陈建功 二十世纪的数学教育Word文件下载.docx

1、心理的原则然则上述两原则足够决定数学教育的本质么？当然还不够条件。教材的内容，对于学生宜富于兴趣；枯燥无味的东西，决不能充作教材；于是乎有心理的原则。成人所喜之推理或实用问题，未必为未成年的青年所满足。法国数学家H普安格勒（Poincare）曾经说道：“有某教师在课室中，令学生们笔记圆周者，平面上于一定点等距离之点之轨迹也，忠实的学生，记下来了；顽皮的学生，不但无兴趣去记，甚至写些别的不相干的东西。事实上，不论那一种学生，都尚未了解圆周为何物。后来，教师用粉笔作圆于黑板上，全班学生方才明白圆周原来是一个圆圈。”科学家A哀思坦（Einstein）也说道：“学生仅管对于数学以外的事物，具有才能，对

2、于数学可以朦昧无知。此种实情，其责任恐不能完全归之于学生，甚至可以完全可以归罪于教师。”吾人应该站在学生的立场；顺应学生的心理发展去教育学生，才能满足他们的真实感。某些教材,虽然具有高度的实用性价值或高度的论理性价值,假使学生不发生任何真实感,就心理的原则而言,这些教材,简值是没有教育的价值。三原则之统一上述三原则应该综合统一而不应该对立。然则统一之关键何在?是必须先就学生生活的环境中,使其易于接触易于理解且有实用价值的事物出发,以向论理的途径进行。所以心理性和实用性应该是论理性的向导,选择教材不应该先将实用性和论理性分别采取,然后合拢;这样勉强凑成的教材，是支离破裂的。把数学的观念和方法运用

3、于实际应用问题时，理论上的疑问,自然油然而生;岂可以预先制成生硬的数学理论,强求适合于实用!数学和其他的学科,并没有什么大不相同的地方,因为他常常伴着生产力、技术发展开来的。对于古代数学的发生,恩格斯（Engels）曾经说过:“季节的知识老早对于农业种族或游牧民族，已经绝对需要。天文学没有数学的帮助，是无从发展起来的。所以在这古代，已经有了数学。农业发达到某阶段，因灌溉法之改进、都市之发达、航海的需要，力学跟着发生，力学没有数学的帮助，无由长足进展。”此不独在数学的诞生期为然，无论在什么时代，数学常常伴着自然科学技术、社会科学发展而发展。数学教育家能（Nunn）说的：“数学的真理具有两面。其一

4、面的数学真理，向时（间）空（间）的实在世界进展而与之接触。还有一面的数学真理，在数学的内部，相互对应，保持联系。数学史就是把这两面真理的不断的发展，叙述其经过情形。这两面的发展，并非互相独立，此未曾离彼，彼变未曾离此。今后的数学恐也是这样，两面不曾分道扬镳，各自存在。所以数学教育，应该使学生认清数学的发展，具有上述两重意义。数学是物质的征服和社会的组织之一武器，同时是一有秩序的论理体系。”统一了上述三原则，以调和的精神，选择教材，决定教法，实践的过程，称之为数学教育。二十世纪以前的数学教育数学教育并不是一种幻想，乃是实践。数学教育是在经济的、社会的、政治的制约下的一种文化形式，自然具有历史性。

5、就欧洲而言，其在奴隶社会制的古代希腊，支配阶级鄙视实践的计算术，和直觉的实践几何；重视他们所谓“和行动没有关系的真科学”就是数论和“抽象的”几何学，岂不是太偏重于论理性！在中世纪封建社会，教育为个人所支配，数学教育成为宗教的奴隶。事实上，此时数学教育，偏重于低级的实用性与生产和科学脱离的宗教上的实用性。文艺复兴而后，工商业加速度的进展；生产力之发展，促成自然科学的发达，因此发生机械论的唯物论。所以十七、十八世纪的数学教育，自然强调实用性。经过法兰西大革命，巴黎成为欧洲文化的中心，因时代的要求，“一般陶冶”的话头，逐渐流行；中等教育不能专为牧师（神学）和律师（法学）的预备教育，重视所谓“一般陶冶

