微分中值定理和不等式的证明Word格式.docx

1、3.2利用拉格朗日中值定理证明不等式 53.3利用柯西中值定理证明不等式 63.4利用泰勒中值定理证明不等式 83.5综合利用微分中值定理证明不等式 10结论 11参考文献 11引言在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微 分中值定理，他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值 定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西 不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重 要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质； 函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；

2、等式及不等式 证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整 个微分学基础而又举足轻重的内容.1 预备知识微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具 ，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况 或推广。也就是说微分中值定理包括罗尔定理、 拉格朗日中值定理、以及柯西中 值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概 念.定义11（单调性）函数f （x）在定义域内,当X, x2时，有f（Xi） f（X2）（f（Xi） f（X2）则称f （X）单调递增. 当Xi X2时,有f（Xi） f（X2）（f（

3、Xi） f（X2）,则称f （X）单调递减.定义21（保号性）若lim f（X） limg（x）,则存在 0,任意X （冷 ,X Xo XX）Xo ）,使得 f（X） g（X）.定义31（最值）设f（X）在I上有定义,若存在Xo I使任意x I ,f（Xo） f（x）（ f（Xo） f（x）,则f（Xo）称为f（x）的最小值（最大值）.Xo为最小值点（最大值点）.定义4（极值）设f（x）在任意x I上有定义,若存在Xo I, o,任意x （Xo ,Xo ）,都有 f （x） f（Xo） （ f（x） f （Xo），贝U f（Xo）称为 f （x）的一个极小值（极大值）,Xo称为极小值点（极大值

4、点）.2微分中值定理及其证明2.1费马引理定理1 2 设函数f（X）在点X的某邻域内有定义,且在点X。可导，若X。为f的 极值点，则必有f （Xo） 0费马定理的几何意义：如果将函数f（X）的曲线置于直角坐标系 XOY,则费 马定理具有几何意义表示若在曲线 y f（x）上有一点（x0,f（X）存在切线,且在 X）在f（x）取得极值.则这一点处的切线必平行于 X轴.2.2罗尔中值定理及其推广定理23如果函数f（x）满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3） 在区间端点处的函数值相等，即f（a） f（b），那么在内至少有一点 使得f （ ） 0罗尔定理的几何意义：若f（x）满足罗尔定

5、理的条件,则在曲线y f（x）上至 少存在一点P（ ,f（）,使得点P处的切线平行于X轴（如图）,其中 A（a,f（a）, B（b, f（b）证明因为a b,且f （b） f （a）.（1）若f（x） f（b） f（a）为常数,则必有f（x） 0，所以,存在 （a,b）,使得f （ ） 0;（2）若f（x）不是常数,则f（x）非单调,又有f（x）在a,b上连续在a,b内 可导,根据引理1,存在 （a,b）,使得f （ ） 0.证毕.定理3 3 设f （x）在a,b内可导，且lim f （x） lim f （x） A,其中a ,x a x b则存在 （a,b）使得f（） 0.2.3拉格朗日中值定

6、理及其推广定理4 4如果函数f（x）满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间a,b内可导；则至少存在一点 （a,b）使等式f（b） f（a）b a证法利用罗尔中值定理F（x） f（x） f（a） 芈 血（x a）.定理55（推广一）设f（x）,g（x）,h（x）在a,b上连续,在a,b内可导,则存在（a,b）使得f（a）g（a）h（a）f（b）g（b）h（b）f （）g （）h（）0.定理66（推广二）若f（x）在有限开区间a,b内可导,且f（a 0）与f（b 0）存在,则至少存在一点 （a,b）使得f （b 0） f （a 0）2.4柯西中值定理及其推广定理7 7 设函数f（x）、g（

7、x）满足:（1）在闭区间a,b上连续;（2）在开区间 a,b内可导,且g （x） 0，则至少存在一点 （a, b）使得f （ ） f（b） f（a） g （ ） g（b） g（a）定理87（洛必达法则一）若函数f（x）与（x）满足下列条件：（1）在a的某去心领域U（a）可导，且（x） 0 ；lim f（x） 0 与 lim （x） 0 ;（2）x a x alim IM l.（3）x a （x）则 lim型 limiM l.X a （x） X a （x）证法证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个函数的倒数之比之间 的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带为了使函数f（x）与（X）在a满 足

8、柯西中值定理的条件，将函数f（x）与（x）在a作连续开拓.这不影响定理的证 明，因为讨论函数 空在a的极限与函数f（x）与（x）在a的函数值无关.2.5 泰勒中值定理定理98立（x）若函数f X在x的某邻域U Xo内存在n阶导数，则在该邻域成Rn f Xo 2Xo n!nXo 尺X其中pn xf n 1 T nx Xo G x G . n!G称为f X在Xo的n次泰勒多项式，RnRn x称为n次泰勒多项式的余项.利用微分中值定理证明不等式3.1 罗尔中值定理证明不等式罗尔中值定理的几何意义：在满足定理条件下，在曲线y f（x）上必有一点， 使得过该点P（ ,f（）的切线平行于x轴.在一般情况下

