数值分析实验报告Word文档下载推荐.docx

1、endresult = inputdlg（请输入插值结点数N:,10Nd = str2num（char（result）;if（Nd 1）errordlg（结点输入错误！switch Nb_f case f=inline（1./（1+25*x.2） a = -1;b = 1;x./（1+x.4） a = -5; b = 5;atan（x） b= 5; x0 = linspace（a, b, Nd+1）; y0 = feval（f, x0）; x = a:0.1:b; y = Lagrange（x0, y0, x）; fplot（f, a b, co hold on; plot（x, y, b-

2、xlabel（x ylabel（y = f（x） o and y = Ln（x）-%-function y=Lagrange（x0, y0, x）;n= length（x0）; m=length（x）;for i=1:m z=x（i）; s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1: if（j = k） p = p*（z - x0（j）/（x0（k） - x0（j）; end s = s + p*y0（k）; y（i） = s;实验结果分析（1）增大分点n=2，3，时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 从图中可以看出，随着n的增大，拉格

3、朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f（x），但是却在两端x= -1和x=1处出现了很大的振荡现象。 并且，仔细分析图形，可以看出，当n为奇数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。通过思考分析，我认为，可能的原因是f（x）本身是偶函数，如果n为奇数，那么Lagrange插值函数Ln（x）的最高次项xn-1是偶次幂，比较符合f（x）本身是偶函数的性质；如果n为偶数，那么Lagrange插值函数Ln（x）的最高次项xn-1是奇次幂，与f（x）本身是偶函数的性质相反，因此振荡可能更剧烈。（2）将原来的f（x）换为其他函数如h（x）、g（x），结果如图所示。其

4、中h（x）, g（x）均定义在-5，5区间上，h（x）=x/（1+x4），g（x）=arctan x。 h（x）, n=7 h（x）, n=8 h（x）, n=9 h（x）, n=10 g（x）, n=7 g（x）, n=8 g（x）, n=9 g（x）, n=10分析两个函数的插值图形，可以看出：随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f（x），但是却在两端x= -5和x=5处出现了很大的振荡现象。 并且，仔细分析图形，可以看出，当n为偶数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为奇数时，其振荡幅度变得很大。原因和上面f（x）的插值类似，h（x）、g（x）本身是奇函数

5、，如果n为偶数，那么Lagrange插值函数Ln（x）的最高次项xn-1是奇次幂，比较符合h（x）、g（x）本身是奇函数的性质；如果n为奇数，那么Lagrange插值函数Ln（x）的最高次项xn-1是偶次幂，与h（x）、g（x）本身是奇函数的性质相反，因此振荡可能更剧烈。实验3.1 多项式最小二乘拟合 编制以函数xkk=0,n；为基的多项式最小二乘拟合程序。 对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权函数wi1，求拟合曲线中的参数k、平方误差2，并作离散据xi, y

6、i的拟合函数的图形。function Chap3CurveFitting% 数值实验三:“实验3.1”% 输出:原函数及求得的相应插值多项式的函数的图像以及参数alph和误差rx0 = -1:0.5:2;y0 = -4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552;n = 3; % n为拟合阶次alph = polyfit（x0, y0, n）;y = polyval（alph, x0）;r = （y0 -y）*（y0 -y） % 平方误差x = -1:0.01:y = polyval（alph, x）;plot（x, y, k-xlabel（y0 * a

7、nd polyfit.y-hold onplot（x0, y0, *）grid on;disp（平方误差:, num2str（r）参数alph:, num2str（alph）实验结果2.1762e-0051.9991 -2.9977 -3.9683e-005 0.54912实验4.1 复化求积公式计算定积分. 实验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值. 实验要求：（1）若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I 型公式做计算，要求绝对误差限为，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计. （2）分别用复化梯形公式，复化Simpson 公式和复化Gau

8、ss-Legendre I 型公式作计算. （3）将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量. 实验程序：1.事前估计的Matlab程序如下：（1）用复化梯形公式进行事前估计的Matlab程序 format long g x=2:3;f=-4*（3*x.2+1）./（x.2-1）.3; %二阶导函数 %plot（x,f） %画出二阶导函数图像 x=2.0; %计算导函数最大值 f=-4*（3*x2+1）/（x2-1）3;h2=0.5*10（-7）*12/f;h=sqrt（abs（h2） %步长 n=1/h;n=ceil（1/h）+1 %选取的点数 x=0:1;f=8.*（3*x.2-1）

9、./（x.2+1）.3;x=1;n=1/h f=log（3）.*log（3）.*3.x;%plot（x,f）; %画出二阶导函数图像 f=log（3）*log（3）*3x;x=1:f=2.*exp（x）+x.*exp（x）;%二阶导函数 x=2;n=ceil（1/h）+1 %选取的点数估计结果步长h及结点数n分别为 h = 0.8 n =1793 h =0.6 n =1827 h =0.9 n =2458 n =7020 （2）用复化simpson公式进行事前估计的Matlab程序 f=-2*（-72*x.2-24）.*（x.2-1）-192*x.2.*（x.2+1）./（x.2-1）.5;%

10、四阶导函数 f=-2*（-72*x2-24）*（x2-1）-192*x2*（x2+1）/（x2-1）5;h4=0.5*10（-7）*180*16/f;h=sqrt（sqrt（abs（h4） %步长 %求分段区间个数 n=2*ceil（1/h）+1 %选取的点数 f=4*（-72*x.2+24）.*（x.2+1）-192*x.2.*（-x.2+1）./（x.2+1）.5;f=4*（-72*x2+24）*（x2+1）-192*x2*（-x2+1）/（x2+1）5;h=sqrt（sqrt（abs（h4）%步长 f=log（3）4*3.x;%计算导函数最大值 f=4*exp（x）+x.*exp（x）;

