1、要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.(1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形. (2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形.(3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质 1、(2016哈尔滨)已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQBE于点Q,DPAQ于点P(1)求证
2、:AP=BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长【思路点拨】(1)根据正方形的性质得出AD=BA,BAQ=ADP,再根据已知条件得到AQB=DPA,判定AQBDPA并得出结论;(2)根据AQAP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析【答案与解析】解:(1)正方形ABCDAD=BA,BAD=90,即BAQ+DAP=90DPAQADP+DAP=90BAQ=ADPAQBE于点Q,DPAQ于点PAQB=DPA=90AQBDPA(AAS)AP=BQ(2)AQAP=PQAQBQ=PQDPAP=PQDPBQ=PQ【总结升华】本题主要考
3、查了正方形以及全等三角形,解决问题的关键是掌握:正方形的四条边相等,四个角都是直角解题时需要运用:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,以及全等三角形的对应边相等举一反三:【变式1】如图四边形ABCD是正方形,点E、K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CEBKAG以线段DE、DG为边作DEFG (1)求证:DEDG,且DEDG(2)连接KF,猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想【答案】证明:(1) 四边形ABCD是正方形, DCDA,DCEDAG90 又 CEAG, DCEDAG, EDCGDA,DEDG又 ADEEDC90, ADEGDA90 DEDG (
4、2)四边形CEFK为平行四边形设CK,DE相交于M点, 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形, ABCD,ABCD,EFDG,EFDG; BKAG, KGABCD 四边形CKGD为平行四边形 CKDGEF,CKDGEF 四边形CEFK为平行四边形【变式2】如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是_ 【答案】2;提示:阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定 2、(2015闸北区模拟)如图,在RtABC中,BAC=90,AD=CD,点E是边AC的中点,连接DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AGBC,交DE于点G,连接AF、
5、CGAF=BF;(2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形(1)根据线段垂直平分线的性质,可得AF=CF,再根据等角的余角相等可得B=BAF,所以AF=BF(2)由AAS可证AEGCEF,所以AG=CF由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形,进而证得四边形AFCG是菱形,最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形(1)AD=CD,点E是边AC的中点,DEAC即得DE是线段AC的垂直平分线AF=CFFAC=ACB在RtABC中,由BAC=90得B+ACB=90,FAC+BAF=90B=BAFAF=BF(2)AGCF,AGE=CFE又点E是
6、边AC的中点,AE=CE在AEG和CEF中,AEGCEF(AAS)AG=CF又AGCF,四边形AFCG是平行四边形AF=CF,四边形AFCG是菱形在RtABC中,由AF=CF,AF=BF,得BF=CF即得点F是边BC的中点又AB=AC,AFBC即得AFC=90四边形AFCG是正方形【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法,考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用,判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质 【变式】(2015春上城区期末)如图,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,A
7、H=2,连结CF(1)若DG=2,求证:四边形EFGH为正方形;(2)若DG=6,求FCG的面积(1)证明:四边形EFGH为菱形,HG=EH,AH=2,DG=2,DG=AH,在RtDHG和AEH中,RtDHGAEH,DHG=AEH,AEH+AHG=90DHG+AHG=90GHE=90四边形EFGH为正方形;(2)解:作FQCD于Q,连结GE,如图,四边形ABCD为矩形,ABCD,AEG=QGE,即AEH+HEG=QGF+FGE,HE=GF,HEGF,HEG=FGE,AEH=QGF,在AEH和QGF中AEHQGF,AH=QF=2,DG=6,CD=8,CG=2,FCG的面积=CGFQ=22=2类型
8、三、正方形综合应用3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点,若EBF45AECFEF(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点,结论(1)仍成立吗?若成立,请证明,若不成立,写出正确结论并加以证明(1)延长DC,使CHAE,连接BH, 四边形ABCD是正方形, ABCH90,又ABBC,CHAE, RtBAERtBCH, 12,BEBH又 13490,445 1345,2345在EBF和HBF中, EBFHBF, EFFHFCCHAECF即AECFEF (2)如图所示:不成立,正确结论:EFCFAE在CF上截取CHAE,连接BH 四边形ABCD是正方形, 在RtEAB和RtH
9、CB中, RtEABRtHCB, BEBH,EBAHBC HBC ABH90, EBA ABH90又 EBF45, HBF45即EBFHBF在EBF和HBF中 EFFHCFCHCFAE,即EFCFAE 【总结升华】本题主要考察正方形的性质,全等三角形的性质和判定,关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、正方形ABCD的对角线交点为O,如图所示,AE平分BAC交BC于E,交OB于F,求证:EC2FO【思路点拨】在平面几何中,要证明一条线段等于另一条线段的2倍或,通常采用折半法或加倍法而折半法又可分直接折半法和间接折半法;加倍又可分直接加倍法和间接加倍法这就需要学生仔细研究,找到解决问题
10、的合适方法 证法一:(间接折半法)如图所示 314,526 而12,4645 35,BEBF 取AE的中点G,连接OG, AOOC, OGEC 由75,83, 78, FOGO EC2OG2FO 证法二:(直接折半法)如图所示 由证法一得BEBF 取EC的中点H,连接OH AOOC, OHAE BOHBFEBEFBHO BOBH, FOEH EC2EH2FO 证法三:(直接加倍法)如图所示在OD上截取OMOF,连接MC易证RtAOFRtCOM OAFOCM, AEMC 由BMCBFEBEFBCM, FMEC ECFM2FO【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时,要联想中位线定理,利
11、用中点构造中位线,要注意从不同的角度进行思构,构造不同的辅助线来解决问题【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFAB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图,易证EGCG,且EGCG (1)将BEF绕点B逆时针旋转90,如图,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想(2)将BEF绕点B逆时针旋转180,如图,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明(1)EGCG,且EGCG(2)EGCG,且EGCG 证明:延长FE交DC延长线于M,连MG,如图, AEM90,EBC90,BCM90 四边形BEMC是矩形 BECM,EMC90 又 BEEF, EFCM EMC90,FGDG, MGFDFG BCEM,BCCD, EMCD EFCM, FMDM, F45 又FGDG,CMGEMD45 FGMC, GFEGMC, EGCG,FGEMGC, MGDF, FGEEGM90 MGCEGM90即EGC90 EGCG
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