高考数学常用的基本解题方法Word文档下载推荐.docx

1、例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得： 。长方体所求对角线长为： 5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2. 设方程

2、x kx2=0的两实根为p、q，若（ ） +（ ） 7成立，求实数k的取值范围。【解】方程x kx2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,（ ） +（ ） 7， 解得k 或k 。又 p、q为方程x kx2=0的两实根， k 80即k2 或k2 综合起来，k的取值范围是： k 或者 k 。【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不

3、严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例3. 设非零复数a、b满足a abb =0，求（ ） （ ） 。【分析】 对已知式可以联想：变形为（ ） （ ）10，则 （为1的立方虚根）；或配方为（ab） ab 。则代入所求式即得。【解】由a abb =0变形得：（ ） （ ）10 ，设 ，则 10，可知为1的立方虚根，所以： ， 1。又由a abb =0变形得：（ab） ab ，所以 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 2 。【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另

4、解】由a abb 0变形得：（ ） （ ）10 ，解出 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式（ ） （ ） 后，完成后面的运算。此方法用于只是未 联想到时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a abb 0解出：a b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。12、再现性典例：1. 在正项等比数列a 中，a a +st1office:smarttags2a a +a a =25，则 a a _。2. 方程x y 4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k 或k13. 已知sin cos

5、1，则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog （2x 5x3）的单调递增区间是_。 A. （, B. ,+） C. （ , D. ,3）5. 已知方程x +（a-2）x+a-1=0的两根x 、x ，则点P（x ,x ）在圆x +y =4上，则实数a_。【简解】 1小题：利用等比数列性质a a a ，将已知等式左边后配方（a a ） 易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式（xa） （yb） r ，解r 0即可，选B。3小题：已知等式经配方成（sin cos ） 2sin cos 1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选

6、C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3 。2、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数

7、式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 2 20，先变形为设2 t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y 的值域时，易发现x0,1，设xsin ，0, ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如

8、变量x、y适合条件x y r （r0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设x t，y t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0, 。2.1、示范性典例：例1. 实数x、y满足4x 5xy4y 5 （ 式） ，设Sx y ，求 的值。（全国高中数学联赛题）【分析】 由Sx y 联想到cos sin 1,于是进行三角换元，设 代入式求S 和S 的值。【解】设 代入式得： 4S5Ssincos5 解得 S ； -1s

9、in21 385sin213 此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2 的有界性而求，即解不等式：| |1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】 由Sx y ，设x t，y t，t ， ， 则xy 代入式得：4S5 =5， 移项平方整理得 100t +39S 160S1000 。 39S 160S1000 解得： S 【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件Sx y 与三角公式cos sin 1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式Sx y 而按照均值换元的思路，设x t、y t，减少

10、了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设xab，yab，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设xab，yab，代入式整理得3a 13b 5 ，求得a 0, ，所以S（ab） （ab） 2（a b ） a , ，再求 的值。例2 ABC的三个内角A、B、C满足：AC2B， ，求cos 的值。（96年全国理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形内角和等于180”的性质，可得 ；由“AC120”进行均值换元，则设 ，再代入可求cos即cos 。【解】由AB

11、C中已知AC2B，可得 ,由AC120，设 ，代入已知等式得： 2 ,解得：cos ， 即：cos 。【另解】由AC2B，得AC120，B60。所以 2 ，设 m， m ，所以cosA ，cosC ，两式分别相加、相减得：cosAcosC2cos cos cos ，cosAcosC2sin sin sin ，即：sin ， ，代入sin cos 1整理得：3m 16m120,解出m 6，代入cos 。【注】 本题两种解法由“AC120”、“ 2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三

12、角运算直接解出：由AC2B，得AC120所以 2 ，即cosAcosC2 cosAcosC，和积互化得：2cos cos cos（A+C）cos（A-C），即cos cos（A-C） （2cos 1），整理得：4 cos 2cos 3 0,cos y , , x例3. 设a0，求f（x）2a（sinxcosx）sinxcosx2a 的最大值和最小值。【解】 设sinxcosxt，则t- , ，由（sinxcosx） 12sinxcosx得：sinxcosx f（x）g（t） （t2a） （a0），t- , t- 时，取最小值：2a 2 a 当2a 时，t ，取最大值：2a 2 a ；当00恒成

13、立，求a的取值范围。（87年全国理）【分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】 设log t，则log log 3log 3log 3t，log 2log 2t，代入后原不等式简化为（3t）x 2tx2t0，它对一切实数x恒成立，所以：，解得 t0即log 0 1，解得0a0恒成立，求k的范围。【分析】由已知条件 1，可以发现它与a b 1有相似之处，于是实施三角换元。【解】由 1，设 cos， sin， 代入不等式xyk0得：3cos4sink0，即k3cos4sin5sin（+） 所以k k 平面区域本题另一种解题思路是

14、使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式axbyc0 （a0）所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由0可求得k3,所以k1），则f（x）的值域是_。3.已知数列a 中，a 1，a a a a ，则数列通项a _。4.设实数x、y满足x 2xy10，则xy的取值范围是_。5.方程 3的解是_。6.不等式log （2 1） log （2 2）2的解集是_。【简解】1小题：设sinx+

15、cosxt , ，则y t ，对称轴t1，当t ，y ；设x 1t （t1），则f（t）log -（t-1） 4，所以值域为（,log 4；已知变形为 1,设b ，则b 1,b 1（n1）（-1）n，所以a ；设xyk，则x 2kx10, 4k 40,所以k1或k1；设3 y，则3y 2y10,解得y ，所以x1；6小题：设log （2 1）y，则y（y1）2，解得2y1，所以x（log ,log 3）。3、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f（x） g（x）的充要条件是：对于一个

16、任意的a值，都有f（a） g（a）；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系

17、数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： 利用对应系数相等列方程； 由恒等的概念用数值代入法列方程； 利用定义本身的属性列方程； 利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。3.1、示范性典例：例1. 已知函数y 的最大值为7，最小值为1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数

18、m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。【解】 函数式变形为： （ym）x 4 x（yn）0， xR, 由已知得ym0 （4 ） 4（ym）（yn）0 即： y （mn）y（mn12）0 不等式的解集为（-1,7），则1、7是方程y （mn）y（mn12）0的两根，代入两根得： 解得： 或 y 或者y 此题也可由解集（-1,7）而设（y1）（y7）0,即y 6y70，然后与不等式比较系数而得： ，解出m、n而求得函数式y。【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m

19、、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例2. 设椭圆中心在（2,-1），它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是 ，求椭圆的方程。 y B A F O F

20、 A B【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为ac的值后列出第二个方程。【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF|a 解得： 所求椭圆方程是： 1也可有垂直关系推证出等腰RtBBF后，由其性质推证出等腰RtBOF，再进行如下列式： ，更容易求出a、b的值。【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于ac的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入。例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式12 23 n（n1） （an bnc）对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。【解】假设存在a、b、c使得等式成立