11、plot（x,f） %画出原函数 h=sqrt（sqrt（abs（h4） h =0.13411 n =47 h =0.76542 n =35 h =0.18433 n =29 h =0.18546 n =49 2. 积分计算的Matlab程序：promps=请选择积分公式，若用复化梯形，请输入T，用复化simpson，输入S，用复化Gauss_Legendre，输入GL：result=inputdlg（promps,charpt 4TNb=char（result）;if（Nb=&Nb=SGL） errordlg（积分公式选择错误 return;end result=inputdlg（请输入积分

12、式题号1-4：实验4.11Nb_f=str2num（char（result）;if（Nb_f4） 没有该积分式switch Nb_f case 1 fun=inline（-2./（x.2-1）a=2;b=3; case 2 4./（x.2+1）a=0;b=1; case 3 3.x case 4 x.*exp（x）a=1;b=2;if（Nb=）%用复化梯形公式 promps=请输入用复化梯形公式应取的步长： result=inputdlg（promps,实验4.20.01 h=str2num（char（result）; if（h=0） 请输入正确的步长！ end tic; N=floor（b-

13、a）/h）; detsum=0; for i=1:N-1 xk=a+i*h; detsum=detsum+fun（xk）; t=h*（fun（a）+fun（b）+2*detsum）/2; time=toc; t ）%用复化Simpson公式 请输入用复化Simpson公式应取的步长： detsum_1=0; detsum_2=0; xk_1=a+i*h; detsum_1=detsum_1+fun（xk_1）;N xk_2=a+h*（2*i-1）/2; detsum_2=detsum_2+fun（xk_2）; t=h*（fun（a）+fun（b）+2*detsum_1+4*detsum_2）/

14、6;）%用复化Gauss_Legendre I %先根据复化Gauss_Legendre I公式的余项估计步长 请输入用复化Gauss_Legendre I 公式应取的步长：请输入正确的步长!t=0; for k=0: xk=a+k*h+h/2; t=t+fun（xk-h/（2*sqrt（3）+fun（xk+h/（2*sqrt（3）; t=t*h/2; disp（精确解：ln2-ln3=-0.4054651081 disp（绝对误差：,num2str（abs（t+0.4054651081）;运行时间：,num2str（time）;pi=3.979,num2str（abs（t-pi）;2/ln3

15、=1.368,num2str（abs（t-1.368）;e2=7.065,num2str（abs（t-7.065）;1. 当选用复化梯形公式时：（1）式运行结果为：t =-0.351 ln2-ln3=-0.4054651081 1.3944e-008 0.003 （2）式运行结果为：t =3.336 pi=3.979 3.9736e-008 0.005 （3）式运行结果为：t = 1.861 2/ln3=1.368 4.3655e-008 0.016 （4）式运行结果为：t =7.610 e2=7.065 2.0775e-008 0.007 2. 当选用复化Simpson公式进行计算时：t =

16、-0.7519 2.7519e-011 0.022 t =3.979 0 0.021 t =1.288 9.2018e-012 0.019 t =7.118 9.0528e-011 3. 当选用复化Gauss-Legendre I型公式进行计算时：t =-0.5262 4.7385e-012 0.023 1.3323e-015 t =1.754 6.1431e-012 t =7.046 1.441e-012 结果分析：当选用复化梯形公式时，对步长的事前估计所要求的步长很小，选取的节点很多，误差绝对限要达到时，对不同的函数n 的取值需达到1000-10000之间，计算量是很大。 用复化simps

17、on公式对步长的事前估计所要求的步长相对大些，选取的节点较少，误差绝对限要达到时，对不同的函数n的取值只需在10-100之间，计算量相对小了很多，可满足用较少的节点达到较高的精度，比复化梯形公式的计算量小了很多。用复化simpson公式计算所得的结果比用复化梯形公式计算所得的结果精度高很多，而且计算量小。当选用Gauss-Lagrange I型公式进行计算时，选用较少的节点就可以达到很高的精度。实验5.1 常微分方程性态和R-K法稳定性试验考察下面微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响（它可使方程为好条件的或坏条件的）和研究计算步长对R-K法计算稳定性的影响。实验容及要求：常微分方程

18、初值问题其中，。其精确解为本实验题都用4阶经典R-K法计算。（1）对参数a分别取4个不同的数值：一个大的正值，一个小的正值，一个绝对值小的负值和一个绝对值大的负值。取步长h=0.01，分别用经典的R-K法计算，将四组计算结果画在同一图上，进行比较并说明相应初值问题的性态。（2）取参数a为一个绝对值不大的负值和两个计算步长，一个步长使参数ah在经典R-K法的稳定域，另一个步长在经典R-K法的稳定域外。分别用经典R-K法计算并比较计算结果。取全域等距的10个点上的计算值，列表说明。Matlab程序如下：function charp5RK%数值试验5.1：常微分方程性态和R-K法稳定性试验%输入：参

19、数a，步长h%输出：精确解和数值解图形对比%clf;请输入-50，50间的参数a:实验5.1-40a=str2num（char（result）; if （a50） errordlg（请输入正确的参数a!请输入（0 1）之间的步长:h=str2num（char（result）;if （h=1） errordlg（请输入正确的（0 1）间的步长!h:y=x;N=length（x）;y（1）=1;func=inline（1+（y-x）.*afor n=1:N-1 k1=func（a,x（n）,y（n）; k2=func（a,x（n）+h/2,y（n）+k1*h/2）; k3=func（a,x（n）+h/2,y（n）+k2*h/2）; k4=func（a,x（n）+h,y（n）+k3*h）; y（n+1）=y（n）+h*（k1+2*k2+2*k3+k4）/6;