江苏专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I23函数的奇偶性与周期性教师用书文Word文档下载推荐.docx

1、（2）若函数yf（xa）是偶函数，则函数yf（x）关于直线xa对称.（）（3）函数f（x）在定义域上满足f（xa）f（x），则f（x）是周期为2a（a0）的周期函数.（）（4）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.（）（5）若T是函数的一个周期，则nT（nZ，n0）也是函数的周期.（）1.（教材改编）对于定义域是R的任意奇函数f（x），下列结论正确的有_.（填序号）f（x）f（x）0； f（x）f（x）0；f（x）f（x）0; f（x）f（x）0.答案解析显然不正确.对任意奇函数f（x），有f（x）f（x），f（x）f（x）f（x）20，故正确，不正确.2.（教材改编）函数yf（x

2、）为（，）上的偶函数，且f（|a|）3，则f（a）_.答案3解析若a0，则f（a）f（a）f（|a|）3；若a0，则f（a）f（|a|）3.故对aR，总有f（a）3.3.（教材改编）若函数f（x）（x1）（xa）为偶函数，则a_.答案1解析f（x）（x1）（xa）x2（1a）xa为偶函数，f（x）f（x）对任意xR恒成立，（1a）x（a1）x恒成立，1a0，a1.4.（教材改编）设函数yf（x）是偶函数，它在0,1上的图象如图所示，则它在1,0上的解析式为_.答案f（x）x2解析由题意知f（x）在1,0上为一条线段，且过（1,1）、（0,2），设f（x）kxb，代入解得k1，b2.所以f（x）

3、x2.5.（2016四川）若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）4x，则ff（2）_.答案2解析f（x）为定义在R上的奇函数，f（0）0，又00时，x0，f（x）x2x，f（x）（x）2xx2x（x2x）f（x）；当x0，f（x）x2x，f（x）（x）2xx2x（x2x）f（x）.对于x（，0）（0，），均有f（x）f（x）.函数f（x）为奇函数.思维升华（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤（2）分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f（x）与f（x）的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.（1）（

4、2016北京海淀区模拟）下列函数中为偶函数的是_. ylg|x|；y（x1）2； y2x.（2）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（1）g（1）2，f（1）g（1）4，则g（1）_.答案（1）（2）3解析（1）中，函数ylg|x|的定义域为x|x0且lg|x|lg|x|，函数ylg|x|是偶函数.（2）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（1）g（1）2，f（1）g（1）4，f（1）g（1）2，f（1）g（1）4，得g（1）3.题型二函数的周期性例2（1）（2016淮安模拟）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）f（x1），则f（2 017）f（

5、2 019）_.（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x2），当2x3时，f（x）x，则f（105.5）_.答案（1）0（2）2.5解析（1）由题意，得g（x）f（x1），又f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，g（x）g（x），f（x）f（x），f（x1）f（x1），f（x）f（x2），f（x）f（x4），f（x）的周期为4，f（2 017）f（1），f（2 019）f（3）f（1），又f（1）f（1）g（0）0，f（2 017）f（2 019）0.（2）由已知，可得f（x4）f（x2）2f（x）.故函数的周期为4.f（105.5）f（4272.5）f（2.5

6、）f（2.5）.22.53，由题意，得f（2.5）2.5.f（105.5）2.5.引申探究例2（2）中，若将f（x2）改为f（x2）f（x），其他条件不变，则f（105.5）的值为_.答案2.5解析f（x4）f（x2）2f（x2）f（x），函数的周期为4（下同例题）.思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.定义在R上的函数f（x）满足f（x6）f（x），当3x1时，f（x）（x2）2；当1x3时，f（x）x.则f（1）f（2）f（3）f（2 018）_.答案339解析f（x6）f（x），T6.当3x3时，f（x）x，

7、f（1）1，f（2）2，f（3）f（3）1，f（4）f（2）0，f（5）f（1）1，f（6）f（0）0，f（1）f（2）f（6）1，f（1）f（2）f（3）f（2 015）f（2 016）1336.又f（2 017）f（1）1，f（2 018）f（2）2，f（1）f（2）f（3）f（2 018）339.题型三函数性质的综合应用命题点1解不等式问题例3（1）（2016南通模拟）已知偶函数f（x）在区间0，）上单调递增，则满足f（2x1）f（）的x的取值范围是_.（2）已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f（1）1，f（5），则实数a的取值范围为_.答案（1）（，）（2）（1,4）解析

8、（1）因为f（x）是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f（x）在0，）上单调递增，f（2x1），所以|2x1|，所以.（2）f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，f（5）f（56）f（1）f（1），f（1）， 1，即0，解得1a0且1x0，由奇函数的性质可得f（0）0.所以lg（a2）0，即a1，经检验a1满足函数的定义域.（2）因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，所以ff且f（1）f（1），故f从而a1，即3a2b2. 由f（1）f（1），得a1即b2a. 由得a2，b4，从而a3b10.思维升华（1）关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题

