大数定律在保险中的应用Word文档格式.docx

1、陈正旭、黄波（2008）在研究我国保险业快速发展潜在的运营风险中，将保险业运营风险分为“承保、投资和偿付”三个环节的风险，其主要论述了各个环节中导致风险的各个因素。这个分析框架能够较好的概括了保险业潜在的运营风险。李恒琦在2003编著的保险统计一书中就保险中的纯保费制定问题展开探讨。提出了观点：当被保险人很多，且达到一定数目时，保险人对每个被保险人的将来可能支出是不确定的，但保险人的支出总额是相对确定的，保险人可以把总的赔偿金额摊到每个被保险人的头上，形成单个被保险人应交纳的保费，于是有了简单的收支平衡：收取的纯保费总额=赔款支出总额。王建忠（2004）在相关文献中提出偿付能力是指保险公司对保

2、险合同规定范围内，意外事故造成的经济损失进行赔偿和给付的能力。笔者通过分析保险费结构，研究保险公司的偿付能力。杨立新、虢峰等人就责任准备金的必要性提出了见解：考虑到了保险企业成本的不确定性，保险公司需要建立各种准备金账户来确保其未来的偿付能力。孟良（2003）在相关文献中分析了关于财产险定价，承保，理赔的问题。并强调保险业务需要大量推销或营销，目的是达到风险单位的高度集中，这不仅符合大数定理的要求，并且能有效提高保险公司偿付能力。本文研究思路与结构 本文主要从保险经营的三个环节“承保业务，投资业务，偿付业务”的角度，论述大数法则在保险业中的重要应用。阐述了保险业依据大数法则所建立的一个保险经营

3、基本原理，即风险集合越大，相对风险越小；还介绍了保险公司如何利用大数法则制定合理的纯保费，以及比较准确地估计损失概率；另外强调了在保险资金投资时应考虑公司的偿付风险，运用大数法则来确定投资限额，确保其不影响公司未来的偿付能力；最后还论及了保险公司可应用大数法则来核算其可能的偿付金额，进而确定公司盈利的可能性及大小。最后得出结论，大数法则是保险精算学的基础，要稳健经营保险业，必须深刻了解大数法则并加以应用。1大数法则与保险业密切相关什么是大数法则呢？大数法则又称大数定律和平均法则，即在随机现象的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这就是大数法则。它是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所

4、呈现的必然数量规律的一系列定理。大数法则揭示了随机现象内在的规律性，是概率论的基础理论之一。它是研究随机变量和的极限行为，分为两部分：一是若干个随机变量和的平均的极限定理大数定律；另一部分是关于独立随机变量之和的极限分布为正态分布的中心极限定理。而保险是以经营风险为基础的。在日常生活中，风险事故是非常多的。然而风险事故的发生是不确定的。客观存在的风险具有不确定性，它在时间、空间和损失程度上都是不确定的，即风险是否发生，何时何地发生，人们事先都无法确定。保险为风险提供保障，它将风险从被保险人向保险人转移。对单个风险而言是一种随机现象，而对于风险总体，我们可以采用大数法则加以确定，将个别风险发生的

5、不确定性转化为确定性。作为风险管理方式之一的保险，它集中具有同类风险的众多单位和个人，以合理计算分担金的形式，实现对少数成员因该风险事故所致经济损失的补偿行为。可见，大数法则与保险业密切相关。保险就是利用风险的不确定性在大数中消失的规则来分散风险的。大数法则在保险经营中的主要作用在于使保险人明白如何减少风险，可将企业和个人的若干风险转移到保险人，而由保险人集中大量的企业和个人的风险，利用损失发生的相对稳定性，以达到消除不确定性的功能。基于已有研究文献将保险业运营风险分为“承保、投资和偿付”三个环节的风险1,本文运用这一分析框架对大数法则在保险业中的应用进行研究，从而揭示大数法则与保险业稳定健康

6、发展的重要关系。2保险业中常用的大数法则保险业是为被保险人提供风险保障的行业，它是以大数法则为数理依据，不仅是在纯保费和损失概率的确定上，而且它贯穿在整个保险经营运作过程中，尤其是保险的理念、保险经营的基本原理的建立均是以大数法则为其理论基础的。所以，大数法则是保险业存在、发展的基础。下面我们先介绍保险业中常用的一些大数法则。2.1切比雪夫大数定律 设是由相互独立的随机变量构成的随机变量序列，每一随机变量都有有限的数学期望和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数C，使得，则对于任意的正数0，有 这就是切比雪夫大数定律，关于随机变量的算术平均值趋于稳定的定理。它说明，尽管每个随机变量由于

