本科毕业论文泊松分布在排队论中的应用讲解Word文件下载.docx

1、顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务，即如果全部的服务台都有顾客正在接受 服务，则离开（损失制），或者是排队等待服务（等待制）还有系统的有限性和无限性即 顾客源的有限或无限也是有差别的.（3）服务机构：相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务，单个顾客的服务时间是多 少.2.2判断服务系统优劣的指标1队长：服务系统总的顾客数，记其期望值为 Ls;2排队长：服务系统中正在等待接收服务的顾客，记其期望值为Lq ；通常情况下Ls或Lq越 大，系统的服务质量越差，反之，则越好；3逗留时间：某一顾客在服务系统中总的停留时间，记其期望值为 Ws ；4等待时间：指某一顾客在服务系统中排队过

2、程所费总时间；5忙期：指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度，是服务质量 和强度的指标.用N t表示从初始时刻（0时刻）到t时刻（时间区间用0,t 1表示）到达服务台的顾 客数，用Pn tnt2表示在时间区间2 （ t2ti ）内共有n个顾客到达服务台的概率，即：Pn t!,t2 =P k t2 -N t!下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求 Pn t的概率分布.首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念：定义2.1对于随机变量所有可能取值为0,123-满足以下两个条件时； P 二 k 0. k =0,1,2,3 k a P =k e =1;k k=0 k!则称这

3、个分布服从参数为- 0泊松分布3，记为X 二.泊松过程作为一种累计的随机事件发生次数的最基本的独立增量过程，排队问题中的计数过程In t ,t -01需满足下面三个条件4Li.独立增量性：在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立；ii.平稳性：对充分小的 t，在时间区间t, ：t内有一个顾客到达的概率与t无关，而 约与氏成正比.即：R t,t氏：t （为大于零的常数）iii.普通性：对充分小的 t，在时间区间t, t内有2个或2个以上顾客到达的概率极 小，以至于可以忽略不计，即：、巳 t,t ：t 二：-：t n=2由上述条件（i ）取t =0即从0时刻算起，并记为Pn t二R

4、0,t ；再由条件（ii ） （iii ）可得在t,t .址内无顾客到达的概率为：F0 t,t 讥1 一 At :讥因为 0, t rt 二 0,t t,t rt （即将 0 t rt 拆分）由全概率公式有：Fn t At =Fn t 1- t Rt t - n_1 将式两边同时除以t ：t 0可得：购（Pn 0 =0是初值条件）dPn t 二 _ Pn t 尹t ；n _1 d t Pn（0）=0当n = 0时可将式改写为：P0t.P。0 =1其中R 0 =1的现实意义是t =0时刻无人到达的概率为1.对于初值问题，在分离出P0t的基础上，通过递推公式于是可得到:P t t ，tPnt=-n

5、ye , t 0, n = 0,1,2,3 它的数学期望为EN t丨二t , 方差Var N t L t .至此我们可以得出这样的结论：上面这种顾客到达的计数过程 Nt是服从参数为t的 泊松分布.3排队论模型中的相关分布3.1时间间隔的分布当寻求某种服务的顾客流入服务系统的过程是一个参数为 的泊松过程时，那么，两 个顾客相继到达的时间间隔T服从参数为的负指数分布5】，并且两者是等价的.下面将 就此结论进行简单的证明.设Ft t为T的分布函数，那么：Ft t 二 PT t丄 1 PT f=1 _R（t ）=1 _e（0 兰 t 址）由分布函数求密度函数即对Ft t关于t求导，可得：fT（t）=e

6、；（otp）i由指数分布的性质可知其期望 ET =-,其现实意义为，若来客的平均到达率为，则他们 的平均到达时间间隔为-，二者的意义是互通的.3.2服务时间的分布对于服务时间V的分布一般说来也服从负指数分布，推理过程与上面时间间隔的分布 类似，这里不再重述.下面只给出 V的分布函数和它的密度函数.Fv t e， fv t Ae其中为平均服务率，其现实意义是单位时间内能被服务完的来客数目.下面就泊松分布 在几种常见的排队论模型中的应用进行实例介绍.4具体模型 M/M/1/：/：（顾客源无限，系统容量不限）该模型的具体条件有：输入过程的顾客源是无限的，彼此间的到来独立不相关，到达 的顾客流服从泊松

