matlab在数学建模中的应用Word文档格式.docx

1、1.32345122.87990.790615324.11918.31.40056133.3873.40.825416386.62163.91.50427149.39440.8679174232417.81.63428144.2992.70.914518401.92631.61.78429166.41077.60.960119474.92954.71.9514101951185.920424.530732.0688记该地区第 t 年的投资为 z（t） ，国民生产总值为 x（t） ，物价指 数为 y（t） 。赋值：z=90.9 97.4 113.5 125.7 122.8 133.3 149.3

2、 144.2 166.4 195 229.8 228.7 206.1 257.9 324.1 386.6 423 401.9 474.9 424.5x=596.7 637.7 691.1 756 799 873.4 944 992.7 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718 1918.3 2163.9 2417.8 2631.6 2954.7 3073y=0.7167 0.7277 0.7436 0.7676 0.7906 0.8254 0.8679 0.9145 0.9601 1 1.0575 1.1508 1.2579 1.3234 1.4005 1

3、.5042 1.6342 1.7842 1.9514 2.0688先观察 x 与 z 之间，y 与 z 之间的散点图plot（x,z,*）plot（y,z,由散点图可以看出， 投资额和国民生产总值与物价指数都近似呈线性关系，因此可以建立多元线性回归模型z 0 1x 2y直接利用统计工具箱直接计算b,bint,r,rint,stats=regress（z,X,alpha）输入z：n 维数据向量X: ones（20,1） x y ，这里的 1 是个向量，元素全为常数 1，即为 ones（n,1）Alpha: 置信水平 , 一般为 0.05输出b： 的估计值bint:b 的置信区间r : 残差向量

4、z-Xbrint: r 的置信区间Stats: 检验统计量 R2,F, p代入上述公式b,bint,r,rint,stats=regress（z,X,0.05）有b =322.7563056350880.618516611734168-859.579151516612即z=90.9 97.4 113.5 125.7 122.8 133.3 149.3 144.2 166.4195 229.8 228.7 206.1 257.9 324.1 386.6 423 401.9 474.9 424.5;x=596.7 637.7 691.1 756 799 873.4 944 992.7 1077.6

5、 1185.91326.4 1434.2 1549.2 1718 1918.3 2163.9 2417.8 2631.6 2954.7 3073y=0.7167 0.7277 0.7436 0.7676 0.7906 0.8254 0.8679 0.91450.9601 1 1.0575 1.1508 1.2579 1.3234 1.4005 1.5042 1.6342 1.7842 1.9514 2.0688 X=ones（20,1） x y; b,bint,r,rint,stats=regress（z,X,0.05）322.75630.6185-859.5792bint =1.0e+003

6、 *0.2244 0.42110.0005 0.0008-1.1215 -0.5977 r =15.13525.73142.4699-4.8419-14.5678-20.1721-11.3072-6.47262.4121-1.6760-4.35188.07096.402410.099218.683918.41469.5185-14.88351.9954-20.6605rint =-8.7701 39.0405-19.9490 31.4118 -23.6775 28.6173 -30.8377 21.1539 -39.6068 10.4712 -44.0093 3.6652 -37.0101 1

7、4.3956 -32.8144 19.8691 -24.2139 29.0382 -28.3542 25.0022 -30.0489 21.3453 -18.4680 34.6097 -16.3235 29.1283 -15.2378 35.4362-6.1337 43.5015-4.5227 41.3519-13.6047 32.6417-38.9498 9.1828-22.0553 26.0461-38.2783 -3.0427stats =0.9909 920.4761 0 161.59881.1.2求数字特征例 2 已知 50 个数据 x=451.42 43.895 27.185 31

8、2.69 12.863383.97 683.1 292.842 35.338 612.4 608.54 15.76 16.355 190.07586.92 57.581 367.57 631.45 717.63 692.67 84.079 454.36 441.83353.25 153.61 675.64 699.21 727.51 478.38 554.84 121.05 450.75715.88 892.84 273.1 254.77 865.6 232.35 804.87 908.4 231.89239.31 49.754 78.384 640.82 190.89 843.87 173.