6、”。其特色是将数学和近世语添入教科之中。数学占了普遍教育的一科，是从十八世纪开始的，所以严格的说：数学教育萌芽于十八世纪。但是，数学教授的内容，大部分是“理论数学”；应用方面的数学，意识的为所排斥。究其实际，他的内容也是限于希腊时代至十七世纪间的数学；这个状态一直延长到十九世纪之末。十九世纪的数学，虽然非常进展，然而它并没有促成数学教育的改进，因此，十九世纪的数学教育，和近代的科学（十九世纪的科学），社会的生活，几乎没有关系。相反地，因入学考试的准则和其他种种考试的准则，数学难题的教授，和脱离实际的理论，成了数学教材的核心。事实上，当时所采用的几何学课本，就是尤克立特几何原本最初数章；代数学和

7、三角法，是将专门的材料，压缩而成的，太古太多，脱离实际需要。当时的物理化学等自然科学等教材，已能推陈出新；然而保守的数学，不改旧态。到了十九世纪之末，近代科学的急速发达和各国产业的进展，经济的、社会的、思想的，给人们的生活状态以重大的变动。无产阶级的解放运动，从而开始了中等教育的内容，不能不有所更变。数学教育改造的先声保守的英国，她的几何学教本，一直沿用尤克立特的几何原本。教师们视“原本”如“圣书”，不硕苟且改变其一字一句；不但学生觉得干燥无味，教师也觉得痛苦非常；改良之声渐起，到了1870，组织了“几何学教授改良协会”（2），制定几何学要目。其结果，不过是一种微温的刷新；这也无怪其然，因为他

8、们（协会会员）主张要不失原本精神和体裁，制定原本最初六卷的要目。他们最大的难题是“如何改造原本第五卷的比例论”比例论是原本中最壮丽的部分。尼克宋的“改良尤克立特”（3）一书，在中国颇有流传，就是依“协会”的精神写成的几何学。此协会到了1897年，改名为“英国数学协会”，以The Mathematical Gazette做他的机关杂志，登载关于教学教育的种种事情。数学教育彼利运动数学教育改革的首创者，应该说是英国的J.彼利（J.Perry18501920）。彼利幼时做过学徒（186468），锻冶工场的工人（186870），苦学的当中，曾经旁听汤姆生的讲义（4）。彼利体验了劳动者的生活，努力于劳动

9、者智识之增进；后来做了伦敦国际理学院力学及数学的教授，于1901年在英国科学协会，作启蒙的改造讲演。彼利主张的精神，是在数学的实践性，不光是说些教授的技巧。他对于数学的见解，并不是将抽象的数学理论，如何应用于自然现象或社会现象的说明；相反地，从自然现象或社会现象，由实践发见数学的法则，这是彼利所说的数学。上述彼利1901的讲演，在数学教育史中，是划时代的。其讲演纲要及其检讨，可以看彼利所著的书：Discussion on the Teaching of Mathematics（Macmillan&co.1902）.彼利的意见，仍对于向来的难题“如何教授几何学？”集中，其要点如下：（一）完全脱离

10、尤克立特原本的形态，（二）极度重视实验几何，（三）强调几何的实用部分，（四）注重立体几何，（五）重视实用的种种测定，（六）多用格子纸。这次讲演的结果，自古认为经典的“原本”就因此废除。这时新型的教科书有Godfrey and Siddons,Shorter Gaomestry（1912）,Godfrey andS iddons,Elementary Algebra（1912）。彼利在总结小组讨论会的报告，指出了下列几点全体一致的意见：（一）几何学的实验和实测应该是证明的前提，然而也可以稍稍利用演绎法完成其说明。（二）可采用的实验法，应由教师自己决定，随机应变，（三）小学在算术初步，就应该使用，

11、（四）式子的数字计算，应该熟练；因此可使学生明了种种记号的意义。（五）指数法则一经教懂，应该马上授以对数和对数表的用法，（六）教材的顺序和教法应由教师灵活运用，不可呆板。法国的学制改革彼利的改革运动，影响及于国际数学教育。但是，法国在彼利运动以前，代数与几何，已经有融合教授的倾向，所以受彼利运动的刺激，不太利害。不但如是，法国十九世纪出版的几何书，如AMLegendre的Elements de Geometric（其第十二版在1923发行），其内容已经和“原本”大不相同，又如鲁雪（5）和康勃露色（6）合著的初等几何学（7），一直到现在，还不失为一部很好的书。但是，法国数学教育，并非毫无问题；对

