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1、完全平方和（差）公式：（ab）2 = a22ab+b2 平方差公式： a2-b2 = （a+b）（a-b） 求和公式一:1+2+3+n = 求和公式二：12+22+32+n2 =求和公式三：13+23+33+n3 =6速算巧算基本方法 凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法7等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。拆分裂项公式：等差数列公式：简单等比公式：例题分析1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+4022. 比较下面 A,B 两数的大小：A=20092009， B=2008201

2、03. 结果末尾有多少个零？4. 100 999897969510987654321巩固练习5. 376385391380377389383374366378 6. 150+250+350+50507. 99999992009 7777333311118. 9. 比较下面 A,B 两数的大小：A987654321123456789； B98765432212345678810. 1996199419921990198819861984198219801978197619741972197042第二部分 基础知识A 归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标 准，求

3、出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数1 份数量1 份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。【例题】买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？ 解：（1）买 1 支铅笔多少钱？0.650.12（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元） 列成综合算式：5160.12161.92（元） 答：需要 1.92 元。11. 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？12. 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同

4、样的 7 辆汽车运送 105吨钢材，需要运几次？A 归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求 的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天） 的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数另一份数另一每份数量【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。【例题】服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服 用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？（1）这批布总共有多少米？ 3.27912531.2（米）（2）现在可以做多少套？ 2531.2

5、2.8904（套） 列成综合算式 3.2791答：现在可以做 904 套。13. 小华每天读 24 页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书， 几天可以读完红岩？14. 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬 菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可 以吃多少天？A 和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和 差问题。【数量关系】大数（和差） 2小数（和差）【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。【例题】甲乙两班共学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？甲班

6、人数（986）252（人）乙班人数（986）246（人）甲班有 52 人，乙班有 46 人。15. 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积?16. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。17. 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？A 和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和 （几倍1）较小的数总和 较小的数

7、较大的数较小的数 几倍 较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例题】果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵？（1）杏树有多少棵？ 248（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？ 623186（棵）杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。18. 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求 两库各存粮多少吨？19. 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？20. 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少

8、4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？A 差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差（几倍1）较小的数较小的数几倍较大的数【例题】果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？ 124（31）62（棵）果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。21. 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？22. 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30

9、万元，这两个月盈利各是多少万元？23. 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 10 吨，多少天后，玉米是小麦的 12 倍？A 植树问题 基本类型及公式：在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。基本公式：棵树=段数1；棵距（段长）段数=总长在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。棵树=段数1；在封闭曲线上植树： 基本公式：棵树=段数；段数=总长 关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。【例题】一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵 垂柳？1362168169（棵）一共要栽 69 棵垂柳。24. 一个圆形池塘周长为 40

10、0 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？25. 甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取 1.6 米，2 米，1.2 米长的 钢条，要求都按 0.4 米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了 24 段，25 段，27 段，谁锯钢条的速度最快？26. 某一淡水湖的周长 1350 米,在湖边每隔 9 米种柳树一株,在两株柳树 中间种植 2 株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝 桃之间相距多少米?27. 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？A 年龄问题【含义】这类问题是根据题

11、目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄 差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。【例题】爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解: 3557（倍） （35+1）（5+1）6（倍）今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。28. 母亲今年 37 岁，女儿 7 岁，几年后母亲年龄是女儿的 4 倍？29. 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年

12、父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父 子今年各多少岁？30. 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对 甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙 现在的岁数各是多少？A 盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈）， 一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类 应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差 如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系

13、的公式。【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？ （111）（43）12（人）（2）有多少个苹果？ 3121147（个）有小朋友 12 人，有 47 个苹果。31. 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？32. 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？A 周期问题在日常生活中，有一些

14、现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调 查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年 有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有 一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出 现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周 期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数， 最后根据余数的大小得出正确的结果。 周期现象：事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 闰年：四年一闰，百年

15、不闰，四百年再闰； 月份：1、3、5、7、8、10、12 月大。解答周期问题的关键：找出周期 T, 考察余数，注意周期的首尾两数。【例1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几？【解】平年元旦到国庆节共有的天数：31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；循环的周期和余数：2747=391； 平年的国庆节是星期日；整周期的第一个数 闰年元旦到国庆节共有的天数：274+1=275；2757=392； 闰年的国庆节是星期一；整周期的第二个数【例 2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶,甲第一次取奶是星期一,那么他第 100 次取奶是星期 。【解】21 天内，每人取

16、奶 7 次，甲第 8 次取奶又是星期一，即每取 7 次奶为一个周期 1007142，所以甲第 100 次取奶是星期二。基础务实33. 1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过十年的 12 月 5 日是星期几？34. 小学生数学报每周星期五出版一期，1994 年 10 月份第 1 期是 10月 7 日出版的，1995 年 1 月份第 1 期应在 1 月几日出版？35. 果园里要种 100 棵果树，要求每六棵为一组。第一棵种苹果树，第二、 三棵种梨树，后面三棵，即第四、第五、第六棵种桃树。那么，最后 一棵应种什么树？在这 100 棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？36. 节日的校园内挂

