小学数学三年级奥数基础教程30讲全Word下载.docx

1、846（两个数之积）=121226=（三个数之积）623=（四个数之积）例1 下列算式中，*各代表什么数？（1）+513-6； （2）28-157；（3）3=54； （4）387；（5）56*7。解：（1）由加法运算规则知，=13-6-52；（2）由减法运算规则知，28-（157）6；（3）由乘法运算规则知，54318；（4）由除法运算规则知，=873261；（5）由除法运算规则知，*5678。例2 下列算式中，各代表什么数？（1）+=48；（2）621-；（3）5-18612；（4）63-4513。（1）表示一个数，根据乘法的意义知，+=3，故=48316。（2）先把左端（6）看成一个数，就

2、有（6）21，321-6，1535。（3）把5，186分别看成一个数，得到5=12186，=15，=1553。（4）把63，45分别看成一个数，得到4563-13，5，4559。例3（1）满足581271的整数等于几？（2）180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的里。180=。（3）若数，满足=48和=3，则，各等于多少？分析与解：（1）因为5812410，7112511，并且为整数，所以，只有=5才满足原式。（2）拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如180145901330但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如1802926若

3、再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种：6。所以填的四个数字依次为2，3，5，6。（3）首先，由=3知，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有484812421631248其中，只有48124中，124=3，因此=12，=4。这道题还可以这样解：由=3知，=3。把=48中的换成3，就有（3）48，于是得到=48因为1644，所以=4。再把=3中的换成4，就有=3=43=12。这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：（1）4 4

4、4 424；（2）5 5 5 5 5=6。（1）因为444424，所以必须填一个“”。416，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法：444424；444424；444424。（2）因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“”，有如下填法：55+5-5+56；5555-56；5555=6；56。由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。例5 在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：8 2 33 3。首先考察右端“3 3”，它有四种填法：3+36；

5、3-30；339； 33=1。再考察左端“8 2 3”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“经试算，只有两种符合题意的填法：8-2333；82-33填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。练习21.在下列各式中，分别代表什么数？+1635； 47-=12； -315；=36； 4=15； 84=4。2.在下列各式中，各代表什么数？（+350）3=200； （54-）40；360-710； 49-5=1。3.在下列各式中，各代表什么数？150-=；92=22。4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？试把这

6、四个数字按从小到大的次序填在下式的里：120 5.若数，同时满足=36和-=5，6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立：（1）5 5 5 5 53；（2）1 2 3 41。7.在下列各式的内填上合适的运算符号，使等式成立：1244=103。8.在下列各式的内填上合适的运算符号，使等式成立：123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100。 答案与提示1.略。2.= 250，=54，= 50，=175。3.=50，=0或2，= 2。4.18或16或25。5.=9

7、，=4。6.（1）5-55-55= 3；（2）123-4=1。7.1244=10-3或1244=103。8.123-45-6789100；123 45 67 8 9 100；123456789100；123456789100；12345678 9100；123456789=100；12-3-45-6789100。这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的基本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则（1）（2）及其推演的变形规则，另外还要掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”。题目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。这需要通过不断的“学”和

8、“练”，逐步积累知识和经验，总结提高解题能力。例1 在右边的竖式中，A，B，C，D各代表什么数字？显然，C=5，D=1（因两个数字之和只能进一位）。由于A41即A5的个位数为3，且必进一位（因为43），所以A5=13，从而A13-5=8。同理，由7B1=12，即B812，得到B12-84。故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。例2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：（1）由于和的个位数字是9，两个加数的个位数字之和不大于9918，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。（这是“突破口”）再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。故这两个加数的

9、四个数字之和是914=23。（2）由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，两个加数的个位数相加后必进一位。（这是“突破口”，与（1）不同）这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。所求的两个加数的四个数字之和是151833。注意：（1）（2）两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。（1）是从和的个位着手分析，（2）是从和的最高两位着手分析。例3 在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的是“减法”。首先，从个位减起（因已知差的个位是5）。45，要使差的个位为5，必须退位，于是

10、，由14-D5知，D=14-59。再考察十位数字相减：由B-1-09知，也要在百位上退位，于是有10B-1-09，从而B0。百位减法中，显然E=9。千位减法中，由10A-1-37知，A1。万位减法中，由9-1-C0知，C8。所以，A1，B0，C8，D9，E9。例4 在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的数字式。例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知，“炮”1。被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”9。至此，我们已得到下式：由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=

11、9得到“车”2。因此，符合题意的数字式为：例5 在右边的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？由（4谜）的个位数是0知，“谜”0或5。当“谜”0时，（3式）的个位数是0，推知“式”0，与“谜”“式”矛盾。当“谜”5时，个位向十位进2。由（3式+2）的个位数是0知，“式”6，且十位要向百位进2。由（2填+2）的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”4。最后推知，“巧”1。所以“巧”1，“填”4，“式”=6，“谜”5。练习31.在下列各竖式的中填上适当的数字，使竖式成立：2.下列各竖式中，里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：3.在下列各竖式的中填入合适的数字，

12、使竖式成立：4.下式中不同的汉字代表19中不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。这个竖式的和是多少？5.在下列各竖式的中填入合适的数字，使竖式成立：答案与提示练习31. （1） 764265=1029；（2） 981959=1940；（3） 99 9031002； （4） 9897 9231118。2.（1） 28；（2） 75。3.（1） 23004-185014503；（2） 1056-98967；（3） 24883-16789=8094；（4） 9123-7684=1439。4.987654321。5.提示：先解上层数谜，再解下层数谜。本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题

