1、待证结论AB+AC2AD中,出现了2AD,即中线AD应该加倍。证明:延长AD至E,使DE=AD,连CE,则AE=2AD。 在ADB和EDC中, ADBEDC(SAS)AB=CE又 在ACE中,AC+CEAEAC+AB2AD,即AD (AB+AC)小结:(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角BAD和CAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。课题练习:中,AD是的平分线,且BD=CD,求证AB=AC例2: 中线一倍辅助线作法ABC中 方式1: 延长AD到E, AD是BC边中线 使DE=AD, 连接BE 方式2:间接倍长
2、 作CFAD于F, 延长MD到N, 作BEAD的延长线于E 使DN=MD,连接BE 连接CD例3:ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围例4:已知在ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE课堂练习:已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF例5:如图,在中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分已知CD=AB,BDA=BAD,AE是ABD的中线,求证:C=BAE作业:1、在四边形ABCD中,ABDC,E为BC边的中点,BAE
3、=EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论2、已知:如图,ABC中,C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证:CT=BE.3:4:5、在四边形ABCD中,ABDC,E为BC边的中点,BAE=EAF,AF与DC的延长线相交于点F。(二)截长补短法例1. 已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC.BAD+BCD=180.分析:因为平角等于180,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截
4、长补短法”来实现.过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DFBC于点F,如图1-2BD平分ABC,DE=DF,在RtADE与RtCDF中,RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180,BAD+DCF=180,即BAD+BCD=180例2. 如图2-1,ADBC,点E在线段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB.CD=AD+BC.例3. 已知,如图3-1,1=2,P为BN上一点,且PDBC于点D,AB+BC=2BD.BAP+BCP=180例4. 已知:如图4-1,在ABC中,C2B,12.AB=AC+CD.1、已知:如图,ABCD是正方形,FAD=FAE. 求证:BE+
5、DF=AE.2、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,ABC+AED=180,求证:AD平分CDE(三)其它几种常见的形式:1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。例:如图1:已知AD为ABC的中线,且12,34,求证:BECFEF。2、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。:如图2:AD为ABC的中线,且12,34,求证:BECFEF练习:已知ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图4, 求证EF2AD。3、延长已知边构造三角形:例如:如图6:已知ACBD,ADAC于A ,BCBD于B,ADBC4、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。如图7:ABCD,ADBC 求证:AB=CD。5、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。如图8:在RtABC中,ABAC,BAC90,12,CEBD的延长于E 。BD2CE 6连接已知点,构造全等三角形。如图9;AC、BD相交于O点,且ABDC,ACBD,求证:AD。九、取线段中点构造全等三有形。如图10:ABDC,AD 求证:ABCDCB。
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