17、起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、 黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接 着有 3 盏彩灯。那么第 73 盏灯是什么颜色的灯？37. 小明把节省下来的硬币先按四个 1 分，再按三个 2 分，最后按两个 5 分这样的顺序往下排。那么，他排的第 111 个是几分硬币，这 111 个 硬币共多少元？38. 如果时钟现在表示的时间是 18 点整，那么分针旋转 1990 圈之后是几 点钟？39. 某年的 10 月里有 5 个星期六，4 个星期日。问：这年的 10 月 1 日是星期几？40. 学校一学期共安排 86 节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、 四每天两节

18、。开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上， 则最后一节数学课是星期几上的？41. 1993 年一月份有 4 个星期四、5 个星期五，1993 年 1 月 4 日是星期几？42. 有一串数排成一行，其中第一个数是 15，第二个数是 40，从第三个 数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第 1991 个数 被 3 除，所得的余数是多少？A 鸡兔同笼【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚， 求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和 鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题： 假设全都是

19、鸡，则有兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42） 假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42） 鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以 假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然 后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到 解决。【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？假设 35 只全为兔，则3594）（42）23（只）兔数352312（只）也可以先假设 35 只全为鸡，则兔

20、数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）有鸡 23 只，有兔 12 只。43. 2 亩菠菜要施肥 1 千克，5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施肥 9 千克，求白菜有多少亩？44. 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本，作业本每本 3.20元，日记本每本 0.70 元。问作业本和日记本各买了多少本？45. （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与兔各多少只？46. 有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个馍，问大小和尚各多少人？A 方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件

21、排成正方形（简称方阵），根据已知条 件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数 内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22人，参加体操表演的同学一共有多少人？2222484（人） 答：参加体操表演的同学一共

22、有 484 人。47. 有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。48. 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数 是 28 人，这队学生共多少人？49. 一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少 9 只棋子，问有棋子多少个？A 抽屉原理【含义】把 3 只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把 2 只苹 果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把 3 只苹果都放进同 一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了 2 只或2 只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【数量关系】基本的抽

23、屉原则是：如果把 n1 个物体（也叫元素）放到 n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着 2 个或更多的物体（元素）。 抽屉原则可以推广为：如果有 m 个抽屉，有 kmr（0rm）个元素那 么至少有一个抽屉中要放（k1）个或更多的元素。 通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的 k 倍多一些，那么至少有一个抽 屉要放（k1）个或更多的元素。【解题思路】（1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。【例题】育才小学有 367 个 1999 年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？由于 1999 年是润年，全年共有 366 天，可以看作 366 个“抽屉

24、”，把 367 个 1999 年出生的学生看作 367 个“元素”。367 个“元素”放进366 个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有 2 个或更多的“元素”。 这说明至少有 2 个学生的生日是同一天的。50. 有一四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排，表示各种信号，在 200个信号中至少有多少个信号相同？51. 书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种 奖品。问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有 4 名同学得 到的奖品完全相同？52. 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球 10 个，白 球 9 个，黄球 8 个，蓝球 2 个。某人闭着眼睛从中取出若

25、干个，试问 他至少要取多少个球，才能保证至少有 4 个球颜色相同？A 容斥原理 公式法：直接应用包含与排除的概念和公式进行求解 容斥原理一：C=A+B-AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。容斥原理二：DABCABACBCABC 利用这一公式可计算三个集 合圈的有关问题。图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，68. 邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。图中各 横道、竖道之间的道路都是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要走 千米。A 加法乘法原理X 加法原理如果完成一件任务有 n 类方法，在一类方法中有 m1 种不同的方法，在第二个元素进行排列

26、，方法有 P r 。由乘法原理可得 P r = C r P r ，所以类方法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法，则完成这件任务共有：m1+m2+m3+mn 种不同的方法。X 乘法原理如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪一种方 法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有 m1m2m3mn 种 不同的方法。69. 下图中的“我爱希望杯”有 种不同的读法。70. 如图，把 A、B、C、D、E 这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的 部分不能使用

27、同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么， 这幅图一共有多少种不同的着色方法。71. 从 l、2、3、4、5 中任意选两个数组成一个真分数，能组成多少不同 的真分数?A 排列与组合X 排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重复排列的方法数叫排列数，记为 P r？ ，P r n（n1）（n1）（nr1）。72. 某铁路线共有 14 个车站，该铁路共需要多少种不同的车73. 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号，一共可以组成多少种不同信号？74. 一个篮球队，五名队员 A、B、C、D、E，在于某种原因，C 不能做中 锋而其余四人面可以分配到五

28、个位置的任意位置上，共有多少种不 同的站位方法？75. 七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法：（1）七个人排成一排；（2）7 个人排成一排，某人必须站在中间；（3）个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；（4）七个人排成一排，某两人必须站在两头；（5）七个人排成一排，某两人不能站在两头；（6）七个人排成两排，前排三人，后排四人；（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。X 组合：一般的，从 n 个不同元素中任取 r 个不同元素，不考虑取出元 素的顺序并成一组，这类任务叫做从 n 个不同元素中取出 r 个不同元 素的无重复组合。组合与排列的区别在于取出元素是否考虑它们的位置或顺序。符号 C r 表示从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重复组合数。利用排列数 P r 可以给出 C r 的计算方法。我们把任务“从n 个不同元素中选出 r 个不同的元