北大版金融数学引论第二章答案Word格式.docx

1、北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页证明：p + a?p（1+i）?1+1i v107已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。P V = 100a?8p3% + 100a20?p3% = 2189.7168某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日100025?p8%=X15?9已知贴现率为10%，计算8p 。X = 8101.65 d =

2、 10%，则 i =110.求证：（1） np + 1 ? vn；d ? 1 =198p = （1 + i） v8= 5.6953（2） np = s? ?np 1 + （1 + i）n并给出两等式的实际解释。 （1）np =1?dv=1?v=1?vi+ 1?所以（2）np =（1+i）?1=（1+i）?n ?d=i + （1 + i）12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。P V = 100a49?p1.5% ? 100a?2p1.5% = 3256.88

3、AV = 100s49? 100s?2p1.5% = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为Y ，在第1120年中没有。已知：v10=1，计算Y 。 因两种年金价值相等，则有2a30?pi+a10?piv10=Y a30?piY a10?piv10所以 Y =3?v?2v1+v?2v= 1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。 由题意知，2a2?npi+ 3a?npi =

4、362a?npivn= 67p3p + sX?i = 8.33%15.已知a11?aY?p + sZ?求X，Y和Z。 由题意得 v7 v11（1 + i）X? v3（1 + i）Z ? vY16.化简a15?p （1 + v15+ v30）。X = 4, Y = 7, Z = 4a15?p （1 + v15+ v30） = a45?第 3 页17.计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的4月1日，然 后 每 半 年 一次2000元，半年结算名利率9%。 年金在4月1日的价值为P =1+4.5%4.5%2000 = 46444.44 ，则P V =P（1 + i

5、）2+= 41300.65718.某递延永久年金的买价为P ，实利率i，写出递延时间的表达式。 设递延时间为t，有t = ? ln（1+lniPi）P =vt19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有 20?pi=v29X = 1000（1 + i）30? （1 + i）10）20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算（1 + i）n。 设遗产为，则永久年金每年的年金为i，

6、那么A,B,C得到的遗产的现值为 i3a?，而D得到遗产的现值为vn。由题意得3（1 + i）n= 4= vn21.永 久 期 末 年 金 有A、B、C、和D四 人 分 摊，A接 受 第 一 个n年，B接 受 第 二个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。 由题意知那么P VCP VAP VBnp v2nnpnp vn13n= 0.49= 0.61P VDiv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。100a?np4.5%v4解得 n = 17

7、列价值方程100a16?p4.5%+Xv21 = 1000X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。 两年金现值相等，则 4 a36?pi= 5 18，可知 v18= 0.25由题意， （1 + i）n= 2 解得 n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。 由题意可得方程100a60?p1% = 6000（1 + i）?k25.已知a?2pi= 1.75，求i。k = 29 v2= 1

8、.75ii = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。 由题意可得价值方程10000 = 105Ka?2p4%v3+Ka?2p4% + 10000v10则 K = 10000?10000v105a?v+a?v= 979.9428.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为

9、i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。 选取第一次还款日为比较日，有价值方程P （1 + i）= X + 2Xa?4pi+ 2Xa?5pj （1 + i）?4P （1 + i）1 + 2a?4pi+ 2a?29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）P V = 4 400 + 4 600v5= 11466.1431.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。32.给出下面年金的现值：在第7、

10、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。4pia24?piv3=（1 +i）24?（1 + i）27（1 + i）4 ? 1a28?pa?4p3p + s?1p第 6 页33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。 设年实利率为i，则 （1 + 2%）2= 1 + i。有题意得750+s20?pii=Ra30?piR = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。i = 20%is?3pi1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R

11、元的永久期初年金，计算R。R = 1.9520 =dR2pi i36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。（2） 设贴现率为d，则1 +i（1 ? d）设递延时间为t，由题意得10000 = 2 500vt（2）?t =ln 20 + ln（1 ? （1 ? d）ln（1 ?37. 计算：（2）np = 2a（2）2?np = 45s?（2）1p ，计算 i 。i i3 npi= 2npi = 45 1pi解得：vn=1, i =i（2）i230第 7 页38.已 知i（4）= 16%。计 算 以 下 期 初 年 金 的 现 值：现 在 开 始 每4

12、个 月 付 款1元，共12年。（问题）39.已知：t =1+1t。求?np 的表达式。?np =ne? Rdsdt= ln（1 + n）40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 第一种年金的现值为1vtdt = e?第二种年金的现值为e?t，则所以 t = 1 +1lni= e?t41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现（结果和李凌飞的不同） 设季度实利率为i。因 a（t） = et，则 e = （1 + i） 所以 v80P V = 10080?pi = 100（1 + i）

13、= 4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 设年实利率为i，则 i = e ?设基金可维持t年，由两现值相等得40000 = 2400a?tpit = 28第 8 页43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。 由题意： 1113（1+i）=（1+i）? i =112P V = v + 3v2+ + （2n ? 1）vn+ = v1 + P V + 2（v + v2+ ）= v（1 + P V + 2v解得:P V

14、= 66v）44.给出现值表达式Aa?np + B （Da）n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。 年金序列：A + nB, A + （n ? 1）B, . . . , A + 2B, A + B所求为25a25?p+ 3（Da）25|45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16。若记：A = a10?p8% ，试用A表示这个年金的现值。 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：2 （10 ? A）300a10?p8% + 500（Da）10|8%

15、= 300A += 6250 ? 325A46. 年利率8的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5。计算第十年底的余额。AV =1000s?5p8% （1 + 8%）6+ （1000 1.05 1.085+1000 1.052 1.084+ + 1000 1.055 1.08）=1000（1 + 8%）5 ?8%1.086+ 1000 1.0851（1.051.08）511.051.08=16606.7247. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:v4100i ? vd第 9 页 把年金分解成：从

16、第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而P V =v4= 100v4= 1002pii 1 ? v248. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：160010?p （I（4）（4）1| 元证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m2= 1600从而每年初当年的年金现值：1600（I（4）（4）元再贴现到开始时：1| 10?49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，计算现值。 半年的实利率：j = （1 + 8%）? 1

17、 = 3.923%P V = 1 +1.031 + j1.032（1 + j）2+ = （1 ?）?= 112.5950. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：60004p （12）9/12| 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000 从而每年初当年的年金现值：（12）贴现到当前：9/12|第 10 页51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金（n

18、= 0, 1, 2, ）:每个年金的值为Ra?在分散在每个k年的区段里：Ra|ak|再按标准永久年金求现值：R（a|）252.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, 的现值。计算贴现率。X=1i 1+i20X = （1i = 0.05i+i）（1+i）即：d =i1+i= 0.0476253. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4= 0.75，计算现值。与原答案有出入 （期初年金）P V = 1 + 6v4+ 11v9+ =（期末年金）（5n ? 4）v（4n?4）=i=15 v4）2 v4= 64P V =

19、v + 6v5+ 11v10 + = v P V = 59.558754. 永久连续年金的年金函数为:（1 + k）t，年利率i，如果：0 k i ，计算该年金现值。与原答案有出入 由于0 qi不存在, p q（2）令f（i） =pi ?qi ?iqf（i） = ?+ 2i3= 0i =2qq p 58. 某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？（缺少利率?下面的计算年利率i = 5%）（与原答案有出入） 用9年一周期的产品，则有支付的现值为：P V1= 2 1 + （1.041.05）9+ （）18+ （）27用15年一周期的产品，则有支付的现值为：P V2= （2 + X） 由P V1= P V2有：X = 0.6992）15+ （）3059. 计算