13、。掌握好乘、除法的基本运算规则（第2讲的公式（3）（4）及推演出的变形式子）是解乘、除法竖式谜的基础。根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。例1 在左下乘法竖式的中填入合适的数字，使竖式成立。由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9（这是问题的“突破口”），被乘数的个位数是5。因为797089，所以，被乘数的百位数字只能是7。至此，求出被乘数是785，乘数是9（见右上式）。例2 在右边乘法竖式的里填入合适的数字，使竖式成立。由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们

14、只能从最高位入手分析。乘积的最高两位数是2，被乘数的最高位是3，由可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。到底是哪一个呢？我们只能逐一进行试算：（1）若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5（因4+5=9）。这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。这说明乘数不能是6。（2）若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。与（1）分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。得到符合题意的填法如右式。（3）若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8。当被乘数的十位填3时

15、，得到符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意。（4）若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7。而此时，积的最高两位是3，不合题意。综上知，符合题意的填法有上面两种。除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。例3 在左下边除法竖式的中填入适当的数，使竖式成立。由488=6即86=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。又显然，被除数的十位填1。由1=商的个位8知，两位数1能被8除尽，只有168=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2。填法如右上式。例3是从最高位数入手分析而得出解的。例4 在右边除法竖式的中填入

16、合适的数字。使竖式成立。从已知的几个数入手分析。首先，由于余数是5，推知除数5，且被除数个位填5。由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于34=12，84=32，推知，除数必为3或8。由于已经知道除数5，故除数=8。（这是关键！）从84=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。从除数为8，第一步除法又出现了4，88=64，83=24，这说明商的千位只能填8或3。试算知，8和3都可以。所以，此题有下面两种填法。练习41.在下列各竖式的里填上合适的数：2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖式成立？3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个

17、不同的数字，它们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？4.在下列各除法竖式的里填上合适的数，使竖式成立：5.在下式的里填上合适的数。1.（1） 7865755055；（2）2379 8= 19032或 7379 8= 59032。2.“我”5，“爱”=1，“数”=7，“学”=2。3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8，7，9，1，2。4.（1） 56077=801；（2） 8223=274。5.这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，（1） 1，2，3，4，5，6，（2） 1，2，4，8，16，32；（3） 1，0，0

18、，1，0，0，1，（4） 1，1，2，3，5，8，13。一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列（1）的第3项是3，数列（2）的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。数列中的数可以是有限多个，如数列（2）（4），也可以是无限多个，如数列（1）（3）。许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。数列（1）是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项ann。数列（2）的规律是：后项=前项2，或第n项数列（3）的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。数列（4）的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，

19、即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常见的较简单的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列（1）（2）。第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列（3）（4）。第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在（ ）内填上合适的数：（1）4，7，10，13，（ ），（2）84，72，60，（ ），（ ）；（3）2，6，18，（ ），（ ），（4）625，125，25，（ ），（ ）；

20、（5）1，4，9，16，（ ），（6）2，6，12，20，（ ），（ ），通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现（1）的规律是：前项+3=后项。所以应填16。（2）的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。（3）的规律是：前项3=后项。所以应填54，162。（4）的规律是：前项5=后项。所以应填5，1。（5）的规律是：数列各项依次为1=11， 4=22， 9=33， 16=44，所以应填55=25。（6）的规律是：2=12，6=23，12=34，20=45，所以，应填 56=30， 67=42。说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。各数列的第n项

21、分别可以表示为（1）an3n+1；（2）an96-12n；（3）an23n-1；（4）an55-n；（5）ann2；（6）ann（n+1）。这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列（1）的第100项等于3100+1=301。本例中，数列（2）（4）只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在（ ）内填上合适的数：（1）1，2，2，3，3，4，（ ），（ ）；（2）（ ），（ ），10，5，12，6，14，7；（3） 3，7，10，17，27，（ ）；（4） 1，2，2，4，8，32，（ ）。通过对各数列

22、已知的几个数的观察分析可得其规律。（1）把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。（2）把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。（3）这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填（ 17+27=）44。（4）这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填（832=）256。例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在（ ）内填上合适的数：（1）18，20，24，30，（ ）；（2）11，12，14，18，26，（ ）；（3）2，5，11，23，

23、47，（ ），（ ）。（1）因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明（后项-前项）组成一新数列2，4，6，其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。（2）12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，按此规律，8后面为16。因此，a6-a5a6-26=16，故a616+26=42。（3）观察数列前、后项的关系，后项=前项2+1，所以a6=2a5+1247+195，a72a6+1295+1=191。例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在（ ）内填上合适的数：（1）12，15，1

24、7，30， 22，45，（ ），（ ）；（2） 2，8，5，6，8，4，（ ），（ ）。（1）数列的第1，3，5，项组成一个新数列12，17， 22，其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，项组成一个新数列15，30，45，其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。（2）如（1）分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4， 中，4后面的数应为2。故应填11，2。练习5按其规律在下列各数列的（ ）内填数。1.56，49，42，35，（ ）。2.11， 15， 19， 23，（ ），3.3，6，12，24，（ ）。4.2，3，5，9，17，（ ），5.1，3，4，7，11，（ ）。6.1，3，7，13，2