1、实验内容:Lyapunov方程求解【实验目的】1、掌握求解Lyapunov方程的一种方法,了解并使用MATLAB中相应函数。【实验设备与软件】1、硬件:PC机一台;软件:MATLAB/Simulink。【实验原理】1、 线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是:对给定的任一个正定对称阵Q,都存在唯一的对称正定阵P,满足如下矩阵Lyapunov方程:该条件在传递函数最小实现下等价于:全部特征根都是负实数或实部为负的复数,亦即全部根都位于左半复平面。线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件:全部特征根的摸均小于1,即都在单位圆内。2、在MATLAB控制工具箱
2、中,函数lyap和dlyap用来求解lyapunov方程。P=lyap(,Q)可解连续时间系统的lyapunov方程,其中,Q和A为具有相同维数的方阵(A是系统矩阵)。如果Q是对称的,则解P也是对称的。P=dlyap(,Q)可解离散时间系统的lyapunov方程,其中,Q和G为具有相同维数的方阵(G是系统矩阵)。3、连续情况下的最小相位系统:系统的零点均在左半复平面,但系统首先是稳定的,其他情况为非最小相位系统。【实验内容、方法、过程与分析】题目1实验内容:输入连续状态空间模型:(1)选取正定矩阵,求稳定性判别矩阵P,判定系统是否稳定。(2)求线性系统阶跃响应曲线,并判定是否为最小相位系统,(
3、3)求系统的实现,判定是否是最小实现并比较。题目1实验过程及结果分析:根据题意,在实验中,先通过运算可以得出结果,根据结果做出如下的.m文件程序:、由实验.m文件程序运行后结果:A=-3 -8 -2 -4;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0; B=1;0;0; C=0 0 1 1; D=0; Q=1 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1; p=lyap(A,Q) y=ss(A,B,C,D) V,X=eig(A) step(y)得到正定矩阵P:、由题意得出系统的响应曲线:由图可知:该系统是渐进稳定的。求特征根x = Columns 1 through 2 -1.4737 + 2
4、.2638i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -1.4737 - 2.2638i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i Columns 3 through 4 -0.0263 + 0.7399i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0263 - 0.7399i由结果可以得出,此系统特征根的实部全部都为负数,亦全部的根都在左边平面。所以该系统为最小相位系统。所以,根据题意,更改A矩阵,求其阶跃响应曲线,并进行比较得:之前的A矩阵:更改之前的特征值:更改前的阶跃响应:更改之后的A矩阵:更改之后的
5、特征值:X = 4.7926 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -1.7297 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0315 + 0.6939i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0315 - 0.6939i更改后的阶跃响应:对比特征值可知,更
6、改矩阵A后特征根有一个为正数,即在右半平面;对比阶跃响应图可知,更改矩阵A后,其阶跃响应为发散的。2、输入离散状态空间模型(1)选定正定矩阵,求稳定性判别矩阵P。(2)请定义离散情况下的最小相位系统。(3)求线性系统阶跃响应曲线,并按你所定义的判别矩阵是否为最小相位系统。根据题意,在实验中,先通过运算可以得出结果,根据结果做出如下的c文件程序:、由实验c文件程序运行后结果:G=1 3 0;-3 -2 -3;1 0 0;H=1;2;3;C=0 0 1;D=0;Q=1 0 0;0 1 0;0 0 1;P=dlyap(Gy=ss(G,H,C,D)V,X=eig(G)step(y)得到矩阵P:(2)、请定义离散情况下的相位系统对于线性定常离散系统,全部特征根的模均小于1,即都在单位圆内,才能认为是最小相位系统。由CV明显可看出不满足上述条件,且通过图形可知,系统不稳定。现改变G的值:由图可知,阶跃响应最终稳定,满足线性定常离散系统的条件,即极点均为于单位圆内。【实验总结】2、 通过本次实验了解并掌握了Lyapunov方程的一种用MATLAB求解的方法,并熟悉了线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据和求解lyapunov方程的一些函数。
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