12、于考试制度的预备教育，大有使中等教育专门化的倾向。彼利讲演的第二年1902法国政府将中等教育制度全部革新。数学教育因此大加改良，将日常生活有关系的部分增多，又将高深的部分平易化，重视直视的几何和函数的概念。巴黎大学的数学教授E.波赖尔（8），依照这个趣旨，编了一套出色的教科书；算术、代数、几何、三角，都在1903年出版。波赖尔报告法国中学生用了波赖尔的教科书，兴味大增，成绩极优。这一套教科书有德文和日文的译本。德国的新主义数学运动法国1902的学制改革和英国1901彼利时期的讲演，自然冲动了德国学界。德国的硕学几何学大家克来茵（9）不以大学教员不与闻中等教育为然，曾于1904年在自然科学会议席

13、上，作一次讲演表题“对于中学数学和中学物理的注意”。克来茵又作成文科中学的教授要目，于1904至1905在苟丁根大学作长期的讲演，说明他的课程方案。这是德国新主义数学的原动力。德国中学教师，1905年在梅兰（Meran）举行数学物理教授协会，作成教材要目大纲梅兰要目。这个梅兰要目，就是以克来茵的方案做骨子的，较诸说克来茵原案，虽然稍为温和，然而比较过去的情形，已经出色，现在将其要点，写在下面：（一）顺应学生心意自然的发达，排列教材，选取教材；（二）融合数学诸分科，并且要使和其他科学有密切连系；（三）不过于重视数学的“形式陶冶”，“应该置重心于应用方面”，养成“用数学的方法去观察自然现象和社会现

14、象”的能力；（四）要达到这个目的，必须以“函数观念”和“直观几何”做数学教授的骨子。依拟这个要目，就有人完成新主义数学的教科书：Behrendsen und Gotting, Lebuch der Mathematik nach Moderren Grundsatzen （Teubner,1908）.这部书（10）将平面几何学、代数学、三角法、立体几何学、微分和积分、解析几何学、近世几何学，融为一体，呵成一气，以供九年制中学之用。德国儿童，满九岁入中学，中学的种类有四，五；他的数学时数，大约每周自4时到6时。普鲁士政府指定五个中学实施梅兰要目，结果非常良好。美国慕尔（11）的改造论欧洲的数学教

15、育改造运动，对于美国，没有受到强烈的刺激，其原因之一是：美国学校，老早不用尤克立特的原本，法国的几何教科书，着实通行。还有一个原因是：美国的考试制度，比较英国要宽松些，压迫不太历害，对于“考试”制度的斗争也不会激烈。但是，支加哥大学教授慕尔，对于彼利的主张，不但拥护，并且指出美国的数学教育，大有缺点。1902年慕尔在美国数学年会，发表他的会长讲演，题目是数学之基础，他的后半段是关于数学教育的；他说：（一）代数、几何、物理，可否不使他们一一孤立，编成“有机的统一”呢？统一而后，才能使数学物理和日常生活有密切的关系；（二）三角法、解析几何、微分积分三分科，就其起源说，又就其发展的经路说，都是和具体

16、的现象有密切关系；所以应该把这三科的基本事项组织起来，使他们有密切关系，不应该让他们各自分立门户的；（三）关于数学物理的教学，都应该采用实验室的方法。慕尔教授的讲演，对于美国数学教育，有极大的影响；依照（一）的精神著成的书Breslich,FirstyearMathematicsBreslich,SecondyearMathematics（1906）Breslich,ThirdyearMathematics,商务印书馆老早有了译本，又Rugg and Clark,Fundamentals of highSchool Mathematics一书，系1924出版的，也是依照慕尔融合主义写成的。依（

