小高奥数几何三角形五大模型及例题解析.docx

1、小高奥数几何三角形五大模型及例题解析三角形五大模型专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分 知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型1等底等高的两个三角形面积相等；2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图 S1 :S2 a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 SACD SBCD ；反之，如果 SACD SBCD ，则可知直线 平行于 CD4等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；6两个平行四边形高相等，面积

2、比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等， 面积比等于它们的高之比、等分点结论（ “鸟头定理）”211如图，三角形 AED 占三角形 ABC 面积的 3214=16三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理）” S1S2=S4S3 或者 S1S3=S2S4 AOOC= （S1+S2）（S4+S3）梯形中比例关系（ “梯形蝴蝶定理）” S1S3=a2 b2S1S3S2S4= a2b2abab ;3S 的对应份数为（ a+b）2模型四：相似三角形性质如何判断相似（1）相似的基本概念： 两个三角形对应边城比例，对应角相等。（2）判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；三角形相似

3、。 S1S2=a2 A2模型五：燕尾定理重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”习题精讲】【例 1】（难度等级 ）如图，长方形 ABCD的面积是 56 平方厘米，点 E、 F、 G分别是长方形 ABCD边上的中点， H 为 AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积 .例 2 】（难度等级 ）例 4 】（难度等级 ）如图，在面积为 1的三角形 ABC中， DC=3BD,F是AD的中点，延长 CF交 AB边于 E,求三角形 AEF 和三角形 CDF的面积之和。例 5 】（难度等级 ）如右图 BE= BC， CD= AC，那么三角形 AED的面积是

4、三角形 ABC面积的几分之几？【例 6】（难度等级 ）如图所示，四边形 ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等例 7 】（难度等级 ）【例 8】（难度等级 ）如图，正方形 ABCD的边长为 4 厘米， EF和 BC平行， ECH的面积是 7 平方厘米，求 EG的长。例 10 】（难度等级 ）如图已知四边形 ABCD和 CEFG都是正方形，且正方形 ABCD的边长为 10 厘米，那么图中阴 影三角形 BFD的面积为多少平方厘米 ?【例 11】（难度等级 ）如图，一个长方形被切成 8 块，其中三块的面积分别为 12， 23，32，则图中阴影部分的面 积为?例 12 】（难度等级

5、 ）如图，平行四边形 ABCD周长为 75 厘米，以 BC为底时高是 14 厘米；以 CD为底时高是 16厘米。求平行四边形 ABCD的面积。例 13 】（难度等级 ）如右图，正方形 ABCD的边长为 6 厘米， ABE、 ADF与四边形 AECF的面积彼此相等，求三角形 AEF的面积 .【例 14】（难度等级 ）如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分） 、乙两部分， BD=DC=，4 BE=3， AE=6，甲部分面 积是乙部分面积的几分之几？例 15 】（难度等级 ）某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD分成四个部分， AOB面积为 1 平方千米， BOC面积为 2平方千米

6、， COD的面积为 3平方千米， 公园陆地的面积是 6.92【例 16】（难度等级 ）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米作业】1. 如图，三角形 ABC中， DC 2BD ， CE 3AE ，三角形 ADE的面积是 20 平方厘米，三角形 ABC的面积是多少？的面积。2. 如右图所示， 在长方形内画出一些直线， 已知边上有三块面积分别是 13，35，49那 么图中阴影部分的面积是多少？ABCD， BE=AB， CF=2CB， GD=3DC，HA=4AD，平行四边形 ABCD的面积是 2， 求平行四15. 如图，在 ABC中，延长 BD=AB，CE= BC

7、，F 是 AC的中点，2若 ABC的面积是 2，则 DEF的面积是多少？【例 1】（难度等级 ）如图，长方形 ABCD的面积是 56 平方厘米，点 E、 F、 G分别是长方形 ABCD边上的中点， H 为 AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积 .分析与解】 如右图，连接 BH、HC，由 E、F、G 分别为 AB、BC、 CD 三边的中点有 AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此 S1=S2，S3=S4 ， S5= S6,而阴影部分面积 =S2+S3+S6，空白部分面积 =S1+S4+S5.所以阴影部分 面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影 部分面积为 28.面积之和为 1CF