9、，利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题 ，但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式，所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用 其他的微分中值定理.X例1 （ 1）如果X 0,试证 ln（1 X） x;1 x（ 2）求证: arctg arctg证（1）令 f （x） ln（1 x）, f（x）在区间 0,x （x 0）上连续,在 0,x （x 0）内可导,应用拉格朗日中值定理,则有ln（1 x） ln（1） , （0, x）.由于在闭区间0,x上,有X X1 X 1X,所以1Xxln（1 x） x （x 0）（2）当 时,显然等号成立当 时，不妨设.设 f （x）arctgx,x ,J由拉格

10、朗日中值定理得,arCtg arCtg 112,（,）.则有arctg arctg1 2（）所以112（）3.2利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件下，在曲线y f （x）上必有 一点P（ , f （）,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线 （a, f（a） , （b, f（b）两点的弦我们在证明中引入的辅助函数 F（x） f（x） f （a）丄 （x a）,正是曲线y f （x）与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广 ,当f（a） f （b）时，本定理即为罗尔中值定理的结论，这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形 y f（x）.拉格朗日

11、中值定理的其它表示形式：（1）f（b） f（a） f （ ）（b a）, a b;（2）f（b） f（a） f （a （b a）（b a）（0 1）；（3）f （a h） f （a） f （a h）,0 1.值得注意的是：拉格朗日中值定理无论对于 a b,还是a b都成立.而 则 是介于a与b之间的某一定数,而（2）,（ 3）两式的特点,在于把中值点 表示成了 a （b a）,使得不论a , b为何值,总可为小于1的某一整数.例2 当x 0时，函数f （x）在其定义域上可导，且f （x）为不增函数,n nf （x） 0 , x 0,i 1,2,., n,求证 f（ n） f（N）.i 1 i

12、1证用数学归纳法当n 1时,显然不等式成立.当n 2时，若,x2均为0 ,或者一个为0时,当一个为0时，显然有 f（X1 X2） f（xj f（X2）.设0X2均大于0 ,不妨设N X2,在0, M应用拉格朗日中值定理可得：f（X1） f（xj f（0）x1 x1 0f （ 1）, 10, 1在X2,Xi X2上再次利用拉格朗日中值定理可得k情况.取u X，由前面已证的结论有i 1f （u Xk 1） f（u） f （Xk 1）,k 1 k 1再用归纳假设可得 f（ Xi） f（Xi）,即当以上例子是利用拉格朗日中值定理来证明不等式 ，有些不等式利用此定f （ X）.理时,方法要灵活些n k

13、1时结论成立.所以 f （Xi）3.3 利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理是研究两个函数 f（X）, g（X）的变量关系的中值定理，当一个函 数（不妨设此函数为g（X）取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理 ，所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明 ，反之则不然.下面举例来说明：对例1用柯西中值定理证明，这里仅用第一个小题来说明，其证法如下：证（1）令 f （X） ln（1 X） , g（X） X . f （X）, g（X）在区间 0,x （x 0）上连续，在0,x （X 0）内可导，且g （x）在0,x （X 0）内每一点都不为零，那么由柯西中值定理可得：ln（1

14、 x） In （1） 1 心、,（0, X）（1 X） 1 1ln（1 x） In（1） , （0, x）.1F面与例1中解法同，这里就不再赘述了 .例3 （ 1）设X 0 ,对0 1的情况，求证：x X 1（ 2）设 x 0，求证：sinx eX 1.证明（1）设 f （t） x , g（t） X.当x 1时结论显然成立.当x 1时,取x,1或1,x , f（x）,g（x）在闭区间x,1或1,x上连续,在开区区间0,x内可导,且g（x）在0,x内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可在上式中取x0 a, X旦-,并利用已知条件f（a） 0,则有:2于是 f （电上）f（a） （b a） k .

15、2 8同理再取x b, x ，并利用已知条件f （b） 0,则得：f（S） f（b） （b a） f （C2）,其中 C2 满足皂上 C2 b.2 8 2于是： f（b） f（j） g_k.因此, ,a br a b ,（b a）2 上 上f（b） f（ ）f（ ） f（a） 丿 k f（b） f（a）4这是不可能的.所以在区间a,b内至少存在一点c, 使得 lf（c）占f（b） f（a）3.4利用泰勒中值定理证明不等式泰勒公式的余项大体分两种：佩亚诺型余项，拉格朗日型余项.与带拉格朗日 型余项的泰勒公式相比，带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数 f （x）的假设条件较少，只需函数f（x）在Xo处n

16、阶可导,不需要n 1阶可导,也不需要在X0的邻域内 存在n阶连续导数，因此应用范围较广.但是在证明不等式时，精确度却不如带拉 格朗日型余项的泰勒公式好.利用此原理可以证明一般的不等式，积分不等式，估值不等式等多种不等式 这种方法的用法非常广泛.证明方法：（1）根据已知条件，围绕证明目标，寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展 式.根据已知条件，向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处 理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.下面举例来说明：显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多确度会大幅度地提高，所以我们在做题过程中，按题目的要求来选择适当的方法 来证明不同的不等式.证 令f （x） s

