高等代数作业Word文档下载推荐.docx

1、2。测验时不得携带除书写器具以外的任何工具。第一章代数运算与自然数 查核常识点纠合及其运算映射与函数，映射的合成与逆映射置换，复合函数与反函数代数运算及性质，代数体系，同态与同构自然数的定义及其运算归纳法原理查核要求： 1.纯熟掌握纠合的定义及其表示方法，纠合与元素、纠合与纠合的关系以及纠合的运算。 2.理解映射的定义，映射相等和映射的主要性质。纯熟掌握映射的合成和求逆映射的方法。理解置换、轮换和对换等概念。 3.理解代数运算与代数体系的概念，以及代数运算的结合律、交换律和分配律等性质。知道代数系统同态和同构的概念。 4.理解自然数的定义，掌握自然数的运算。第二章不等式查核常识点： 不等式的定

2、义和性质，解不等式柯西不等式，赫勒德尔不等式，明可夫斯基不等式凸函数的定义及其应用，常用不等式查核要求1.理解不等式的定义和主要性质，纯熟掌握常用解不等式和不等式的证明方法。 2.掌握柯西不等式的两种证明方法。 3.理解赫勒德尔与明可夫斯基不等式及其证明方法。4.理解凸函数的定义和性质，掌握它的某些应用。第三章多项式与环环的定义及其分类，整环的定义和性质素元素、不可约元素和相伴元素的定义与区别多项式的代数定义与剖析定义代数学根本定理与多项式根的求法因式分解多项式的根的估计重因式判别法 1.理解环、交换环的定义，知道环的分类和子环定义。2.理解整环的概念，知道抱负、可逆元素的定义。3.掌握素元素

3、、不可约元素和相伴元素的定义及其区别。 4.纯熟掌握整系数多项式因式分解的方法。5.理解多项式的代数定义和剖析定义的异同。6.知道代数根本定理，并会进展证明。7.纯熟掌握一元三次和四次多项式根的求法，以及多项式零点的估计方法。8.理解重因式和单因式定义，掌握其判别法。第四章排列与组合加法原理、乘法原理初等排列组合，可重复的排列与组合模型与公式筛法原理分部与逆推公式抽屉原理1.理解加法原理和乘法原理。纯熟掌握初等排列和组合。2.掌握可重复排列与组合。理解排列组合模型，纯熟掌握排列组合公式。3.理解筛法原理，掌握其初等证明方法及其简单应用。4.知道分部概念，会求正整数方程n=x1+x2+xk的有序

4、解和无序解。理解递推公式原理、侵扰排列、积和式、母函数等的概念。 5.知道抽屉原理的简单形式，会简单应用。知道抽屉原理的一般形式。一、单项选择题1自然数集是（易）（A）空集B有限集（C）可列集（D）无限不可列集选项C正确，将C填入题中括号内。a,b是任意实数，且ab，那么以下各式成立的是（）。（中）（A）a2b2B（C） （D）选项（D）正确，将D填入题中括号内。g（x）被3x+2除所得的余数是（）。（难）（A）Bg（2）（C）g（2）（D）选项A正确，将A填入题中括号内。二、填空题取等号的前提是。（易）在横线上填写答案“ab0。2.Z3x中的全部可逆元素是。在横线上填写答案“1，2。A,B是

5、两个纠合，假设Am，Bn，那么A到B的映射的个数是。在横线上填写答案“。三、简答题1.求整数6的有序不重复分部，即6=x1+x2+xk的不重复有序解。答6244215516x,y，定义乘法*为：x*y=x。问整数集Z对普通数的加法和上述乘法是否构成环：为什么？答乘法*对加法不满足左分配律，故Z，+，*不是环。四、计算题1.在边长为1的等边三角形中随机投放5个点，试说明必有2个点的间隔 不大于。解作三角形割边中点的连线，将等边三角形等分成四个相等的边长为的小等边三角形。放入5个点，那么必有一个小三角形内有两个点，它们的间隔 不超过f（x）3x32x2+9x+6的全部有理根，并在Zx平分解之。解易