8、CD 1CF AB .所以阴影部分面积为1 BF221BC AB1 3 4 6（平方厘米 ）AB1CF AB2222例 3 】（难度等级 ）如图，在三角形 ABC中， BC=8 厘米， AD=6厘米， E、F分别为 AB和 AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？ 【分析与解】首先，S ABC1 BC AD 24 平方厘米，而2F是 AC 中点，1所以 SABF 2SABC.又 E是 AB 中点，所以11S EBF 2S ABF 4S ABC 6 平方厘米例 4 】（难度等级 ）如图，在面积为1 的三角形 ABC中， DC=3BD,F是 AD 的中点，延长CF交 AB边于 E, 求

9、三角形 AEF 和三角形 CDF的面积之和。【分析与解】连接 DE,于是三角形 AEF 的面积 =三角形 EFD 的面积，所求被转 化为三角形 EDC 的面积。 因为 F 是 AD 中点，所以三角形 AEC 的 面积和三角形 EDC 的面积相等，设 S BDE 为 1 份 ,C则 S AEC=S EDC 为 3 份 因此 S ABC 一共 7 份，13每份面积为 所以 S EDC 占 3 份为 。77例 5 】（难度等级 ）如右图 BE= BC，CD= AC，那么三角形 AED的面积是三角形 ABC面积 的几分之几？【分析与解】图中，三角形 AEC 与三角形 ABC 的高相等，而 BE= BC

10、 ，于是EC= BC ， SAECSABC1 又由于三角形 AED 与三角形 AEC 的高相等，而 CD= AC, 于是43 SAED 3AD= AC, AED4 SAEC 43 3 2所以，三角形 AED 的面积 = 三角形 AEC 的面积 = 三角形4 4 3CABC 的面积= 1 三角形ABC 的面积2【例 6】（难度等级 ）如图所示，四边形 ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们 的面积相等【分析与解】连接 BE所以 SABCD SAEGF例 7 】（难度等级 ）由 ABCD 和 CEFG 都是正方形有 BDC DCF 45所以 BD CF .由平行线间距离相等知三角形 BD

11、F 和三角形 BDC 同底等高例 11 】（难度等级 ）如图，一个长方形被切成 8 块，其中三块的面积分别为 12， 23，32，则图中阴影部分的面 积为?【分析与解】如右图，已知 a+b+x=23+a+32+12+b 所以 x=23+32+12x=67.例 12 】（难度等级 ）如图，平行四边形 ABCD周长为 75 厘米，以 BC为底时高是 14 厘米；以 CD为底时高是 16厘米。求平行四边形 ABCD的面积。【分析与解】BC 14=CD 16， BC ：CD=16 ：14，75 75 16BC+CD= ， BC= =202 2 16 14ABCD 面积 =14 20=280 （平方厘米

12、）【例 13】（难度等级 ）如右图，正方形 ABCD的边长为 6 厘米， ABE、 ADF与四边形 AECF的面积彼此相等，求三角形 AEF的面积 .【分析与解】因为ABE 、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，所以四边形 AECF 的面积与 ABE 、ADF 的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是：1S四边形 AECF S ABE S ADF 3 6 6 12在ABE 中，因为 AB6.所以 BE 4，同理 DF4，因此 CE CF2，ECF 的面积为 222 2所以 SAEF S四边形AECF SECF =12 2=10 （平方厘米）例 14 】（难度等级 ）例 15 】（难度等

13、级 ）所以 S AOD 1 3 2 1.5 平方千米，故公园总面积为1 3 2 1.5 7.5平方千米，人工湖面积为 7.5 6.92 0.58平方千米【例 16】（难度等级 ） 图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积 是多少平方厘米 ?分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接 BG 设AEG 的面积为 x，显然EBG 、BFG 、FCG 的面积均为 x，则ABF 的面积为 3x ，1 100S ABF 20 10 100 即 x ，那么正方形内空白部分的面积为 234004x .3所以原题中阴影部分面积为 20 20 400 800 （平方厘米 ）

14、33作业】1.厘米，三角形 ABC 的面积是多少？如图，三角形 ABC中， DC 2BD ， CE 3AE，三角形 ADE的面积是 20 平方答案】 1202.如右图所示， 在长方形内画出一些直线， 已知边上有三块面积分别是 13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】 973.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 的面积。【答案】 84.如图，平行四边形 ABCD，BE=AB，CF=2CB， GD=3DC，HA=4AD，平行四边形 ABCD的 面积是 2， 求平行四边形 ABCD与四边形 EFGH的面积比 .答案】 1： 176. 如图，在 ABC中，延长 则 DEF的面积是多少？【答案】 3.51BD=AB，CE= BC，F 是 AC的中点，若 ABC的面积是 2，2E