华师大版八年级上册 132 全等三角形的判定2讲义无答案Word格式.docx

1、【解析】由于ABF与DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明证明：BE=CF，BE+EF=CF+EF，即BF=CE.A=D=90ABF与DCE都为直角三角形，在RtABF和RtDCE中，RtABFRtDCE（HL）点评：此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE总结：1判定直角三角形全等共有五种方法：“SSS”“ASA”“AAS”和“HL”；一般先考虑利用“HL”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；2“HL”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；3判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条

2、件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等练1如图，要用“HL”判定RtABC和RtABC全等的条件是（ ）AAC=AC，BC=BC BA=A，AB=ABCAC=AC，AB=AB DB=B，BC=BC【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案在RtABC和RtABC中，如果AC=AC，AB=AB，那么BC一定等于BC，RtABC和RtABC一定全等，故选C此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题练2如图，已知ABCD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定ABCDBE，则需要添加的一个条件是_【解析】先求出ABC=DBE=9

3、0，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可AC=DE，理由是：ABDC，ABC=DBE=90在RtABC和RtDBE中，RtABCRtDBE（HL）故答案为：AC=DE本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL2利用HL证全等，再证边角相等【例2】如图，ABBC，ADDC，AB=AD求证：CB=CD【解析】根据已知条件，利用“HL”判定RtABCRtADC，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CDABBC，ADDC，B=D=90在RtABC和RtADC中，RtABCRtADCCB=CD此题主要考查学生对全等

4、三角形的判定方法“HL”的理解及运用，常用的判定方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手. 在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系练3如图，MNPQ，ABPQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=_【解析】可判定ADEBCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BCMNPQ，ABPQ，ABMN，DAE=EBC=90在RtADE和RtBCE中，ADEBEC（HL），AE=BC，AD+BC=7，AB=AE+BE

5、=AD+BC=7故答案为7本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单练4已知如图，A=90，D=90，且AE=DE，求证：ACB=DBC【解析】由图片和已知，可得ABEDCE，则BE=CE，然后再证明RtABERtDCE，即可得证，AE=DE（已知），AEB=DEC（对顶角相等），ABEDCE（ASA），AB=DC，在RtABE和RtDCE中，RtABERtDCE，ACB=DBC本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等3利用HL解决实际问题【例3】如图，A、B、C、D是四个村庄，B、D、C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村的距离相等；村庄

6、A与C，A与D间也有公路相连，且公路 AD是南北走向；只有村庄A、B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米试求建造的斜拉桥至少有多少千米.【解析】根据BD=CD，BDA=CDA=90，AD=AD，得出RtADBRtADC，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度由题意，知BD=CD，BDA=CDA=90，AD=AD，则RtADBRtADC（SAS），所以AB=AC=3千米，故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出RtADBRtADC是解决问题的

7、关键对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小练5如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）ABDCD BBDCD CBD=CD D不能确定【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB=AC，又AD=AD，ADBC，所以RtABDRtACD，所以BD=CDADBC，ADB=ADC=90由AB=AC，AD=AD，RtABDRtACD（HL）

8、，BD=CD本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件本题关键是证明RtABDRtACD4全等三角形补充条件型问题【例1】如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，1=2，请你添加一个条件，使ABCDEF，并加以证明（不再添加辅助线和字母）【解析】由已知先推出BC=EF，添加条件AC=DF，根据“SAS”可推出两三角形全等解：AC=DFBF=EC，BFCF=ECCF，即BC=EF.在ABC和DEF中ABCDEF（SAS）因为全等三角形的判定定理有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，所以此类问题答案是不唯一的. 对于条件添加型的题目，要根据已知条

9、件并结合图形及判定方法来添加一个条件练6如图，已知1=2，则不一定能使ABDACD的条件是（ ）ABD=CD BAB=AC CB=C DBAD=CAD【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案A、1=2，AD为公共边，若BD=CD，则ABDACD（SAS）；B、1=2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定ABDACD；C、1=2，AD为公共边，若B=C，则ABDACD（AAS）；D、1=2，AD为公共边，若BAD=CAD，则ABDACD（ASA）；故选：B本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SA

10、S、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角练7如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使ADBCEB【解析】要使ADBCEB，已知B为公共角，BEC=BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定ADBCEBAB=BC，ADBC，CEAB，B=BADBCEB（AAS）答案：AB=BCAAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一

11、角对应相等时，角必须是两边的夹角添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难5全等三角形结论探索型问题【例5】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明【解析】（1）根据题目所给条件可分析出ABECDF，AFDCEB；（2）根据ABCD可得1=2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明ABECDF即可（1）ABECDF，AFDCEB；（2）ABCD，1=2，AF=CE，AF+EF=CE+EF，即AE=FC.在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）判定两个三角形全等的一般方法有：“SSS”“SAS

12、”“ASA”“AAS”和“HL”注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角练8如图，ABC中，ADBC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角形的对数有（ ）A5对 B6对 C7对 D8对【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证ABC中，ADBC，AB=AC，BD=CD，ABDACD，BAD=CAD，又AE=AF，AO=AO，AOEAOF，EO=FO，进一步证明可得BODCOD，BOECOF，AOBAOC，ABFACE，BCECBF，