6、知f（x）的有理根只能是1，2，3，由于f（x）的奇次项系数为正数，偶次项系数为负数，可能的有理根只能是1，2，3，验证得知，是f（x）的有理根。于是有3.求纠合a,b,e，f的全排列中，abc和ef均不呈现的全排列个数。解令S是纠合A中所有全排列的纠合，那么S6！P1是在S中呈现排列abc的纠合，那么P14！P2是在S中呈现排列ef的纠合，那么P25！abc和ef均不呈现，即为，由筛法原理因为P1P2的一个排列，即为abc,d,ef的排列，故所求为P16！4！5！4！55!五、证明题1设f是纠合A到B的映射，g,h是纠合B到C的映射。证明；假设gf=hf，f是满射，那么g=h。证明任给yB，

7、存在xA，使得y=f（x），于是g（y）=g（f（x）=gf（x）=hf（x）=h（f（x）=h（y）故g=h。f（x）是一个整系数多项式，证明：假设有一个偶数a与一个奇数b，使得f（a）与f（b）都是奇数，那么f（x）无整数解。证明用反证法。设c是f（x）的整数根，那么f（x）=（xc）g（x）其中g（x）是整系数多项式。于是f（a）=（ac）g（a）f（b）=（bc）g（b）由f（a）与f（b）都是奇数知，ac与bc都是奇数，故a与b奇偶性一样，与矛盾。可见f（x）无整数根。a,b,m,nR，且a2+b2=1，m2+n2=1，求证am+bn1。证明方法1，比力法。先证。因为所以，再证。所以

8、方法2，剖析法。故原式成立。方法3，综合法。因为a,b,m,nR,所以高等代数专题研究样题一、单项选择题（每题3分，此题共15分）f（x）满足前提：对任意x1与x2，有，其中（），那么称f（x）是上凸函数（B）且（C）2.以下环中长短交换环的为（ ）（A）整数环Z（B）残剩类环Z5（C）n阶方阵环 （D）高斯整数环Zi=a+bia,b为整数Z8的一个真零因子是（）（B）（C）4.一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张从中任取一张，那么不同取法有（ ）种（A） 52（B）4（C）134 （D）413r个不可区分的小球投入n个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球（nr），假设计算有多少

9、种不同投球方式，应该用（）（A）允许重复组合数公式（B）不重复组合数公式（C）允许重复排列数公式（D）不重复排列数公式二、填空题（每题3分，此题共15分）a1,a2,a5是正实数，可构造两组正实数列和用柯西不等式证明7.假设（a,b）1，那么（a,a+b）上含有无穷多个不同元素的，设多项式为f（x）=anxn+an1xn1+a0和g（x）=bnxn+bn1xn1+b0，那么从代数学的观点，假如，那么称f（x）=g（x）9.p是有理数域上的超越元，是因为p不是多项式的根三、计算题（每题15，此题共60分）A=，a，a,b，求P（A）x，y，z为非负实数，且满足x+2y+5z=6。求f（x,y,z

10、）=xyz的极大值f（x）=的重因式12.试求多项式（x1+x2+x3+x4+x5）10展开合并同类项后的项数以及的系数四、证明题（此题10分）是实数集，是正实数集，任给的元素x,令映射s（x）证明s是到的双射高等代数专题研究样题参考答案1.B2.C3.D4.A5.B6.7.18.ak=bk（k=0,1,2,n）9.任何有理系数10.9.由幂纠合的定义，P（A）=,a,a,b,a,a,b,a,a,a,b,a,b,a,a,a,b,a,b,a,a,b,a,a,bx+2y+5z当x=2y=5z时，得x=2,y=1,z=时，xyz的极大值是11.只要求出f（x）与f（x）的公因式即可而，有（f（x）,

