8三向应力圆和最大切应力Word格式.docx

1、 为了进一步探讨应力状态，最后分析八面体单元应力。学习要点： 1. 截面正应力与切应力； 2. 斜截面方向余弦； 3. 三向应力圆； 4. 最大切应力; 5. 八面体单元; 6. 八面体单元应力。一点的应力状态可以通过六个应力分量确定，主应力和应力主轴是描述应力状态的重要参数。但仅仅这些，对于应力状态分析还不够，本节将进一步讨论任意斜截面的正应力和切应力的变化。 以三个相互垂直的应力主轴为坐标轴建立坐标系如图所示，设三个主应力为应力分量为1，2, 3，即 O点附近有任意斜截面ABC，它的法线方向为n（l，m，n）。斜截面上的应力矢量pn可分解为两部 分：沿法线方向的正应力 n 和沿切线方向的切

2、应力 n，如图所示。根据应力矢量与应力分量的关系展开可得 因为 根据应力转轴公式 还有关于l，m，n联立求解上述公式，可以得到 当斜截面方位变更时，法线的方向余弦n 随着改变，因此正应力 n和切应力 n也随之变化。这里有正应力 n和切应力 n 两个变量，如果建立一个平面坐标系，以 n为横轴， n为纵轴，则斜截面上的两个应力分量（ n， n ）恰好是这个坐标系中的一个点。 设 1 2 3，则因为l2 ,m2 ,n2均大于或等于零，因此根据上述公式的第一式，可以得到上式可以改写为 上述不等式表示在应力平面上，圆心在横轴，横坐标为（ 2+ 3）/2，半径为（ 2- 3）/2的圆C1圆周及其以外的区域

3、。 同理考虑公式的第二式，可得 它表达了圆C2的圆周及其内部区域。 对于公式的第三式，可得 它表达了圆C3圆周及其外部区域。 综上所述，斜截面的方位改变时，截面上的正应力和切应力（ n ， n ）只能位于圆C1，C2和C3的圆周所围成的区域之内。这三个圆C1，C2和C3是两两相切的，称为应力圆。根据应力圆，对于一点的应力状态，不难得到下列结论： 根据应力圆，纵坐标最大处即最大切应力的值，它的横坐标为（ 1+3）/2，将它们回代到公式，可得最大切应力作用平面的方向余弦为l2 = 0.5, m2 = 0, n2 = 0.5m=0表示最大切应力作用面的法线与应力主轴2相互垂直，因此这一作用面必然通过

4、应力主轴2。l2 = 0,n2 = 0.5 说明最大切应力作用面的法线与应力主轴1和3都成45角。 根据上述分析，弹性体内任意一点的最大正应力为1，最小正应力为 3。 最大切应力可以通过主应力计算，最大切应力等于（ 1 3）/2。最大切应力作用平面也可以通过应力主轴得到，其作用平面通过 2 应力主轴，并且与 1和 3应力主轴交45角，如图所示。下面介绍正八面体单元应力。以主应力 1, 2, 3 对应的应力主轴作为x1，x2，x3坐标轴建立坐标系，选取与三个应力主轴等倾的八个微分面构成一个单元体，如图所示。 由于单元体的每一个微分面均为等倾面，即其法线与三个坐标轴的夹角相同。设微分面的法线方向余

5、弦为l，m，n，则由于所以 对于八面体单元各微分面上的应力矢量，我们将其分为正应力 8 和切应力 8 两部分分别讨论。对于八面体单元的正应力，由公式可得 由上式可知， 8 就是某点的平均正应力。对于八面体单元的切应力 8，可以应用应力分解公式因为所以 显然，八面体单元的切应力是可以通过应力不变量表达的，因此也是不变量。根据强度理论，第四强度理论的等效应力为 。 由上式可知：八面体单元的切应力 8 是一个与第四强度理论等效应力有关的物理量，因此它也是一个与塑性材料的失稳有关的物理量。 上述分析表明，八面体单元的正应力 8和切应力 8均是由应力不变量所描述的，因此对于任意的坐标系，其数值也是不变的

6、，即八面体单元的正应力 8和切应力 8也是不变量。2.9 球应力张量和偏球应力张量 外力的作用下，物体的变形可以分解为体积改变和形状改变两部分。对应这两种形式的变形，应力张量可以分解为应力球张量和应力偏张量两部份。 分解的物理意义为：应力球张量使微单元体三个方向作用相同的正应力，只能改变微单元体的体积，而不能改变其形状。应力偏张量不改变微单元体的体积，仅产生形状的畸变。它描述的是实际应力状态与平均应力状态的偏离程度，这对描述问题的塑性变形是十分重要的。1. 应力状态的分解；2. 应力球张量和应力偏张量； 3. 应力偏张量不变量。一点的应力状态可以使用应力张量 表示，上述应力分量将使弹性体任意一

7、点发生变形。实验证明，固体材料在各向相等正应力作用下，一般表现为弹性变形。由于材料的体积改变是由于各向相等的正应力引起的，因此可以认为，材料的非弹性变形主要是物体的形状变化时产生的。这一性质在塑性理论分析中经常应用。在外力的作用下，物体的变形一般可以分解为体积改变和形状改变两部分。 为进一步研究应力分量对于变形的影响，将应力张量分解为其中，m ii为上式中为平均正应力。 m ii称为平均应力张量或称应力球张量。而sij等于称为应力偏张量，简称应力偏量。应力球张量m ii使微分单元体三个方向作用相同的正应力，这使单元体发生变形时，只能产生导致体积的均匀膨胀或收缩。因而只能改变单元体体积，而不能改

8、变单元体形状。 而应力偏张量sij将不改变微分单元体的体积，仅产生形状的畸变。它描述的是实际应力状态与平均应力状态的偏离程度，所以它对描述问题的塑性变形是十分重要的。因为m ij的任意方向均为应力主方向，所以应力偏张量sij与的应力主方向相同，而且其主应力仅相差一个平均应力。因此可用正应力特征方程计算。即 计算可得三个应力偏张量的不变量I1，I2，I3 ，有 在塑性力学中，经常使用的是应力偏张量的第二不变量I 2，若取应力主轴方向，则 由于第二应力偏张量不变量恒为负值，一般在应用时取为正值，则实验证明，对于金属材料，应力球分量m ij引起的变形一般都是弹性变形，而材料屈服后的塑性变形基本上是畸变变形，因此应力偏张量sij在塑性力学的研究中起重要作用。