7、种种偶然因素取值都很随机变化，但是在某些条件下，只要n足够大，n个随机变量的算术平均就服从一个完全确定的规律，即，这个算术平均只能围绕一个固定常数取值（期望的算数平均值），它和这个常数有显著偏差的可能性是很小的。这一法则应用于保险经营，可说明保险人所收取的纯保费总额与赔偿金总额在数量上应是相等的，这为如何合理收取纯保费提供了科学的依据。2.2贝努里大数定律 在独立试验序列中，设事件A的概率P（A）=p，是事件A在n次贝努力试验中发生的频率则对于任意的0，当试验的次数时，有（贝努里试验：只有两个可能结果的试验称为贝努里试验。如试验结果只有事件A发生与事件A不发生的试验）贝努里大数定律说明只要n足

8、够大，事件A发生的频率就会以相当接近于1的概率逼近概率p。这正是在重复试验的次数较大时，可以用事件发生的频率近似地代替概率的理论依据。由贝努里大数定理分析可知，若事件发生的概率很小，说明事件发生的频率也很小，即事件很少发生，在实际中概率很小的随机事件在个别试验中几乎不可能发生的，因此常常忽略那些概率很小的事件发生的可能性，这就是小概率事件原理。贝努里大数定律对于保险经营即风险管理中如何利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。假设某一类标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，一般会通过以往有关结果的经验求出一个频率这类标的发生损失的频率，在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一频率将与实

9、际损失概率很接近。2.3普阿松大数定律贝努里大数定律要求事件在每一次实验中事件都以一固定的概率发生，这就限制了大数法则的使用灵活性。 设某一事件可能在第一次试验中以概率发生，第二次试验以概率发生，第n次试验以概率发生。用表示n次试验中事件发生的频率，则对于任意的这就是普阿松大数定律，它说明当试验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的频率两者差异的数值将小于任何充分小的正数e的概率为1. 普阿松大数定律在保险经营中应用，可以说明尽管各个相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的标的，仍可以在平均意义上求出相同的损失概率。为了有足够多的标的，可以把性质相近的各分类标的集中在一起

10、，分别求出各类标的的损失概率，然后求出一个整体的费率，再用调整法给以调整，使各分类费率更加科学，同时又在整体上保证收支平衡。2.4独立同分布的中心极限定理2.4.1林德贝格勒维定理设为一系列独立同分布随机变量，且有E（Xk）=，D（Xk）=0（，k=1,2n）,令，则随机变量之和S的标准化变量极限概率分布服从标准正态分布，即 这一定理表明，若S是n个同样分布的独立随机变量的总和，且每个独立随机变量的均值为，标准差为，那么，随着n趋于无穷大，标准化的变量T= 近似于标准正态分布，而无论n个独立随机变量中的每一个变量的分布是否服从正态分布。如果一个随机变量由众多的随机因素引起，每一因素在总的变化里

11、起着不显著的作用，就可以推断这些随机因素的随机变量的和近似服从正态分布。2.4.2拉普拉斯定理设随机变量服从二项分布B（n,p），（n=1,2,；0p1）,则对于任意实数x有这个定理说明，当时，二项分布B（n,p）以正态分布N（np,npq）为其极限分布。当n较大时，有中心极限定理解释了（至少是部分解释了）为什么正态分布在统计理论中居核心的地位。对于一般保险业务的大多数险种来说，赔款额的分布都具有明显的偏性，分布的尾巴往往向右延伸较长。若保险公司的某一险种业务要经历很多次的赔款，我们就可以预期，作为众多个别项赔款支出总和的该业务总支出额是近似服从正态分布的。3保险业务环节中大数法则的应用3.1