11、f（x）（x1）所以x1是f（x）的二重因式12.所求项数为的系数为13.由对数函数的定义域和函数值，知s（x）是的映射（1）任给的两个元素x1,x2且x1x2，由对数函数的严格单调性，有这说明s（x）是单射（2）任给的元素y，那么存在属于，那么有s（x）=是满射总之，s是高等代数专题研究课程高等代数专题研究课程作业（本学期作业共分四次）第一次作业：1. 下面命题是否正确？（1） 假设AB，BC，那么AC；2. 设s是整数纠合Z到Z的映射，s（n）3n求证：存在一个t：ZZ，使得tsIZ；但不存在t：ZZ，使得stIZ3. 假设纠合A1，0，1，s是AAB的映射，且满足 s 求Im（s），并求

12、出从A到Im（s）共有多少不同的映射4. 设s t 求st，ts，s2t5. 试给出从整数纠合Z到自然数纠合N的满足以下前提的映射各一个：（1） 是单射但不是满射；（2） 是满射但不是单射；（3） 既不是单射也不是满射；（4） 双射6. 假设R是实数纠合，对R中任意两个数a与b，令ab=a+bab，求证代数体系R,满足结合律7. 在代数体系R，（R为实数纠合，t?普通乘法）中，下面映射是否为R，到R，的同态？9. 求证：10. 求证：第二次作业：1. 解不等式 2. 设x1,x2,xn都是正数，求证3. 求证：4. 设a1,a2,an是n个正数，且为等差数列，求证5. 设0k0. 6. 假设x

13、, y, z为非负实数，且满足9x2+12y2+5z2=9，求函数f=3x+6y+5z的极大值. 7. 设x1+x2+xn=1，求 的最小值. 8. a1,a2,an是n个正数，且满足a1a2an=1，求证（2+a1）（2+a2）（2+an）3n。高等代数专题研究课程第三次作业：1. 求证：整环R中的两个元素a和b相伴的充分必要前提是（a）=（b）2. 求证：整环R中元素u是可逆元素的充分必要前提是（u）=R或者u能整除R中的一切元素3. 令R （1） R关于数的加法和乘法构成环；（2） 找出R中的一切单位元素；（3） 找出R中的不可约元素4. 设R是因式分解惟一环，5. 找出高斯环Zi中的一

14、切可逆元素6. 设是R因式分解唯一环，f1（x）和g1（x）是R上两个本原多项式，证明：假如f（x）=af1（x），g（x）=bg2（x），7. 求出Z12上多项式 在Z12的根8. 实系数多项式有一个根a，那么也是此多项式的根9. 求以下方程的根：（1） ; （2） 10. 判断以下多项式有无重因式？第四次作业：1. 停车场内有m辆不同的大卡车与n辆小轿车，停放在一排. 假如小轿车必需停放在一起，一共有多少种停放方法？2. 把4个一样的黑球和3个一样的白球摆成一排，有多少种不同摆法？3. 把10个儿童分成二组（每组5人），每组围成一个圆圈，有多少种不同围法？4. 展开多项式（a+b+c+d+

15、e+f）5并合并同类项，共有多少项？5. 某人从楼下到楼上要走11个台阶，每步可走一级或二级，问有多少种不同走法、6. 求证：7. 求证 8. n对夫妻在一起跳交际舞，问刚好有k对夫妻为舞伴的方法有多少种？9. 求不大于1000且能被5，7，11整除的自然数个数. 10. 某校举行三个单项体育比赛，工程为百米，跳高和铅球. 参加百米、跳高和铅球的人数分别为125，124和130；参加百米和跳高两项的人数为5人，参加百米和铅球两项的人数为12，参加铅球和跳高两项的人数为14人；三项都参加的为5人. 求（1） 只参加百米比赛的有多少人？（2） 只参加两项比赛的有多少人？（3） 至少参加一项比赛的人数是多少？