7、分布，并且到达的过程是平稳的.排队服从单队形规则并且先到者优先 接受服务，对队伍长度没有限制，只有一个服务台，来客接受服务的时间相互独立且都服 从同一个负指数分布5 .下面就泊松分布的知识对该模型的相关指标进行计算.在顾客到达服从泊松分布（参数为）且服务时间服从指数分布（参数为 ）的前提, 可知在t,t 氏的时间区间内，有一个来客到达的概率为 Jt 讥，那么，它的对立事件即没有一个来客到达的概率为 仁讥，同理，1个来客被服务完离开的概率为 It kt，其对立事件来客没有被服务完的概率为 1-心t“工t，有两个或两个以上来客到达或离开的概率为-迸.再次运用全概率公式：Rt氏二Pnt 1-址就1-

8、t ：氏P, t :- AtP.111 - 5 rt ,t :P.4 t - - ：t 1 - At :上式整理后得：Pn t =t = Pn t 1 - ：.t -亠 Pn d t：t - Rt =t . . ：t ;移项并在等式两边同时除以：t 4-； 0后得：Pn（t+；t）卩也）=F（t 片 4P（t ）一仇 + 4 R（t ）+警）；Lt Lt故有： dPo（t ）= 7pn（t 片卜久轨t ）_（卩 +& R（t ）（1 ） d t上式是对于n_1的情况，当n =0时，式可以改写为：联）iPo（t）+PR（t ） 联立并求其稳态条件下的解（此时 Pn t与t无关，可以改写为Pn ）

9、； 得到关于巳的差分方程：工只+卩只卑_（丸+ 4几=0;（ n1）. AR 问=0qQ由概率的知识规定：J Pn =1 .n=000 n 1于是, P0 P0 7 = 1 ;n =0 1 式是系统状态为n的概率，由此计算出的该模型的几个主要指标有：a.顾客的平均数（排队长度的期望）：Ls二厂;-.b.正在队列中等待的顾客数平均（队列长的期望）：Lq =2 ；C.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值： weW ,即W服从参数为s 卩人的指数分布：1 P （ 门d.排队等待所费时间的期望： wq=Ws-匸=丁卩=;卩-儿I N丿针对运用泊松分布计算出的上排队论模型的各指标参数，下面将其运用到具

10、体的生活实例中.该模型与上一个比较，只是系统容量的不同，故上一模型的差分方程在当n：N时, 在此模型中仍适用，在这里只要考虑 n二N的情况，仍然运用全概率公式得：PN（t ：t） =PN（t）（1 -o（. ：t） 1 PN（t）（ ：t 0（. ：t） （1- . ：t） 0（. ：t）求导可得:-JdN PN（t）PN得该模型的稳态条件下的差分方程为:R 二 BoPn* + PPz=（1 + P）Pn, （n =1,2,，N1）PnPnN仍旧有a Pn =1，解方程组得:n =0由可得模型二的若干指标:a.顾客的平均数（排队长度的期望）: b.正在队列中等待的顾客数平均（队列长的期望）：O

11、0Lq 八（n- 1）R 二Ls-（1-Po）c.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值：此时，当系统人满（n二N）时，贝u到达率为0，故要求出有效的到达率 e 正在被 服务的顾客的期望为：1-R二亍釘z 1 - P1 PNn、一 e =卩（1 - P） =41 1 pw;异冷护屮人（1一 PN）但是当系统容量无限时有：Ls -，Ws -一扎=Ws = -s 当服务系统容量为N时，式仍旧成立由此得： Ws =L J丸 e 卩（1 P0 ）Wq =Ws针对运用泊松分布计算出的排队论模型二的各指标参数，下面将模型二的计算指标再 次运用到具体的生活实例中，探究模型的实际应用功能.5具体实例分析例1到

12、某一公共电话亭打电话的人可以认为是以泊松流到达，没人到达的时间的间 隔平均为10分钟，每次打电话从开始到结束的时间为 3分钟，求： 该公共电话亭的平均排队的人数；每人等待时间的期望值是多少；某人到达后必须排队等待的概率是多大？ 若电信公司在确定1人到达后至少等待的时间为3分钟的情况下，就会在相邻的地 方安装另一部电话机，试问，平均到达率上升到多少时电信公司会安装另一部电话？ 例题分析：由泊松分布的知识可知：现在假设平均的到达率由0.1上升到，1时，此时某人到达后至少需要等待3分钟,这时电信局需要在旁边安装另一部电话机贝W2 =3 - 解得為=0.16 .0.33 0.33 -、其中 的解对实际