13、共7对C本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理6全等三角形条件和结论全开放型问题【例6】有下列四个判断：AD=BF；AE=BC；EFA=CDB；AEBC请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明已知：求证：【解析】由已知AD=BF，证出AF=BD，再由平行线AEBC得出A=B，证明AEFBCD，即可得出EFA=CDBAD=BF，AE=BC，AEBC；EFA=CDB；AD=BF，AD+DF=BF+DF，即AF=BD.AEBC，A=B，在AEF和BCD中，AEFBCD（SAS），EFA=C

14、DB本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS、SAS、ASA、AAS、HL的考查要熟练掌握全等三角形的证明思路：已知条件证明思路两边一边一角两角练9如图，AC交BD于点O，有如下三个关系式：OA=OC，OB=OD，ABDC（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题（用序号写出命题书写形式，如：如果、，那么）（2）选择（1）中你写出的个命题，说明它正确的理由（1）如果、，那么，或如果、，那么，如果、，那么；（2）下面选择“如果、，那么”加以证明在AOB和COD中，

15、AOBCOD，AC，ABDC练10在ABC和DEF中，AB=DE，A=D，若证ABCDEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）AB=E BC=F CBC=EF DAC=DF【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案A、正确，符合判定ASA；B、正确，符合判定AAS；C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；D、正确，符合判定SAS此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等练11如图，已知等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DEBC于E，FGBC于G，DF

16、交BC于点P，则下列结论：BE=CG；EDPGFP；EDP=60；EP=1中，一定正确的是（ ）A B C D【解析】由等边三角形的性质可以得出DEBFGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出DEPFGP，得出EDP=GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论ABC是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=ACB=60ACB=GCF，DEBC，FGBC，DEB=FGC=DEP=90在DEB和FGC中，DEBFGC（AAS），BE=CG，DE=FG，故正确；在DEP和FGP中，DEPFGP（AAS），故正确；PE=PGEDP=GFP60，故错误；PG=PC

17、+CG，PE=PC+BEPE+PC+BE=2，PE=1故正确正确的有，D本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键练12如图，EAAB，BCAB EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：（1）DE=AC（2）DEAC（3）CAB=30（4）EAF=ADE，其中结论正确的是（ ）A（1），（3） B（2），（3） C（3），（4） D（1），（2），（4）【解析】本题条件较为充分，EAAB，BCAB，EA=AB=2BC，D为AB中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证EAAB

18、，BCAB，EAB=ABC=90RtEAD与RtABCD为AB中点，AB=2AD又EA=AB=2BCAD=BCRtEADRtABCDE=AC，C=ADE，E=FAD又EAF+DAF=90EAF+E=90EFA=18090=90，即DEAC，EAF+DAF=90，C+DAF=90C=EAF，C=ADEEAF=ADE本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题1下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A两条直角边对应相等B两个锐角对应相等C一条直角边和它所对的锐角对应相等D一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2如图，O是

19、BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则AEOAFO的依据是（）AHL BAAS CSSS DASA3已知：如图所示，ABC与ABD中，C=D=90，要使ABCABD（HL）成立，还需要加的条件是（ ）ABAC=BAD BBC=BD或AC=ADCABC=ABD DAB为公共边4如图，B=D=90，BC=CD，1=40，则2=（）A40 B50 C60 D755.如图1，已知ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1ABC全等的图形是（ ）A甲乙 B丙 C乙丙 D乙6如图，在ABC中，AB=AC，AE=AF，ADBC于点D，且点E、F在BC上，则图中全等的直角三角形共有（

20、）A1对 B2对 C3对 D4对7.已知：如图，ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD（1）请你写出两个正确结论：_；_；（2）当B=60时，还可以得出哪些正确结论？（只需写出一个）（3）请在图中过点D作于DMAB于M，DNAC于N求证：DBMDCN_1如图，ABC中，ADBC于D，要使ABDACD，若根据“HL”判定，还需加条件_2如图，B=D=90，BC=DC，1=40，则2=_度3如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角ABC=35，则滑梯EF与地面夹角DFE的度数是_4如图，ABC中，ACB=90，A

21、C=BC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长5如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，ADBC，则BD与CD相等吗？为什么？6请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明等式：AB=CD，A=C，AEB=CFD，ABCD，BE=DF，_ABECDF当堂检测1【解析】A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误

22、；C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA或AAS来判定两个直角三角形全等；故选B2【解析】OEAB，OFAC，AEO=AFO=90又OE=OF，AO为公共边，AEOAFO故选A3【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，在RtABC与RtABD中，RtABCRtABD（HL）；若添加的条件为AC=AD，RtABCRtABD（HL）4【解析】B=D=90RtABCRtADC（HL），2=ACB=901=505【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可已知图1的ABC中，B=50，BC=a，AB=c，AC=b，C=58，A=72图2中，甲：只有一个角和B相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和ABC不全等；乙：符合SAS定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS定理，能推出两三角形全等；本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS6【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD，DE=DF；证明ABDACD，AEDAFD，即可解决问题如图，AB=AC，AE=AF，ADBC，