中学数学第八章 第4节 直线平面平行的判定及其性质文档格式.docx

1、（2）若a，P，则过点P且平行于a的直线只有一条，故（2）错误.（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故（3）错误.答案（1）（2）（3）（4）2.（必修2P61A1（2）改编）下列说法中，与“直线a平面”等价的是（）A.直线a上有无数个点不在平面内B.直线a与平面内的所有直线平行C.直线a与平面内无数条直线不相交D.直线a与平面内的任意一条直线都不相交解析因为a平面，所以直线a与平面无交点，因此a和平面内的任意一条直线都不相交，故选D.答案D3.（必修2P61A1（1）改编）下列命题中正确的是（）A.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B

2、.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.4.（2018长沙模拟）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.m，n，则mn B.mn，m，则nC.m，m，则 D.，则解析A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n或n，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，或与相交，D错.答案C5.（2019成都月考）若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中（）A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无

3、数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线解析当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.答案A6.（2019衡水开学考试）如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_.解析平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，EFHG.同理EHFG，四边形EFGH是平行四边形.答案平行四边形考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】 （1）（2019开封模拟）在空间中，a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A.若ac，bc，则abB.若a，b，则abC.若a，b，则abD

4、.若，a，则a（2）（2018聊城模拟）下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC平面DEF的是（）解析（1）对于A，若ac，bc，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；对于B，设m，若a，b均与m平行，则ab，故B是假命题；对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；对于D，若，a，则a与没有公共点，则a，故D是真命题.（2）在B中，如图，连接MN，PN，A，B，C为正方体所在棱的中点，ABMN，ACPN，MNDE，PNEF，ABDE，ACEF，ABACA，DEEFE，AB，AC平面ABC，DE，EF平面DEF，平面ABC平面DEF.答案（1）D（2）B规律方

5、法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.（1）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.（2）特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】 （1）下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行安

6、庆模拟）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BPBD1，则下面说法正确的是_（填序号）.MN平面APC；C1Q平面APC；A，P，M三点共线；平面MNQ平面APC.解析（1）A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.（2）如图，对于，连接MN，AC，则MNAC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN平面APC，所以MN平面APC是错误的.对于，由知M，N在平面

7、APC内，由题易知ANC1Q，且AN平面APC，C1Q平面APC.所以C1Q平面APC是正确的.对于，由知，A，P，M三点共线是正确的.对于，由知MN平面APC，又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面APC是错误的.答案（1）C（2）考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1直线与平面平行的判定【例21】 （2019东北三省四市模拟）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1.（1）证明：EF平面PDC；（2）求点F到平面PDC的距离.（1）证明取PC的中点M，连接DM，MF，M，F分别是PC，PB的中点，MFCB，MFCB，

8、E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，DECB，DEMFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形，EFDM，EF平面PDC，DM平面PDC，EF平面PDC.（2）解EF平面PDC，点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.PA平面ABCD，PADA，在RtPAD中，PAAD1，DP.PA平面ABCD，PACB，CBAB，PAABA，CB平面PAB，CBPB，则PC，PD2DC2PC2，PDC为直角三角形，SPDC1连接EP，EC，易知VEPDCVCPDE，设E到平面PDC的距离为h，CDAD，CDPA，ADPAA，CD平面PAD，则h1，h，点F到平面PDC的距离为角度2直线与平面

9、平行性质定理的应用【例22】 （2018上饶模拟）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.（1）求三棱锥B1A1BE的体积；（2）试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.解（1）如图所示，VB1A1BEVEA1B1BSA1B1B DA22（2）B1F平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1平面CDD1C1，平面A1BH平面CDD1C1GE，所以A1BGE.又A1BCD1，所以GECD1.又E为DD1的中点，则G为C

10、D的中点.故BGB1F，BG就是所求直线.规律方法1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【训练2】 （2017江苏卷）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC.证明（1）在平面ABD内，ABAD，EFAD，则ABEF

11、.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.（2）BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因为AC平面ABC，ADAC.考点三面面平行的判定与性质典例迁移【例3】 （经典母题）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1平面BCHG.证明（1）G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GH

12、BC，B，C，H，G四点共面.（2）E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，A1G綉EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【迁移探究1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，