9、9 170.79 994.3 ， 计算其数字特征。输入数据，利用下列提供的函数可以求得各数字特征。 min（x）: 向量 x 的元素的最小值 max（x）: 向量 x 的元素的最大值 mean（x）: 向量 x 的元素的算术平均值 geomean（x）: 向量 x 的元素的几何平均值n 个正数的连乘积的 n 次算术根叫做这 n 个数的 几何平均 数）median（x）: 向量 x 的元素的中位数 var（x）: 向量 x 的元素的方差 std（x）: 向量 x 的元素的标准差 diff（x）: 向量 x 的相邻元素的差 sort（x）: 对向量 x 的元素进行排序（ Sorting ） len

10、gth（x）: 向量 x 的元素个数 sum（x）: 向量 x 的元素总和 prod（x）: 向量 x 的元素总乘积1.2模型的求解分析与检验1.2.1 拟合数据做预测例 3 以下是美国 1790 年至 2000 年的人口统计数据（单位：百万），建立人口发展模型并预测 2010 年美国的人口数目年17901800181018201830184018501860187018801890人口3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.9190019101920193019401950196019701980199020007692106.5123.2131.715

11、0.7179.3204226.5251.4281.4根据分析，第 t 年的人口 x 满足x x0er t （指数增长模型）将上式两边取对数，得y rt a ， y ln x ， a ln x0由 t=0:21,x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.976 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4 y=log（x）;f=polyfit（t,y,1）, 得到r=0.2022 ， x0=ea e1.7992 =6.045x（22）=516.770 百万1.2.2绘制误差

12、条图将模型得出的结果与真实结果作比较，绘制出对比图和误差条 图，反应模型与实际的吻合程度。如上例，模型结果与实际人口数的 对比图以及误差条图可由命令t=0:21,x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.262.9 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4;plot（t,x,t,6.0448*exp（0.2022*t）,o,t,6.0448*exp（0.2022*t）;errorbar（1790:10:2000,ones（1,22）,x-6.0448*exp（0.2022

13、*t）1.2.3对模型进行模拟对于一些没有给出数据的实际问题， 建立模型后往往需要找一组 随机数据进行模拟，从而检验模型的优劣。例 4 已知一栋大厦有 9 部电梯，上下班高峰期和非高峰期上下 电梯的人数有显著的差别， 为节约用电， 试建立数学模型进行电梯的 调试。题中没有给出等电梯的人数， 在建立完数学模型后， 就可以利用 matlab 模拟一组各时间段等电梯的人数带入模型求解和检验。由概 率知识知道，到达电梯的人数呈正态分布且在上班之前的某一刻和下 班之后的某一刻达到峰值，可以使用X=normrnd（mu,sigma ,1 ,n）来生成均值为 mu,方差为 sigma 的一组 （n 个） 随

14、机数来模拟。2 实例分析实例 1 （身高问题）学校随机抽取 100 名学生，测量他们的身高，得一组数据。 1） 根据这些数据对全校学生的平均身高作出估计， 并给出估计的误差范 围；2）学校 10 年前作过普查，学生的平均身高为 167.8cm，试根据 这次抽查的数据，对学生的平均身高有无显著提高作出结论。身高为 h=161 175 172 172 175 175 180 179 172 174 164 170172 163 172 164 172 168 165 160解：（1）分析与假设：这是一个直接根据观测数据组建模型的问题，需用部分去推断整体，属于随机性数学模型，运用数理统计的方法可解决

15、这一问题。受测量工具、观测方法等因素的影响，上述测 量数据可能会有不同程度的误差， 不尽准确，但作为我们分析的基点， 可假设这些测量数据是准确的。（2）模型的建立与求解：1作学生身高的直方图和频数表，对学生身高作直观考察 hist（h） 作出身高直方图N,X=hist（h） 作学生的身高频数表由结果可以使我们对这所学校学生的身高有这样的一些粗略认 识：近 70%学生身高在 165至 175 之间，平均约为 169，身高的分布 大致呈中间高、两端低的钟形，故可以假设为正态分布 N（ , ）.2对分布作假设检验：采用正态概率图纸法检验， matlab 统计工具箱中提供的是 Q-Q 图检验：norm

