实验21多项式插值的振荡现象文档格式.docx

1、实验要求：（1） 选择不断增大的分点数目n=2,3.，画出原函数f（x）及插值多项式函数在-1，1上的图像，比较并分析实验结果。（2）选择其他的函数，例如定义在区间-5，5上的函数重复上述的实验看其结果如何。（3）区间a,b上切比雪夫点的定义为以为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析原因。实验方法：考虑到：1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方式可能导致不同的结果。故而n的选择分为n=2:2:8、n=3:9或者n=2:4:10、n=3:11与n=40三种情况；而节点的选取分为均匀节点、不均匀节点和切比雪肤节点三种。说明：以下

2、所有图中，蓝色曲线为原函数，绿色曲线为插值函数，插值节点数与两者交点数目相等。实验数据及其分析：（1）1.节点为均匀节点时节点是对称的a）当节点数取为奇数个时，即n=2:8时。得到的图像如下：从图中可以看出：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，0附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；b）当节点数取为偶数个时，即n=3:9时此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；观察结论与节点数为奇数时几乎一样：在0附近的拟合性随节点数的增加而变好；在两端节点数越多，误差越大；只是由于0不再是节点，故而此时的插值函数也不再经过（0,1）点。那么，n更大的时

3、候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。c）当n=40时从图中我们看到，插值函数左右对称，0附近几乎和被插值函数重合，而在两端，其误差达到105量级。故而，上面的观察结论是正确的。2.节点为不均匀节点时节点是不对称的6时。其中，最下面一条为n=6节点数为基数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；节点数越多，0右侧的区域拟合越好；节点数越多，0左侧误差越大；7时其中最下面那条是n=7；节点数为偶数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；从图中我们看到，插值函数左右对称，0右侧几乎和被插值函数重合，而在左侧，其误差达到1013量级。3.节点为切比雪肤节点时即，节点是对称的节点数越多，所有区域

4、拟合都越好；从图中我们看到，插值函数左右对称，插值函数几乎和被插值函数重合。（2）10时。11时2、节点为不均匀节点时a）当节点数取为偶数个时， 其中，第一幅图为n=3:11，第二幅图为n=3:7b）当节点数取为奇数个时，即n=2:6时其中最下面那条是n=6；从图中我们看到，插值函数左右对称，0右侧几乎和被插值函数重合，而在左侧，其误差达到1016量级。3、节点为切比雪肤节点时a）当n=2:10时，节点个数为基数从图中可以看出，插值函数过两端和原点，并且也是奇函数；n越大拟合度越好，没有出现误差增大的现象；b）当n=3:11时，节点数目为偶数插值函数不经过两端，但也是奇函数；节点数越多，拟合度

5、也越好N取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合。（3）从图中我们看到，插值函数左右对称，0附近几乎和被插值函数重合，而在两端，其误差达到103量级。4、节点为不均匀节点时a）当节点数取为偶数个时，n=3:11 其中，最下一条线为n=1110时其中最下面那条是n=10；从图中我们看到，插值函数左右对称，0右侧几乎和被插值函数重合，而在左侧，其误差达到1011量级。5、节点为切比雪肤节点时从以上几幅图中得到的结论与实验（2）一模一样。实验现象对比分析被插值函数插值点类型插值点数目对称性收敛性及误差均匀节点奇数对称，同原函数对称性不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大偶数40不

6、均匀节点不对称不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大切比雪肤点收敛，节点数越多，拟合得越好实验结论：从上表可以看出：1.节点数目的奇与偶对实验结果没有影响2.插值节点的数目不一定是越多拟合得越好，很多时候会出现发散现象3.对称的节点选取，得到的插值函数的对称性与被插值函数相同4.节点的位置不对称，则得到的插值函数也不对称5.节点位置的选取会影响插值函数的收敛性和误差6.切比雪肤插值节点确实比以上用到的均匀节点、不均匀节点要好7.对于不同的被插值函数，同样的插值节点选取往往能得到类似的结果原因分析：1节点数目的奇与偶对实验结果没有影响原因：所谓实验结果，是指插值函数的对称性与收敛

7、性、误差。对称性的分析如下，同时奇偶只导致了节点中是否存在差值区间的中心点，而节点的整体对称性不变，故而由3中的分析可知，插值函数的对称性不会因节点的奇偶数而变。收敛性、误差都是一个趋势问题，讲究的是不断增大，与其直接相关的是节点的绝对数值和节点的位置，而合节点数是奇数还是偶数无关。2插值节点的数目不一定是越多拟合得越好，很多时候会出现发散现象龙哥现象的直接反映，从插值余项上看，n增大，其分母（n+1）!是增大，但是分子也在不断增大，它们谁的影响大是和节点选取直接相关的，不一定就谁大。3对称的节点选取，得到的插值函数的对称性与被插值函数相同这一点从拉格朗日插值函数的结构很容易发现，对于对称的，

8、由于，其中对具有对称性的，而整体上关于对称的，故而成立4节点的位置不对称，则得到的插值函数也不对称首先，插值函数在节点上都与原函数重合，节点不对称意味着这些点不对称，那么插值函数必然不对称5节点位置的选取会影响插值函数的收敛性和误差从拉格朗日插值函数的余项表达式可以看出，其系数直接和相关联，故而的改变自然影响其误差和收敛性。6切比雪肤插值节点确实比以上用到的均匀节点、不均匀节点要好切比雪肤点的选取特征是：密疏密。即在需要多节点加以约束的地方给予足够多的点，而在和能够容易用多项式近似的地方放置较少的点，这样合理的安排也许就是愿意。同时由于点越多多项式次数就越高，所以不能依据密而均匀增加很多点，要有疏有密，疏密有致。7对于不同的被插值函数，同样的插值节点选取往往能得到类似的结果导致这一点的原因可能是插值误差中唯一和被插值函数相关的系数是，在n不断增大的情况下，变化趋势可能是比较一致的，或者变化不大；从而整个插值误差大致由决定，而决定于节点选取。