高三数学 导数与微分教案同步教案 新人教A版Word格式.docx

1、我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。 y/= = = =.上述结果的形式与=有何关系？你能否据此猜度是什么（R）？解： = 这与n为正整数时（xn）/= 法则相合，（即以n代n，即得上式.）这会使我们猜测R时，=，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.例2求过抛物线y=ax2+bx+c（a0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。提示：为求斜率，先求导函数：y/=2ax+b，故切线方程为yy0=（2ax0+b）（xx0）即y=（2ax0+b）xax+c，亦即y=（2ax0+b）x

2、ax+c. 抛物线焦点：F（,+）它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。显然，y0=ax+bx0+c y/=2ax+b 故在P点处切线斜率为2ax0+b，切线方程y（ax+bx0+c）=（2ax0+b）（xx0），亦即y=（2ax0+b）xax+c.由于y=ax2+bx+c按向量=（，）平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l ：y=2ax0xax满足：焦点（0，）关于l的对称点为（m，n）.当x00时，消去n. 知m=x0.当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，故从焦点发出的

3、光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。例3求函数y=x4+x2 图象上的点到直线y=x4的距离的最小值及相应点的坐标.首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点.y/=4x3+1要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.故切点：（0 , 2）. d=. 一般地，当直线l与y=f（x）的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的直线若与

4、曲线y=f（x）相交，（A为一交点），则l/与l间必存在y=f（x）上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l/间的距离，亦即A到l的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设（x0，x+x02）为y=f（x）图象上任意一点，它到l的距离d= =故距离最小值为.上述等号当且仅当x0=0时取得故相应点坐标为（0，-2）.y/= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到已知直线距离最近，为d=.例4物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=gt2其中t为经历的时间，g=9.8m/s2，若V= =g=9.8m/s，则下列说法正确的是（ ）

5、（A）01s时间段内的速率为9.8m/s.（B）在11+ts时间段内的速率为9.8m/s.（C）在1s末的速率为9.8m/s（D）若t0，则9.8m/s是11+ts时段的速率.若t0，则9.8m/s是1+ts1时段的速率.本例旨在强化对导数意义的理解，无论是从相限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C），但值得指出的是：中的t可正可负.例5定义在（、）上的函数f（x）满足f（1）=2，（1）=3. （1）.（1）求的值;（2）求的值本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故项往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x1转化为x0的形式.=（f（x）+2）f（1+x）+2=

6、 （1）（f（1）+2）=3（2+2） =（x+1）（）=（1）（1+1）=6.例6曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1 在（3,4）点处的切线为l2：y=2x+10，求曲线C的方程.已知两点均在曲线C上. y/=3ax2+2bx+c （0）=C （3）=27a+6b+cl1：y=cx+1 l2：y=（27a+6b+c）（x3）+4与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=，b=1. C：y=x3+x2+x+1.求曲线过一点处的切线，先求斜率即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.例7已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c当 x=1时取得极大值7，当x=

7、3时取得极小值，求此极小值及f（x）.与极值有关，当然先研究导函数，=3x2+2ax+b. 3和1应为其两根 ，第三个待定系数应由f（1）=7求出，得c=2，f（x）=x33x29x+2，从而求出极小值f（3）=25. （x）=3x2+2ax+b （x）=0的两根为3，1由韦达定理 .又7=f（1）=1+（3）+（9）（1）+c c=2 .极小值：f（3）=33+（3）32+（9）3+2=25 .f（x）=x33x29x+2 .例3记u=xy, 则有x22x+4=0. 记u2=f（x）=. 4y2=（x22x）0 x（0,2）=， 当x=时， =0，且在（0,）上0, 在（，2）上0，f（x）

