高中数学竞赛专题讲座解析几何.doc

1、高中数学竞赛专题讲座解析几何一、选择题部分1(集训试题)过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=|PH|(1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（ ）ABCD解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又HQ=PH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=. 故选C.2（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y12上,则抛物线方程为(D)ABCD3（2006年江苏）已知抛物线，是坐标原点，是焦点，是抛物线上

2、的点，使得是直角三角形，则这样的点共有（B）A0个B2个C4个D6个4（200 6天津）已知一条直线与双曲线（）的两支分别相交于、两点，为原点，当时，双曲线的中心到直线的距离等于（A）ABCD5(2005全国)方程表示的曲线是（ ）A焦点在轴上的椭圆B焦点在轴上的双曲线C焦点在轴上的椭圆D焦点在轴上的双曲线解：即又方程表示的曲线是椭圆. 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。6（2006年浙江省预赛）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有 条.（C ）A1 B2 C3 D4解: 由分别以A，B为圆心，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案

3、为C。7（2006年浙江省预赛）设在平面上，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为 （B）A B C D 解： 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A. 因此的图形面积为. 所以选（B）。1,3,51,3,5二、填空题部分1（200 6天津）已知椭圆（），长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围是 2（2006年江苏）已知，则的最大值是 9 3（2006吉林预赛）椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)的右顶点为A，上顶点

4、为B，左焦点为F，若ABF是直角，则这个椭圆的离心率为_。4（2006陕西赛区预赛）若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 AxyP(x,y)O5(2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作： 先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是 .【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P. 设机器人改变方向的点为A，。则由已知条件有 ，以及 .所以有 即所求平面图形为弓形，其面积为 平方米.6（2006年浙江省预赛）已

5、知 , 。若为单元素集，则.解 由为单元素集，即直线与相切，则.7(2005全国)若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为80.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为.、联立解得或8（2004 全国）在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为_.解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3x上，设圆心为S（a，3a），则圆S的方程为：.对于定

6、长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得 a=1或a=7。即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。1,3,5三、解答题部分1(集训试题)已知半径为1的定圆P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，Q与P相外切，Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得MAN为定值。求MAN的度数。解：以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, )，

7、Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=1+r。所以x=, tanMAN=，令2m=h2+k2-3，tanMAN=，所以m+rk=nhr，m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=.由2m=h2+k2-3得h=，所以tanMAN=h=。所以MAN=60或120（舍）（当Q(0, 0), r=1时MAN=60），故MAN=60.2（2006吉林预赛）已知抛物线C：x2=2py(p0)，O是

8、坐标原点，M(0，b)(b0)为y轴上一动点，过M作直线交C于A、B两点，设SABC =mtanAOB，求m的最小值。（ 0.5p2 ）3（2006年南昌市）(高二)给定圆P:及抛物线S:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设l的方程为,即,代入抛物线方程得:,设有,则故,因此据等差,所以即,则l方程为或.4（2006年上海）已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积解:当

9、时， （4分）当时，令设，则由， ， 消去x得，所以 ， 又直线AO的方程为：，即为，所以，AO与准线的交点的坐标为，而由知，所以B和的纵坐标相等，从而轴同理轴，故四边形是直角梯形（9分）所以，它的面积为（14分）5 (2005年浙江)（20分）设双曲线的左、右焦点分别为，若的顶点P在第一象限的双曲线上移动, 求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹。【解】 如图，记双曲线在轴上的两顶点为A(1, 0)， B(-1, 0)，G为的内切圆在边上的切点，H为的内切圆在边上的切点，K为的内切圆在边上的切点。则有-5分由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与A(1, 0)重合，是定点。而。根

10、据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧。- 10分因为是在第一象限的曲线上移动，当沿双曲线趋于无穷时，与轴正向的交角的正切的极限是即 。 故点H的轨迹方程为 (极坐标形式) ，（）- 15分也可以用直角坐标形式。由于G与A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为 （）。 - 20分6（2006浙江省）在轴同侧的两个圆：动圆和圆 外切（），且动圆与轴相切，求 （1）动圆的圆心轨迹方程L; （2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。解：（1）由可得由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为, 则有整理得到动圆圆心轨迹方程 .（5分）另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程，即（5分）（2）联立方程组 消去得 ，由 整理得 从可知 。 故令，代入可得 再令，代入上式得 （10分）同理可得，。可令代入可得 对进行配方，得 对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以。令，则 .所以 （15分）仅当时，为完全平方数。于是解得 . （20分）10（2004 全国）设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=_.解：设，从而是平方数，设为1,3,5. （负值舍去）