17、二）写成的书，也相当多，例如Young and Morgan,Elementary Mathematical Analysis（Macmillan,1917）。总结改造运动然则彼利，克来茵，慕尔的数学教育改造运动的基本精神究在何处呢？基本精神是在教材教法的近代化、心理化；实行数学各科的有机统一；理论和实践的统一。结局在求数学教育基本三原则的彻底统一。详见下列诸著作：JPerry,Teaching of Mathematics;Klein,Vortrage ber den mathematics chen Unterricht an den hoheren Schulen;E. H,Moere,

18、On the foundation of Mathematics,National Council ofTeachers of Mathematics,the 4th year book. 彼利的改造论，并非狭义的卑俗的实用主义；此事已述于上文。慕尔也说：“数学教育的根本问题是如何融合理论（基本）数学和应用数学，但是不幸得很，在初等数学范围内，还保留着理论和应用的划界分疆”。改造论者主张自然科学和工程科学中所必需的“高等数学”，应该把他平易化，这似乎有点轻视数学的“形式主义”；然而这是似是而非的见解，因为数学的内容和形式，决不可以分解为二的。为什么呢？假如形式可以脱离内容而存在，这就是意味着数

19、学是为形式而形式了。克来茵说得好；“现在吾人所宜努力的事，并不是追求两极端形式主义和实利主义取其一端而舍其他端，乃是融合两者成为一体”。我们仅仅乎教授这些现实的生活上所要求的数学知识，这不能算尽了数学工作者的职，我们必须生动的指导学生，使学生们能够利用数学知识于现实问题。要使理论和实践，保持生动的关系，必须从现实自身，由实践学习得数学知识。彼利说：“教儿童推理一件事体以前，必先使他实行这件事体，儿童从测量、计算、实验，所得的结果，才能养成他的推动力。并且因此儿童沾沾自喜他的生动的创造”。这是彼利实用数学的本质。彼利著有“初等实用数学”一书：ElementaryPracticalMathemat

20、ics（1913）,新宫恒次郎于1929年译成日文，小仑金之助做了一篇序文，序文的未尾说道：“美国的数学教科书，号称心理的、社会的、实用的、教授法的、最进步的，但是资本主义的和事务式的美国主义的反映，到处找得出。诸君若要一本具有无产阶级实践性的强有力的数学书，我就推荐这本书。这本书可能在某些意义上是未成品，但是它期待着有光辉的未来”。彼利强调“从前的数学教材的排列，学者或许认为是论理的；但是对于儿童，这些东西，完全是非论理的；儿童所能接受的论理，必须通过实验、实测、图解。分科主义和融合主义从“线”方程，“平方”方程，“立方”方程，和a的平方，a的立方这些用语来看，古时代数和几何未曾分离。事实上

21、，尤克立特原本十三卷中，有三卷是算术；牛顿全集中的数学和物理融会贯通。后来许多学者，觉着数学诸分科，各有各的特殊方法，把各科纯论理的展开，颇有兴趣，方司岛说（12）把近世几何学从解析向何学分解出来，是其一例。数学不光是在学术上分了科，在数学教授上算术、代数学、几何学、三角法、解析几何学，各自陷于孤立的局面。然而在科学的研究当中，用数学做武器的时候，往往需要各科全般的知识，假如预先有了有机的统一，那就方便多了。综合的数学，不但可以避免重复，学习既省时间；并且可以使学生明白生动的数学体系。代数学中不用几何，几何学中不用代数、三角，如是独立门户，究有何益！然则统一各分科而成综合的数学，应该用什么东西

22、做原则呢？改造论者，大都用函数的概念做统一的原则。克来茵说：“在几何学形式的函数概念（31），是数学教育的魂魄。”又说：“以函数概念做中心，将它周围的一切数学教材，有计划的集中，就得着综合的数学。”现在把克莱茵自己作成的中学课程表的一部分，写在下面，下列三项，是德国儿童十三岁到十四岁（一年间）所应该学习的教材：（一）直角坐标和简单函数的曲线表示用格子纸；须注意此种曲线的全程，上坡下坡，围绕的面积等事；（二）用函数概念做骨子，教授下列诸事项。幂及根，一次及二次方程，圆锥曲线的初步，关于圆的计算，三角形的边角关系；（三）多学实际之例，熟练空间的知识和数学计算。下列三项，是中学最后一年的教材：（一）