12、承保业务环节中大数法则的应用在保险经济活动中，保险人作为组织者和经营者，通过与投保人订立保险合同的方式，集合众多遭受同样风险威胁的被保险人，按损失分摊原则向每个投保人收取保险费，建立保险基金，用于对某些被保险人因约定保险事故造成的损失给与经济补偿，从而实现保险独特的社会职能。而这个过程的起始阶段，就是保险业所谓的承保业务，即与被保险人订立保险合同，建立权利与义务的经济关系和契约关系。我们知道，保险业是以商业经营为目的的，专门从事保险业务的行业。而保险公司以承保业务来保证企业盈利，几乎成为全球保险业的共识。那么，在承保业务中，保险公司应该注意些什么事宜，使得其公司可以稳定健康的发展呢。本文从大数

13、法则角度来谈论保险业的稳健经营。3.1.1保险业的大数法则类比厂商的规模经济性保险公司在经营保险业务时包含一个基本原理：随着承保业务量的增加，风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越小。表明，个体风险通常有较大的变异性，但是将大量的个体风险集中在一起，风险集合的相对变异性会大大减少，这一特性正是保险赖以存在和发展的基础。与规模经济相比较，大数法则建立在“大数”的基础上，即要求同质风险单位的大量性。这种大量性类似于厂商经济行为中的规模经济性，不同之处在于，规模经济性一般是基于厂商层面而言，是以企业为分析载体，通过对生产经营成本的摊薄而获取的收益。大数法则是基于产品层面而言，通过风险承担主体的增多

14、，将保险产品承担的成本与风险在更多风险单位中的摊薄。当然，大数法则中所体现的保险经营的规模经济性是受可保风险单位数制约的。假设保险人承保了n个危险相同、相互独立的风险单位，相互独立且同分布的随机变量表示每个保险单位的损失量，对单个被保险人而言，面临的损失是实际损失与期望损失EX的偏差，用X的标准差 :表示。平均每个被保险人的损失与损失偏差分别为:， 在上式中，保险人面临的总体损失为，其方差为，而所有单个被保险人面临的危险总和的标准差为，显然，即保险人面临的整体危险小于所有单个被保险人面临的危险总和。所以，如果将n个被保险人看成一个整体，则每个被保险人面临的平均危险随着被保险人数的增加而减少。当

15、然，由于保险公司风险控制技术的局限性及保险双方的信息不对称，会出现一些异常风险单位，经营规模的扩大反而导致了经营风险的增加或成本的提升。为使大数法则充分发挥其作用，在技术上应注意包括尽量多的相似性质的风险单位，各风险单位价值不应过分县殊，应力求接近，各风险单位力求相互独立，减少连锁反应损失的发生。此外，厂商扩大规模超过一定限度会产生由于管理费用等增加而带来的规模不经济，这一物极必反的规律在大数法则中是不存在的。这也是大数法则与规模经济的相异之处。但在某种程度上，大数法则仍可看作规模经济性在保险领域的特殊体现。此外，从进入壁垒角度看，保险公司的规模经济是指保险业对于行业潜在进入者的绝对资本要求2

16、。一个保险公司，要求其有足够的承保业务规模，从而来降低风险集合的相对风险，才能使公司得以健康发展。3.1.2纯保费以及损失概率的确定3.1.2.1纯保费的确定保险经营过程中的收支平衡原则是根据大数法则而制定的，个别风险发生的不确定性将在大数中消失，转为确定性的。这里我们就用到了大数法则的切比雪夫大数定律，即关于大量随机变量取值其算术平均值的稳定性。设有n个被保险人，同时投保n个相互独立的标的，假定每个标的发生都有发生损失的可能，则每个被保险人都有获得赔款的可能，其金额是一个随机变量，分别用来表示。所以n个被保险人实际获得的赔款总额是，平均每个被保险人获得的赔款为。由于每个标的是相互独立的，所以

17、这些随机变量都是相互独立的，的期望值为E（）,E（）,E（）,赔款额期望的算术平均值为 ，这样，代表金额的随机变量满足了切比雪夫大数定律的条件。所以，当n足够大时，平均每个被保险人实际获得赔款金额与每个被保险人获得赔款金额的期望值的的算术平均值相等。当然任何保险公司都不可能承保无限多个标的，但一家保险公司只要承保足够多的标的，平均被保险人实际获得的赔款金额与每个被保险人获得的赔款金额的期望值的算术平均值之间的差异就很小，如果把这种非常小的差异忽略不计，就可以认为二者相等。这说明，每个被保险人都要缴纳相当于其所获得赔款的期望值的纯保费。每一个保险产品的保费都是根据保险金额和一些定价假设计算出来的