16、plot（h）由图可知， 样本点在一条直线附近， 故可得学生身高服从正态分 布这一结论。3考察样本统计量所反映的数据特征：mean（h） 计算样本均值median（h） 计算中位数std（h） 计算标准差range（h） 计算极差skewness（h） 计算偏度kurtosis（h） 计算峰度均值中位数标准差极差偏度峰度169.441705.946428-0.32422.6849标准差为 s=5.9464 ，说明数据与均值偏离程度不算太大，偏度g1 0.3242 , 这与正态分布是对称的，偏度接近于 0 这一数学原理相 接近。而峰度 g2 2.6849比正态分布的峰度 3 稍小一些，考虑到样本

17、 抽取方法和测量误差， 可以认为这一模型是比较合理的， 与实际情况 比较相符。4平均身高的估计及误差范围： 此即需由样本去推断总体，由数理统计知识，需对总体均值 和 标准差 进行点估计和区间估计。mu sigma muci sigmaci=normfit（h,0.01） 可得到全校学生平均身高 ，标准差 的点估计和区间估计（显 著性水平为 0.01）5解决平均身高是否有显著提高的问题： 由数理统计知识知，此即需要对总体均值进行假设检验：H0: 167.8; H1: 167.8 。由于总体标准差 未知，故用 t 检验，取显 著性水平 0.01。H,p,ci=ttest（h,167.8,0.01,

18、1）得 h=1 表示拒绝 H0 ,p=0.0035,ci=168.0339,inf 根据这一命令结果可知全校学生平均身高有显著提高。由该例题可以看出 matlab 在数学建模中的巨大优势，充分显示 了它超强的数值计算、 数据处理和图形处理功能， 无论是在实际问题 的分析阶段，数学模型的建立阶段， 还是模型求解、 分析阶段，matlab 都有其他语言无法比拟的方便、 快捷、高效的运用， 不论是数值计算， 还是图形的描绘， matlab 只需要一两个命令就能解决诸如 C， C+语 言需几十行的程序才能解决的问题， 避免了繁杂的数值计算和复杂的 程序设计， 能使数学建模者将主要的精力放在问题的分析、

19、 模型的建 立、算法研究等方面，既节约了时间，大大提高了数学建模的效率， 又有利于提高数学建模的质量和人们解决实际问题的能力。 另外，如 本例，其先进的数据可视化功能， 能将一组大规模的杂乱无章的数据 通过图形的方式表现出来， 根据几何直观， 数学建模者能快速而轻易 地提到有意义的特征和结果，探索、发现规律，进而较快地找到数学 建模的方法， 丰富了数学建模的方法和手段， 有力地促进了问题的解 决。实例 2 价格竞争问题位于同一条公路旁的甲、 乙两个加油站彼此竞争激烈。 当甲站突 然宣布降价后， 乙站根据甲站的售价应如何调整自己的售价， 使得既 能和甲站竞争，又可以获得尽可能高的利润？解 （ 1

20、）问题分析：加油站的利润主要来自汽油的销售价和销售 量。这场价格战中，乙加油站汽油降价销售主要受以下 3 个因素影响： 甲加油站汽油降价的幅度； 乙加油站汽油降价的幅度； 两站之 间汽油销售价之差。（ 2）模型假设：汽油的正常销售价格保持常数不变；（ 1） 中的 3 个因素对乙加油站销售量的影响是线性的。（3）模型的建立：引入符号：P：汽油的正常销售价格（元 / 升）L：降价前乙加油站的销售量（升 / 日）W：汽油的成本价格（元 / 升） a：因素对乙加油站汽油销售量影响的比例常数b: 因素对乙加油站汽油销售量影响的比例常数c: 因素对乙加油站汽油销售量影响的比例常数x: 乙加油站的销售价格（