23、解析的及综合的处理圆锥曲线，并且把他应用到天文学初步；（二）中学数学全部教材的复习，用曲线或计算解决更难的实际问题；（三）精细回顾数学全系统，并时时加以历史的说明。国际数学教科调查会数学教育，经彼利、克来茵、慕尔的指导和进步的数学教师的努力，改造运动已成为国际问题。第四次举国际数学大会（14）于1908年在罗马举行的时候，决定设置国际数学教科调查会，克来茵等三人做常务理事，利用法国的LEnseignementmathematique做机关杂志。1912年，国际数学会在英国剑桥大学举行第五次大会，有二十七国的代表，提出各地数学教育状况报告书一百五十种，大部分已印刷发行，成为数学教育史上莫大的文献

24、。第五次会的会长是克来茵，克来茵的德国报告书Abhandlungen ber den mathematischen Untersicht in Dentschland,在150报告书中，最为详细。调查会的工作因战争而中止。150份的报告书，不易卒读，叙述他的大纲的，有在150报告书中，最为详细。150份的报告书，不易卒读，叙述他的大纲的，有Brown,Curricula in mathematics.A comparison of courses in thecountries,etc. Archilald,Training of teachers of mathematics for the

25、 secondaryschools of conntries,etc.各国数学教育的进展，因国情不同，色彩也不一致；然而改造的基调，可以说是各国完全相同。自然，改造的实际方案，不能如指导者彼利、克来茵、慕尔所示，一一顺利进行。这是因为数学教育，以过去的“遗产”做基本；要脱离传统，成新鲜的组织，困难重重。比方说要把代数和几何融合，也不是容易的事。第一次大战后的数学教育数学教育，和其他学科的教育一样，是受社会状势的限制的。因大战而起的经济的、社会的、政治的的激动，直接或间接，对于数学教育，有莫大的影响。关于第一次大战后，各国数学教育的一般状况的参考资料，有国际数学教科调查会的报告，报告书有英文法文

26、两种：英文的是Significant changes and trends in the teaching of mathematics throughthe world since 1910（数学教员会1929的年会），法文的载在1929-1933的杂志：Enseignement Mathematique.大战中以及战后的数学教育，是混乱得很的。有些国家的教育，停滞不进；有些国家反而后退，“古气”蒸腾；有些国家，因经济的顺调进展，数学教育也得着顺利进行。先说后退的意大利意国在战前，也伴着国际改造运动，有进步的倾向。其后，国家因社会的，经济的不安，酿成法西斯政治。到了1923年，中等教育的目的

27、和学制，有重大的变更。规定中等教育“以养成态度为目的”，作为中学教科的全部，法西斯脱所谓在文学的、哲学的、历史的立场“国粹的”立场（15）宣告统一了。这样一来，中等教育不必讲究实用，也不必准备做高等的研究了。教育的方针既然如是；自然科学和数学的学习和教授时数必然的削减了，详见下表。初级中学（Ginnasio）年龄学年数学时数理科时数11-一112-二213-三14-四15-五高级中学（Liceo）数学物理时数（合计）化学+专物时数（合计）16-4317-18-5初级中学入学考试数学科目：一算术，几何；高级中学入学考试数学科目：一代数，几何。高级中学的毕业考试；数学科目是代数学、几何和三角法。此

28、外还有高级理科中学，其毕业考试，添加直角坐标和函数与图表，大战前的教材，也有直观的、实验的、实用的部分；1923的学制将这些东西，完全废弃，而变成形式的、抽象的、纯论理的东西了。意大利的教育部，并不公布中学校的课程要目，全部（中学毕业考试等）都是国家考试；“因国家考试的要目，有严格的规定，从页中学课程跟着考试要目也有一定的内容了。用极少的时间数，来定数学课程，只有两条路可以走：第一法：把数学程度降低。第二法：仅言纲领，把他变成骨瘦如柴的东西。意大利事实上实行了第二法。但是，以极少的时间简洁的通过数学的全程，不可能和彼利、克来茵的改造论相容。为什么？用实验实测来发现新的事实，不但需要时间、并且与”古典的精神“（16）不能一致。此时几何学家旁