一个点）就可求得k的值（2）由于一次函数y=kx+b（k0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值知识点6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式已知一次函数的图象经过点

3、（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为ykx+b（k0），由题意可知，解此函数的关系式为y=【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方

4、法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b（k0）位置的影响当b0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b0时，直线与y轴的负半轴相交当k，b异号时，即-0时，直线与x轴正半轴相交；当b=0时，即-=0时，直线经过原点；当k，b同号时，即-0时，直线与x轴负半轴相交当kO，bO时，图象经过第一、二、三象限；当k0，b=0时，图象经过第一、三象限；当bO，bO时

5、，图象经过第一、三、四象限；当kO，b0时，图象经过第一、二、四象限；当kO，b=0时，图象经过第二、四象限；当bO，bO时，图象经过第二、三、四象限（2）直线y=kx+b（k0）与直线y=kx（k0）的位置关系直线y=kx+b（k0）平行于直线y=kx（k0）当b0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；当bO时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置关系k1k2y1与y2相交；y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；y1与y2平行；y1与y2重合.典例剖析基本概

6、念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x（x-4）-x2.分析 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数例2 当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？分析 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k0函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数，m=-2.当m=-2时，函

7、数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断

8、y是否是x的一次函数分析 （1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长05cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+05x）cm，即y=15+05x（2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0x18（3）由y=15+05x可知，y是x的一次函数（l）y=15+05x（2）自变量x的取值范围是0x18（3）y是x的一次函数学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图1119所示火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，

9、此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 分析 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5（-2）+100=102（）答案：102例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，

10、求x的值分析 由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx把x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-32k，k2y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3（2）当x=4时，y=24+3=11（3）当y4时，4=2x+3，x=.学生做一做 已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 .老师评一评 由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.当x

11、=5时，y=12，12=（5+1）k，k=2y关于x的函数关系式为y=2x+2【注意】 y与x+1成正比例，表示y=k（x+1），不要误认为y=kx+1.例6 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1x2时，y1y2，则m的取值范围是（ ）AmO Bm0Cm DmM分析 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1x2时，y1y2，说明y随x的增大而减小，所以1-2mO,m，故正确答案为D项学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后

12、的产值老师评一评 （1）年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式为y=15+2x（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x0，因此，函数y=15+2x的图象应为一条射线画函数y=12+5x的图象如图1121所示（3）当x=5时，y15+25=25（万元）5年后的产值是25万元例7 已知一次函数y=kx+b的图象如图1122所示，求函数表达式分析 从图象上可以看出，它与x轴交于点（-1，0），与y轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k为即可由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到y=kx+b中，得此函数的表达式为y=-3x-3.例8 求图象经过点（2，

13、-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式分析 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，图象经过点（2，-1），-l=22+bb=-5，所求一次函数的表达式为y=2x-5.综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？分析 判断某函数是一次函数，只

14、要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx（k为常数，且k0）即可（1）y是x的一次函数y+a与x+b是正比例函数，设y+a=k（x+b）（k为常数，且k0）整理得y=kx+（kb-a）k0，k，a，b为常数，y=kx+（kb-a）是一次函数（2）当kb-a=0，即a=kb时，y是x的正比例函数例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费04元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费06元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元（1）写出y1，y2与

15、x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？分析 这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论（1）y1=50+04x（其中x0，且x是整数）y2=06x（其中x0，且x是整数）（2）两种通讯费用相同，y1=y2，即50+04x=06xx250一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同（3）当y1=200时，有200=50+04x，x=375（分）“全球通”可通话375分当y2=200时，有200=06x，x=333（分）“神州行”可通话333分375

16、333，选择“全球通”较合算例10 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0（1）求y与x之间的函数关系式；（3）观察图象，当x取何值时，y0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且SABP=4，求P点的坐标分析 由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值（1）y+2与x成正比例，设y+2=kx（k是常数，且k0）当x=-2时，y=00+2

17、k（-2），k-1函数关系式为x+2=-x，即y=-x-2（2）列表；x-2y描点、连线，图象如图1123所示（3）由函数图象可知，当x-2时，y0当x-2时，y0（4）点（m，6）在该函数的图象上，6=-m-2,m-8（5）函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A，B两点，A（-2，0），B（0，-2）SABP=|AP|OA|=4，|BP|=点P与点B的距离为4又B点坐标为（0，-2）,且P在y轴负半轴上，P点坐标为（0，-6）.例11 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直

18、线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？分析 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y轴的交点在y轴上方，说明常数项bO；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y随x的增大而减小，说明一次项系数小于0（1）图象经过原点，则它是正比例函数k-2当k=-3时，它的图象经过原点（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.-2=-2k2+18，且3-k0，k=当k=时，它的图象经过点（0，-2）（3）函数图象平行于直线y=-x，3-k=-1，k4当k4时，它的图象平行于直线x=-x（4）随x的增大而减小，3-kOk3当k3时，y随x的增大而减小例12 判断三点A（3，1），B（0，-2）

19、，C（4，2）是否在同一条直线上分析 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b过A，B两点的直线的表达式为y=x-2当x=4时，y=4-2=2点C（4，2）在直线y=x-2上三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上学生做一做 判断三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用例13 老师讲完“一次函数”这节

20、课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的”你认为这两个同学的说法正确吗？分析 （1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x2时，6x2x+8，所以，y=6x的函数值先达到30（2）直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的这两位同学的说法都正确例14 某校一名老师将在假期带领学生去

21、北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠”已知全票价为240元（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠分析 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为y甲=240+240x=240+120x.乙旅行社的收费y乙（元）与学生人数x之间的函数关系式为y乙=24060（x+1）=144x+144（2）当y甲=y乙时，有240+120x=144x+144，24x9

22、6，x=4当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以当y甲y乙时，240+120x144x+144，24x96，x4当x4时，去乙旅行社更优惠当y甲y乙时，有240+120x140x+144，24x96，x4当x4时，去甲旅行社更优惠小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运

23、输费为5000元（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由老师评一评 先求出两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论（1）甲方案的付款y甲（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y甲=9x（x3000）；乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y乙=8x+500O（x3000）（2）有两种解法：解法1：当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，x=5000当x=5000时，两

24、种方案付款一样，按哪种方案都可以当y甲y乙时，有9x8x+5000，x5000又x3000，当3000x5000时，甲方案付款少，故采用甲方案当y甲y乙时，有9x8x+5000，x5000当x500O时，乙方案付款少，故采用乙方案解法2：图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图1124所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲y乙，即选择乙方案付款最少【说明】 图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.例15 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3x6，相应函数值的取值范围是-5y-2，则这个函数的解析式为 .分析 本题分两种情况讨论：当k0时，y随x的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b中可得函数解析式为y=-x-4当kO时则随x的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kxb中可得x-3.函数解析式为y=x-4，或y=-y=x-4或y=-【注意】 本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不