9、转化为已知区间上的问题.（2）掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f（x）为偶函数f（x）f（|x|）.若奇函数在x0处有意义，则f（0）0.（1）若f（x）ln（e3x1）ax是偶函数，则a_.（2）奇函数f（x）的定义域为R.若f（x2）为偶函数，且f（1）1，则f（8）f（9）_.答案（1）（2）1解析（1）函数f（x）ln（e3x1）ax是偶函数，故f（x）f（x），即ln（e3x1）axln（e3x1）ax，化简得ln2axln e2ax，即e2ax，整理得e3x1e2ax3x（e3x1），所以2ax3x0，解得a（2）由f（x2）是偶函数可得f（x2）f（x2），又由f（x）是奇函

10、数得f（x2）f（x2），所以f（x2）f（x2），f（x4）f（x），f（x8）f（x），故f（x）是以8为周期的周期函数，所以f（9）f（81）f（1）1，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）0，所以f（8）f（0）0，故f（8）f（9）1.2.抽象函数问题考点分析抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视.一、抽象函数的定义域典例1已知函数yf（x）的定义域是0,8，则函数g（x）的定义域为_.解析要使函数有意义，需使解得1x0，f（

11、x2），对任意xR恒成立，则f（2 019）_.解析因为f（x）所以f（x4）f（x2）2f（x），即函数f（x）的周期是4，所以f（2 019）f（50541）f（1）.因为函数f（x）为偶函数，所以f（2 019）f（1）f（1）.当x1时，f（12），得f（1）即f（1）1，所以f（2 019）f（1）1.三、抽象函数的单调性与不等式典例3设函数f（x）是定义在（0，）上的增函数，且满足f（xy）f（x）f（y）.若f（3）1，且f（a）f（a1）2，求实数a的取值范围.规范解答解因为f（xy）f（x）f（y）且f（3）1，所以22f（3）f（3）f（3）f（9）.又f（a）f（a1）2

12、，所以f（a）f（a1）f（9）.再由f（xy）f（x）f（y），可知f（a）f9（a1），因为f（x）是定义在（0，）上的增函数，从而有解得10时，f（x）则f（f（16）_.答案解析由题意f（16）f（16）log2164，故f（f（16）f（4）f（4）cos6.（2016盐城模拟）已知f（x）ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_.解析依题意得f（x）f（x），b0，又a12a，a，ab7.（2017苏北四市联考）已知函数f（x）若f（x）为奇函数，则g（）_.解析g（）f（）f（）log2log2222.8.（2016常州模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（

13、x1）是偶函数，则f（1）f（2）f（3）f（4）_.答案0解析由f（x1）是偶函数得f（x1）f（x1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x1）f（x1），即f（x1）f（x1），所以f（x2）f（x），即f（x）f（x2）0，所以f（1）f（3）0，f（2）f（4）0，因此f（1）f（2）f（3）f（4）0.9.函数f（x）在R上为奇函数，且当x1，则当x1，当xf（x）1f（x），即x0时，f（x）（1）1.10.（2016南京模拟）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，）上是单调递增函数.如果实数t满足f（ln t）f（ln）2f（1），那么t的取值范围是_.答案，e

14、解析由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（ln t）f（ln由f（ln t）f（ln）2f（1），得f（ln t）f（1）.又函数f（x）在区间0，）上是单调递增函数，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.11.（2016江苏苏北四市二调）定义在R上的奇函数f（x）满足当x0时，f（x）log2（x2）（a1）xb（a，b为常数），若f（2）1，则f（6）的值为_.答案4解析由已知得f（0）01b，b1，又f（2）22（a1）11，a0，f（x）log2（x2）x1（x0），f（6）f（6）3614.12.（2016江苏扬州中学开学考试）已知f（x）是定义在2，2上的奇函数，且当

15、x（0,2时，f（x）2x1，函数g（x）x22xm，如果x12,2，x22，2，使得g（x2）f（x1），则实数m的取值范围是_.答案5，2解析f（x）是定义在2,2上的奇函数，f（0）0，当x（0,2时，f（x）2x1的值域为（0,3，当x2,2时，f（x）的值域为3,3，若x12,2，x22,2，使得g（x2）f（x1），则g（x）max3且g（x）min3，g（x）x22xm（x1）2m1，当x2,2时，g（x）maxg（2）8m，g（x）ming（1）m1，故8m3且m13，解得m5且m2，故5m2.13.设f（x）是（，）上的奇函数，f（x2）f（x），当0x1时，f（x）x.（1）求f（）的值；（2）当4x4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积.解（1）由f（x2）f（x），得f（x4）f（x2）2f（x2）f（x），f（x）是以4为周期的周期函数.f（）f（14）f（4）f（4）（4）4.（2）由f（x）是奇函数与f（x2）f（x），得f（x1）2f（x1）f（x1），即f（1x）f（1x）.从而可知函数yf（x）的图象关于直线x1对称.又当0x1时，f（x）x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示.设当4x4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4（21）4