8、在x=时取极大值. 相应地y=当x=时，有最大值 .例8要制造一个容积为50cm3的圆柱形锅炉，怎样的尺寸最省料（即表面积最小）？提示 ：若记底面半径为cm，高为h cm，则r2h=50.表面积 *要求最值，先求导函数：. 知时，=0. 且时，0. 时, 0. 故当时S有极小值+=（cm2） .当然，如果不等式学得好，我们也可把*式改写为. 等号当且仅当=. 即r =cm时.记底面半径为rcm，高为hcm，由已知，=50. 表面积S= =，令=0 ， 得r=. 且在为负，而当为r为正.故当r =时，S有最小值30（cm2）例9已知x、yR+. x22x+4y2=0. 求xy的最大值. 初看不知

9、怎样下手. 记u=xy, 则有x22x+4=0. 即u2=f（x）= 它的定义域可用4y2=2xx20求得，为（0，2）. 要使正数u取得最大值，须u2取得最大值. =. 当=0时，x=0（舍去）或，且当x（0，）时，0. 时，0. 故f（x）在x=时取得极大值. 它也是f（x）的最大值.由上可知，当x=时，（此时y=），u=xy取得最大值.本题若直接写为u=或用三角换元，囿于目前教材的内容，我们就无法求导了.例10已知f（x）=x2+1. g（x）=ff（x）. （x）=g（x）+f（x）. 问是否存在实数，使（x）在（，上单调递减而在，0上单调递增？复合函数求单调区间在以前是很棘手的问题，

10、现在我们尝试用导数法解决这类问题（x）=ff（x）+f（x）=（x2+1）2+1+（x2+1） =x4+（2+）x2+2+ （x）=4x3+2（2+）x. 令（x）0. 当2时, 为x0. 与已知不合. 当2时, x（, 0）（, +）, 此时（x）在（, , 0, 单调递减, 而在, 0及, +单调递增.由已知, =, 知=3.（x）=ff（x）+f（x）=x4+（2+）x2+2+（x）=4x3+2（2+）x令（x）0，此时如2解为x0, 原函数（x）在，0单调减0，+单调增，与已知条件矛盾，故知2，此时（x）0的解集为（，0）（，+） 故（x）在，及0，单调递减，而在，0及，+单调递增与已

11、知要求比较，知=3.x1x1例11已知函数f（x）= 判断f（x）在x=1 处是否可导.按照定义，可导存在与均存在且相等.今知=. 而.故不存在. f（x）在x=1处不可导. 在本题中，f（x）= f（x）=f（1）=1. 说明f（x）在x=1处连续. 但不能说明它在x=1处可导，这两者是必须分清楚的，连续是可导的必要条件. 解：若f（x）在x=1处可导，则=应存在，但由f（x）解析式知，上述极限不存在（=，而=，不相等）f（x）在x=1处不可导.巩固练习A1选择题（1）曲线y=x3在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）（A）（2，8） （B）（1，1）或（1，1） （C）（2，8）

12、 （D）（，）（2）一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=53t2，则它在1,+t内的平均速度为（ ）（A）3t+6 （B）3t+6 （C）3t6 （D）3t6（3）曲线y=x3x2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）（A） （B） （C） （D）（4）过曲线y=x2上一点作切线与直线3xy+1=0交成450角，则切点坐标为（ ）（A）（1，1） （B） （，）或（1，1）（C）（，）或（1，1） （D）（1，1）或（1，1）2. 求过点P（2，2）且与曲线y=x2相切的直线方程.3. 已知函数f（x）=x2（x1），若=x0，求x0的值.4.路灯距地面8

13、m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是多少？（要求以m/s为单位）5.已知直线y=3x+1是曲线y=x32x+a的一条切线，求a的值.6.已知f（x）=（xa）（xb），g（x）=cx+d.（ a、b、c、d为常数），G（x）=f（x）g（x）. 求证：G/x=f/xg（x）+f（x）g/（x）7.当f（x），g（x）为其它可导函数时，上题结论能否成立？能成立，请用定义证明，不能成立，试举一反例说明.8.设曲线S：y=x36x2x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P（x0，y0）求证：曲线S关于P点中心对称.9.已知函数f（x）=x2+a