21、元 / 升）y: 甲加油站的销售价格（元 / 升）根据问题的分析和模型的假设，可得乙加油站的利润函数为：f （x,y） （x W）L a（P y） b（P x） C（x y）这里的 a,b,c0.（4）模型的求解：以上是建立的数学模型，下面用 matlab 求解：syms L P W a b c x yf=（x-W）*（L-a*（P-y）+b*（P-x）-c*（x-y）df=diff（f,x） % 求导x0=solve（L-a*（P-y）+b*（P-x）-c*（x-y）+（x-W）*（-b-c）=0,x） % 求驻点x0 =1/2*（L-a*P+a*y+b*P+c*y+W*b+W*c）/（b+

22、c）即当甲加油站把汽油的销售价格降到 y 元时，乙加油站把汽油的销售价格定为 x0 时可以使乙加油站获得最高的利润。（5）模型检验f1=subs（f,x,x0） 将 x0 代入求乙站的利润函数里的 xf2=subs（f1,L,P,W,a,b,c,2000,4,3,1000,1000,4000） 取 具体的数据代入x1=subs（x0, L,P,W,a,b,c,2000,4,3,1000,1000,4000）y=3.9:-0.1:3.4;x=17/10+1/2*yf3=（-13/10+1/2*y）.*（-6500+2500*y）求乙站相应的利润绘制乙站的利润函数plot（y,f3）由该例题可以看

23、出， matlab 具有强大的符号计算功能，这也是 其他语言所不具有的。在一般的数学模型中，往往有很多未知参数， 此时要求解该数学模型不得不进行符号运算， 这对其他语言来说， 编 程是非常困难和繁琐的，而 matlab 则只需几个简单的命令就可以解 决问题。另外， matlab 先进的数据可视化功能和方便的绘图功能， 可以将数学模型的求解结果用可视化、 动态化的形式表现出来， 使数 学建模者能以视觉图像方式对模型的结果进行观察，作出解释和评 价，有利于加深数学建模都对问题本质的进一步认识， 进而进一步修 改和完善数学模型，使之更加符合实际。 t=0:21; x=3.9 5.3 7.2 9.6

24、12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.976 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4; y=log（x）; f=polyfit（t,y,1）; f=polyfit（t,y,1）f =0.2022 1.7992*t） h=161 175 172 172 175 175 180 179 172 174 164 170 158163 172 164 172 168 165 160; hist（h） N,X=hist（h）N =2 3 9 11 13 18 20 13 8X =Columns 1 thro

25、ugh 7155.4000158.2000 161.0000 163.8000 166.6000169.4000172.2000Columns 8 through 10175.0000 177.8000 180.6000 normplot（h） mean（h）ans =169.4400 std（h） mu sigma muci sigmaci=normfit（h,0.01）mu =169.4400 sigma =muci =167.8782171.0018sigmaci =5.01877.2549 H,p,ci=ttest（h,167.8,0.01,1）H =p =0.0035ci =168.

26、0339 Inf syms L P W a b c x y（x-W）*（L-a*（P-y）+b*（P-x）-c*（x-y）df =L-a*（P-y）+b*（P-x）-c*（x-y）+（x-W）*（-b-c）x0 =1/2*（L-a*P+a*y+b*P+c*y+W*b+W*c）/（b+c）（1/2*L-1/2*a*P+1/2*a*y+1/2*b*P+1/2*c*y+1/2*W*b+1/2*W*c）/（b+c） f1=subs（f,x,x0）f1 =（1/2*L-1/2*a*P+1/2*a*y+1/2*b*P+1/2*c*y+1/2*W*b+1/2*W*c）/（b+c）-W）*（L-a*（P-y）+b*（P-（1/2*L-1/2*a*P+1/2*a*y+1/2*b*P+1/2*c*y+1/2*W*b+1/2*W*c）/（b+c）-c*（1/