13、连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1平面AC1D.【迁移探究2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值.解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1D

14、BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，则1.又由题设1，即规律方法1.判定面面平行的主要方法（1）利用面面平行的判定定理.（2）线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）.2.面面平行条件的应用（1）两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.（2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【训练3】 （2019南昌二模）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2CD2AD4，侧面PAB是等腰直角三角形，PAPB，平面PAB平

15、面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF平面PAD.（1）确定点E，F的位置，并说明理由；（2）求三棱锥FDCE的体积.解（1）因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面ABCDCE，平面PAD平面ABCDAD，所以CEAD，又ABDC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DCAEAB，即点E是AB的中点.因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面PABEF，平面PAD平面PABPA，所以EFPA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点.综上，E，F分别是AB，PB的中点.（2）连接PE，由题意及（1）知PAPB，AEEB，所以PEAB，又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面A

16、BCDAB，所以PE平面ABCD.又ABCD，ABAD，所以VFDECVPDECSDECPE思维升华1.转化思想：三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.2.直线与平面平行的主要判定方法（1）定义法；（2）判定定理；（3）面面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法（3）推论；（4）a，a.易错防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维

17、”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.若直线l不平行于平面，且l，则（）A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.与直线l至少有两个公共点D.内的直线与l都相交解析因为l，直线l不平行于平面，所以直线l只能与平面相交，于是直线l与平面只有一个公共点，所以平面内不存在与l平行的直线.答案B2.（2019大连双基测试）已知直线l，m，平面，则下列条件能推出lm的是（）A.l，m， B.，l，mC.l，m D.l，m解析选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出lm，B正确；

18、选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交.故选B.3.（2018长郡中学质检）如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是（）A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，过A1B1的平面与平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.重庆六校联考）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A.存在一条直线a，a，aB.存在一条直线a，a，aC.存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD.存在两条

19、异面直线a，b，a，b，a，b解析对于选项A，若存在一条直线a，a，a，则或与相交，若，则存在一条直线a，使得a，a，所以选项A的内容是的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有，所以选项D的内容是的一个充分条件.故选D.合肥模拟）若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（）A.0条 B.1条C.2条 D.1条或2条解析如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EFGH.EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD.又EF平面ACD，平面BCD平面ACDCD，EFCD.

20、又EF平面EFGH，CD平面EFGH.CD平面EFGH，同理，AB平面EFGH，所以与平面（面EFGH）平行的棱有2条.二、填空题6.（2018杭州模拟）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则EF_.解析根据题意，因为EF平面AB1C，所以EFAC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点.因为在RtDEF中，DEDF1，故EF答案7.如图，平面平面，ABC，ABC分别在，内，线段AA，BB，CC共点于O，O在，之间，若AB2，AC1，BAC60，OAOA32，则ABC的面积为_.解析相交直线AA，BB所在平面和两平行平面，相交于AB

21、，AB，所以ABAB.同理BCBC，CACA.所以ABC与ABC的三内角相等，所以ABCABC，.SABC所以SABC8.（2019郑州调研）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_（填上正确命题的序号）.解析mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误.答案三、解答题9.（2019武汉模拟）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB平面ABCD，E是棱PA的中点.（1）求证：PC平面BDE；（2）平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积

22、比.（1）证明在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O，则O是AC的中点.又E是PA的中点，连接EO，则EO是PAC的中位线，所以PCEO，又EO平面EBD，PC平面EBD，所以PC平面EBD.（2）解设三棱锥EABD的体积为V1，高为h，四棱锥PABCD的体积为V，则三棱锥EABD的体积V1SABDh，因为E是PA的中点，所以四棱锥PABCD的高为2h，所以四棱锥PABCD的体积VS四边形ABCD2h4h4V1，所以（VV1）V131，所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为31或13.10.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.

23、求证：（1）BE平面DMF；（2）平面BDE平面MNG.证明（1）连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DE，BD平面BDE，DEBDD，所以平面BDE平面MNG.能力提升题组20分钟）11.（2019石家庄模拟）过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱

24、的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A.4条 B.6条 C.8条 D.12条解析如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线.12.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，