18、。我们知道，保险公司所收取的保费=纯保费+附加费。纯保费（排除时间利息等因素）是针对未来所有赔偿总额制定的，即纯保费总额=未来赔偿支出总额。而附加费是以保险人经营保险业务的各种营业费用支出和保险利润为基础的。而我们前面介绍过，大数法则的切比雪夫大数定律为纯保费的制定提供了科学方法基础。假设某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，根据生命表以及公司的以往有关经验，该公司确定一个人在一年内死亡的概率为0.006，先拟定一个人死亡时可获得的保险金额为1000元，那公司应该怎样制定其保费呢？此时，我们可以假定表示保险公司支付给第i户的赔偿金，则，我们知道，的分布律如下图所示：计算可得，=0*0

19、.994+1000*0.006=6，（i=1,210000），诸相互独立，则表示的是保险公司平均对每户的赔偿额。=6，那么，根据切比雪夫大数定律得，保险公司在制定保费时可取的纯保费值即为6元。当然，这个例子简单化了现实中的保险的风险集合，使得全部个别风险之间独立同分布。而实际保险问题中，一般风险集合内的个别风险之间独立但不同分布。所以，保险公司对个别风险的未来赔偿额的各自期望值有差异。这时，保险人分摊损失的方式是不同的。即当被保险人发生损失的多少和概率大致相近时，保险人可以采取平均分摊损失总额；当被保险人发生损失的多少和概率存在相当大的个体差异时，保险人不能简单的均摊，而是根据被保险人实际的风

20、险水平，风险大则多交保费，风险小则少交保费，实行差别费率。这样的做法依然是以大数定律为基础的。3.1.2.2损失概率的确定上面我们已经介绍了切比雪夫大数定律为制定纯保费提供了科学的计算方法。而关于对损失概率的估计，又跟大数法则之间有什么联系呢？损失频率亦称损失机会，是指在一定时间内一定数目的危险单位中可能受到损失的次数或程度，通常以分数或百分率来表示,即：损失频率损失次数危险单位数。根据贝努里大数定理以及普阿松大数定律，我们知道，当保险标的数目n足够大时，损失频率会趋于一个稳定值，即所谓的损失概率。关于损失概率的估计，也是保险业的一个重点内容。贝努力大数定理是关于对随机变量的频率稳定性给出了一

21、种数学表示形式，并论证了结论的正确性。其对于保险经营及风险管理中如何利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。假定某一类的标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，一般通过以往有关结果的经验求出一个频率这类标的发生损失的频率，在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一频率将与实际损失概率很接近，可以作为损失概率的近似估计值。然而贝努里大数定理要求事件在每一次试验中都以一固定概率发生，这就限制了大数法则使用的灵活性。我们知道，我们可以把贝努里大数定理看成是普阿松大数定理的特殊情况，当且仅当事件在每次试验中都以固定概率发生。所以，这时我们可以进一步用普阿松大数定理来确定损失概率。其在保险经营中的

22、应用，可以说明尽管各个相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的标的，仍可以在平均意义上求出相同的损失概率。为了有足够多的标的，可以把性质相近的各分类标的集中在一块，分别求出各类标的的损失概率，然后求出一个整体的费率，再用调整法给以调整，使各分类费率更加科学，对风险不同的各个个体风险更具有公平性，同时又在整体上保证收支平衡。3.2投资业务环节中的大数法则的应用保险公司的投资业务即保险资金的应用，是指保险公司在经营保险业务中，将积累的部分资金用于投资，使资金保值增值的活动。通过资金的应用，既可以防止因货币贬值而影响保险公司的偿付能力，又可以使保险公司增加资产。从保险公司来看，由于

23、保险业务竞争加剧，保险公司的承保利润实际上在不断下降。因此，通过保险资金的有效运用可以提高保险公司的总体收益。投资业务是保险业稳健发展不可或缺的环节。所以保险公司要考虑到保险行业的特殊性质，包括保险企业成本的不确定性以及需要建立的保险准备金账户等，努力做好投资环节的每一步工作。3.2.1与厂商成本相比，保险企业成本具有不确定性众所周知，保险公司同一般的经营企业不同，关于企业成本的计算，一般企业成本发生在销售以前，容易取得，再通过销售额的计算就可以得到利润。再与旅游、文化之类的服务形态的商品做比较，旅游等形成的商品生产过程和消费过程几乎是同步进行的,生产过程的完成往往就是消费过程的结束；而保险商