17、i nx,那么函数f（x）在x0 0点展开前2n项的泰勒公式,余项取拉格朗形式，那么有:sin4n 3 xsin x2n k 2k 1（1） x（2 kRtn 3（X）（4n 3）!x 4nxsin（R32 4n 3cos 4n 3x （4n 3）!因为0x ,所以cos0 ,从而 R2n 1（x） 0 ,所以有2n （ 1）k x2k 1 k 0 （2k 1）!2n （ 1）kx2k k 0（2k 1）!同理，因为R2n（x）（4n 1）!另外,在遇到高阶导数的不等式，4.我们也可以用泰勒中值定理来证明例4的另一种证法：由题设条件，应用泰勒展开式有：f（U f（a）f（Jb其中1介于a与乞上

18、之间，上述两式相减，且有f （a）0,所以左端的不等号也成立一般都首先考虑泰勒中值定理像之前的例 ,下面具体来说明：）f（b）b a f （a） f （b）-f （if（J（j,2）（专几与b之间.f （b） 0,得：2介于-1 a bf（a） （2 2（a b）2）f （2）f （ 1）,f （a）令 maxf （ 2）, f （ 1） f （）,f（a） f（b）8（a, b）,则有 （a b）2 ff （ 2）f （ 1）.（）,（a,b）.（b a）2f（b） f（a）.例6设函数求证：对任意的x证对任意的f （x）在 a,b 上二阶可导，且 f （x） 0, f （x） 0 .厶.

19、2a,b ,有 f （x）a,b ,将 f （x）在 t 点展开（t a,b ）.b a.f（x） f（t） f（t）（x t） OX 其中介于 x 与t 之间）注意到f （x）0,所以有 f（x） f （t） f （x t）.对上述不等式的两边对t积分,得：b b bf （x）dt f（t）dt f （t）（x t）dta a a（b a）f（x） a f（t）dt f（x）（x t）a a f （t）dtb2 f （t）dt f （b）（x b） f （a）（x a） a因为f （x） 02 bf（b）（x b） f （a）（x a） 0.所以 f （x） f （t）b a a3.5综合利

20、用微分中值定理证明不等式禾用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性 ，其方法是：如果函数f （x）在a,b上连续,在a,b内可导,则有：（1）如果在在a,b内函数f （x）的导数f （x） 0,则函数f （x）在a,b上单调增加；（2）如果在在a,b内函数f （x）的导数f （x） 0 ,则函数f （x）在a,b上单调减少.另外,函数f（x）在a,b内除有个别点外,仍有f （x） 0（或f （x） 0）,则函数f （x）在a, b上单调增加（或减少）的,即连续函数在个别点处无导数并不影响 函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质 ，便可以方便地求出函数的极值，

21、从而证明出不等式.其方法为：确定函数f （x）的定义域，然后求出定义域内的所有驻点，并找出 f（x）连续但f （x）不存在的所有点，讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近 f （x） 的符号变化情况，确定函数f（x）的极值点，并求出相应的极大值点与极小值点， 从而进一步证明不等式.例7求证（1）当x0时，证明ln（1 x）2）当x（0,-）时,证明tan x成立.x成立. sin x证（1）令 f（X）ln（1x）,因为函数f （x）在0,）上连续,在（0,）内可导,且当 x 0 时，f （x）0,所以当0时，函数f （x）是单调递增的.故当x 0f （x）f（0）从而x） x0,即 f （x）

22、0 , （2）因为 x （0,-）,所以 sinx 0,心 0.令函数 f（x） sinxtanx x2,则有：f （x） sin x sec xs in x 2x tan x（cosx时严格递增的,又因为f（x） 0,所以f（x） 0（x （0, ）,即 四 成立.2 x sin x例8设函数f（x）在闭区间a,b上二次可微,且满足f （x） 0,试证:当a x b时,有不等式：f（x）f他f成立.x a b a证令（x） f（x） f（a）,那么（x） f （x） f （ ）（a x）.x a x a由于f （x） 0,可知f （x）在闭区间a,b上是严格递增的，即f （x） f （）,从

23、而有 （x） 0 ,故函数（x）在闭区间a,b上也是严格递增的，于是当x a,b时，有:（x） （b）,f （x） f （a） f （b） f （a）成立结论由上所述,我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数 ，还可以利用其他的证明方法加以证明，同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进 关系除了本文介绍的几个方面，利用微分中值定理还可以导出洛必达法则 ，泰勒公式等由导数研究函数的性态（极值、最值、凹凸性）也要用到微分中值定理的结 论深入研究微分中值定理，有助于加深对这些定理的理解；清楚这些定理的证明, 能促使我们掌握微分中值定理的具体应用参考文献：1华东师范大学数学系数学分析（上册

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