13、问题的指导意义，即每两个人到达的时间间隔为 6.25】丄1时,0.16；安装另一部电话机可增加社会的经济效益.例2针对合肥师范学院校园理发店的案例分析：到达位于浴室旁边的校园理发店寻求理发服务的学生群可以认为是以泊松流到达，该 理发店内有六张座椅接待前来排队等待理发的学生，学生的大众心理规则如下，当到达理 发店门口发现里面的6张座椅全都坐满时，随即离去，到校外理发店寻求服务，经观察， 本校学生的平均到达率为3人/小时，整个理发过称平均为15分钟/人.根据以上的观测信 息计算以下几个问题：某一学生已到达就能接受理发服务的概率；需要排队等待接受理发的学生人数的期望值；实际有效的的到达率为多少？ 某

14、一学生在该理发店逗留的时间的期望；求在可能到来的学生中有多少人不等待就选择离开？分析：由实际情况知该校园理发店的服务系统的最大顾客容量为 N =7,因为学生的到来是一个泊松过程，由泊松分布的相关知识可得其参数为；平均到达率：，=3人/小时； 平均服务率：4人/小时.该情况等价于校园理发店内没有顾客，故其概率为:1一3:0.2278 ；4-品3I4排队等待的期望值为:时Ls - 1 -F0 =1.39 .有效的到达率为:e 八 1 -P）1=4 1 -0.27781=2.89人/ 小时. 某个学生在该理发店内停留时间的期望为:WS =士 工211 =0.73小时;e 2.89 这个问题等同于校园

15、理发店里有7个学生的概率,以上的第五个问题的现实意义就是本校理发店的损失率.例3针对某小区7月-12月访客到达的数据（如表1所示）运用SPSS统计软件单样本K-S 检验方法检验，将得到的检验结果（见表 2,3 ）结合前面分析的泊松分布的有关知识进行运算，最终得出指导实际的参数指标.表1、某小区7月-12月的每日客流量7月8月9月10月11月12月961502351191762134220114263201801562518726021711216026810824612814451632481702071032216171225173120113142721823818155731468642

16、504295106925913636108527410170231111162531271781382161216722714723413211191219187142051151516218917921016195224148172392441591827919232204126202302701431971751212124027219915822165196229239719018824236252221172625490272698114928154669129621403016418031135表2、单样本K - S检验On e-Sample Kolmogorov-Smir nov

17、Test来客量183Most Extreme Differe ncesMea n172.37Absolute0.370Positive0.364Negative-0.370Kolmogorov-Smir nov Z5.007Asymp. Sig. （2-tailed）0.532由统计结果得P =0.532 0.05故可认为该来客流量过程服从泊松分布，由描述性统计结果（表3）可知来客流量的均值为172，即 =172，结合前面分析的泊松分布在排队论模型中参数的知识计算得系统中来客的数学期望 E X =184,方差Var X = 6324,服务时间期望 ET =1.15,方差 Var T : 0.0

18、14表3、描述性统计Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationMinimumMaximumPercentiles25th50th （Median）75th来客里57 157126.00175.00220.00根据以上的运算结果可知，该小区在管理上提供的人次数 为104,264，服务时间为1.03,1.27 d，从而该小区每天接待的平均来客量为 184人，上下波动80人对每一来客平均服务时间为1.15天，上下波动0.12天.因此，该小区的服务人员数量应确定为107-335人 之间，可根据季节变动调整服务人数，达到最优的人员配置，对实际的物业管理具有一定 的指导意义.6小结评价和优化随机服务系统需要一定的数量指标来完反映这些数量指标包括：队长和 排队长，逗留时间和等待时间，忙期和闲期，顾客损失率，服务强度排队论就是通过研 究主要数量指标的概率规律性，然后进行统计推测研究，最后使实际问题最优化本篇论 文在对已有的泊松分布和排队论的相关知识的简单介绍的基础上，弓I出两个