24、品则不是这样：消费者购买的是一个对未来不确定事件的承诺（提供赔偿或保障），这种承诺是一种信用,被保险人交纳保费在前，而未来风险及其赔偿具有不确定性。所以保险公司是在销售产品以后，在保险事故发生时才产生成本的，即成本是在赔付时产生的。因此，保险公司的成本发生就具有不确定性，既不知道赔付何时发生，也不知道赔付为多大。那么就产生了保险公司同一般企业的第二个不同，即有这各种准备金账户，以满足各种成本发生时的支付3。3.2.2建立准备金账户，确定投资资金限额我们知道，保险业是个负债经营的行业，其承保所收的资金最终都是要用来支付赔款，或是用于未来支付，这是保险行业的特殊性质。如果只是一味地强调资金运用，那

25、就应该去从事信托投资，而不是经营保险业4。所以保险资金运用的基本原则之一是要明确其未来偿付义务，不管在投资业务中收益如何，要首先保证承保业务不受到影响，即保证保险的偿付能力不受影响。然而，一些中资保险公司会出现偿付能力不足的现象，这就与过分强调保险资金运用有关，导致公司经营的不稳健。那么，保险公司要怎样来确定公司的投资资金限额呢？根据上面考虑到了保险企业成本的不确定性，我们需要建立各种准备金账户来确保其未来的偿付能力。那么准备金是怎样产生的呢？怎样才能既不影响赔付的支出，也不影响到公司的投资呢？这其中又是什么原理使其稳定经营的呢？一样的，我们还是用大数法则来确定准备金的多少，进而可以放心经营公

26、司的投资业务。保险准备金是指保险公司为承担未到期责任和处理未决赔款而从保险费收入中所提取的资金。提取保险准备金的目的实际上也是为了确保保险公司具有最低的偿付能力。所以，确定准备金，就转为确定未来可能发生的偿付风险上。一般的，保险公司都会先确定一个未来自信偿付的概率，进而确定保险准备金的最低额度，从而来保证未来的偿付能力不受影响。这里我们通常会用到的是中心极限定理，确定了总体风险的正态分布，就可以求出满足一定自信偿付概率需要的最低保险准备金额，从而可进行保险资金的投资应用。假设某保险公司承保了同质风险保单1000份，每份保单的保险金额为10000元，其发生索赔的概率为0.01。安全附加系数为0.

27、1。如果保险公司希望以95%的概率确保它能履行赔付责任，此时公司就该考虑到保险准备金多少的问题。这里又要用中心极限定理来核算准备金。设H为保险公司提取的保险准备金，而表示的是各个投保人的投保风险的索赔变量，用来表示保险人承保的总风险，即保险人的总损失为n个个体损失之和。由已知得，=100，=990000，从而=100000，=990000000，令5=0.95，根据中心极限定理，即林德贝格勒维定理，我们知道n个独立同分布的随机变量之和将近似服从正态分布即=，查标准正态分布函数值表，则有=1.645,将=990000000代入，解出H=41758.72。因此保险公司保留41758.72元责任准备

28、金就可以有95%的把握保证其未来的偿付能力。3.3偿付业务环节中大数法则的应用我们知道，保险即保障风险，被保险人通过投保方式把未来发生损失事故的风险转移到保险人身上。所以，当未来某一时期，风险事故发生时，被保险人就有权利要求保险人为损失做出偿付行为。所以，为了加强公司偿付能力的监管，维护被保险人利益，促进保险公司的健康、稳定、可持续的发展。公司就要研究其偿付风险，研究怎样可以提高公司的偿付能力，核算其未来可能的偿付金额，进而确定公司盈利的可能性以及盈利的多少，从而观察是否实现了公司的发展目标。3.3.1扩展承保业务量可提高偿付能力保险以足够数量的经济单位和个人所交纳的保险费，来分摊少数不幸单位和个人的经济损失，因此大数法则是现代保险经营的数理基础。利用这一原理可将个别危险单位遭遇损失的不确定性，变成多数危险单位可以预知的损失，使保险费的估算准确公正，因此扩大承保业务量有利于提高保险人的偿付能力。假设某保险公司开展某项保险业务，其保险金额为10000