14、x+b，g（x）=x2+cx+d. 若f（2x+1）=4g（x），且f/x=g/（x），f（5）=30，求g（4）.10.曲线y=x（x+1）（2x）上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.11.已知函数y=x3+ax2+bx+c的图像过点P（1,2）.过P点的切线与图象仅P点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求f（x）的解析式.12已知f（x）是R上的可导函数.（1）f（x）在x=a处的导数值与f（x）在x=a处的导数值有什么关系？（2）若f（x）为偶函数，的奇偶性如何？参考答案1（1）y/=3x2，令3x2=3，知k=1，故选（B）（2）=6

15、+3t. 选（C）（3）y/=x22x. 当x=1时，y/=1 选（D）（4）=tan450 知k=2或， 令y/=2x=k，知x=1或.选（C）2y/=2x，过其上一点（x0，x）的切线方程为 yx=2x0（xx0），过P（2，2），故2x=2x0（2x0） x0=2. 故切线方程为y=（4）x（6）.3f（x）=x3x2，=3x22x， 令3x2x0=x0知x0=0或1.4=5. OM= 4BM 同理ON=4CN两式相减，知，影长变化BMCN= （OMON） =MN=t84m/minV=21m/min=m/s.5y/=3x22. 令3x22=3 x=.代入切线方程知y0=1， a=y0+2

16、x0x=1.6f（x）=x2（a+b）x+ab =2x（a+b）. =c g（x）+f（x） =2x（a+b）（cx+d）+c（x2（a+b）x+ab）=3cx2+2（dacbc）x+abcadbd.又G（x）=x2（a+b）x+ab（d+cx） =cx3+（dacbc）x2+（abcabbd）x+abd. G/（x）=3cx2+2（dacbc）x+abcadbdG/（x）= g（x）+f（x） .7结论f（x）g（x）/=f/（x）g（x）+f（x）g/（x）仍成立，证明如下：f（x）g（x）/= =g（x+x）+f（x）=g（x）+f（x）8y/=3x212x1当x=2时有最小值.故P：（

17、2, 12）.S在（2，12）处的切线斜率最小，为13.又y=（x2+2）36（x2+2）2（x2+2）+6 =（x2）313（x2） 12故曲线C的图象按向量=（2，+12）平移后方程为y/=x13x/为奇数，关于原点对称，故P（2，12）为曲线S的对称中心.9由已知（2x+1）2+a（2x+1）+b=4（x2+cx+d） =2x+a =2x+c a=c 又知52+5a+b=30 5a+b=5 由知a=c=2. 依次代入、知b=5，d= g（4）=42+24=2310y=x3+x2+2x y/=3x2+2x+2 令y/0 知x（，） 又xz x=0或1 P点坐标为（0，0）或（1，2）.切线

18、斜率k=2或1，切线方程为y=2x或y=x+1.11y/=3x2+2ax+b =3+2a+b过P点切线方程y2=（3+2a+b）（x1） 与y=x3+ax2+bx+c联立，并注意到曲线过点P（1，2）知a+b+c=1 x3+ax2（3+2a）x+2+a=0 即（x1）（x2+（a+1）x2a）=0令（a+1）2+4（2+a）=（a+3）20 知a=3.b=2，b=5， c=15+3=1.f（x）=x33x2+5x1.12互为相反数.f（x）在x=a处的导数值为=.（2） 是奇函数,这是因为= f（x）为偶函数,故可进而写为巩固练习B1已知在函数y=x3+ax2a中，=0 且f（xo）=0, 则

19、a的值为_2已知函数f（x）满足：f（3）=2, （3）=2, 则极限的值为_3已知函数f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.4过点P（2，2）作曲线S：y=3xx3的切线，可作几条？5已知曲线C1：y=3x4+a与曲线C2：Y=4x3有交点，且两曲线在交点处有相同的切线，求a的值.6讨论函数y=的单调性.7直角三角形铁皮ABC的斜边长AB=2, A=30O，现欲从角上剪去三块（图中阴影部分），用其余部分做成一个无盖的直三棱柱形铁盒，怎样下料可使铁盒容积最大？8如图，一个圆锥形容器底面半径为rcm，高为hcm. 现以ncm3/s的速率往容器

20、内注水，求ts末水面上升的速率.9设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d 在x=1及x=1处有极值，且f（1）=2a, 求证f（x）是奇函数.10x1, 求证：2x3. 11某物体一天中温度T（OC）是时间t（小时）的函数：T（t）=at3+bt2+ct+d. （a0） 当t=0时，表示正午12点的温度T（O），12点以后的时间为正，12点以前的时间为负。现测得该物体在上午8时的温度为8OC，12时的温度为60OC，13时的温度为58OC，且上午8时和下午16时的温度变比率相同.（1）写出T（t）的函数解析式；（2）求1012时（包含10时和12时）的最高温度12一种塑料包装罐如右图所示，下

21、部为一个圆柱形，上部为一个半球形，球的半径与圆柱底面半径相同，由于机器每次注塑量已定（即已确定罐体表面积.怎样的尺寸能使其容积最大？1=3x2+2ax 当x=0或a时值为0 若xO=0，则a=0, a =0 若xO=a, 则（a）3+a（a）2a=0, a=0或3 a=0或3.2记x=3+x，则=3（3）+2=8.3=3x26ax+2b 由已知 解得此时=3x22x1 令0. 得x1或.f（x）在（，及1，+）单调增，在，1单调递减.4=33x2 过曲线上一点（xO，3xOxO3）的切线方程为y=（33xO2）（xxO）+ 3xOxO3.切线应过P（2，2）点，故有2=（33xO2）（2xO）

22、+ 3xOxO3. 即xO33xO2+2=0有三个根1, 1. 故应有3条切线.5C1=12x3 C2=12x2 设公共点横坐标为xO则应有12xO3=12xO2. xO=0或1. 曲线C2上对应的点为（0，0）或（1，4） 亦应在曲线C1上， 故a=0或+1.6f（x）=与函数g（x）=（2x3）（3x）2有相同的单调性， （x）=15x2+36x=6（x25x+6） 令（x）0得x3或x2.f（x）在（，及3，+单调递增，在2，3单调递减.7BC=1, AC=. 盒底三角形两直角边长分别为x（0，）1xxcot30O=1（+1）x xxcot15O=（3+）xV=令=0， 得x=（舍去）或

23、.在（0，）. 0. 在（，）. 0. 故当x=时V取得极大值，又x0或x时，V0当x=时，V最大.8t秒注水量V=nt=（x为水面高度）. 即x=. 对t求导.= 即为所求.9 （x）=3ax2+2bx+c. （x）=0的两个根为1. 故b=0, c=3a. 从而f（x）=ax33ax+d又由已知 2a=a3a+d. d=0 .f（x）=ax33ax 为奇函数 .10即证2x33x2+10 . 作函数f（x）=2x33x2+1 . （x）=6x26x . 当x=1时，（x）=0 . 且x（0，1）时 （x）0，当x1时，（x）0. f（1）为极小值，且在1，+上单调递增. f（1）=23+1

24、=0. 当x1时, f（x）0 即2x3（x1）.11（1）（x）=3at2+2by+c. t=4与t=4时值相同，故t=0为其对称轴，b=0 .又由已知算得d=60. a=1. c=3 .T（t）=x33x+60 .（2）此时 当t=1时值为0, 且在2，1）及（1，2值为正，在（1，1）值为负，知T（t）在t=1时取极大值62，（t=1时取极小值）故11时温度最高为62OC.12设圆柱的底半径为r，高为h，则表面积 S=故V= = 当时=0 且在（0，）时0. 而r时，0， 故当r=时V有极大值，也是最大值，为.2019-2020年高三数学 导数的概念教案 新人教A版教学目的1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定