数学史14章复习材料Word格式文档下载.docx

1、古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的。（7）（填空题、选择题、判断题）1.1.2 古埃及的代数古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这类问题的方法是试位法。古埃及人还用它来解二次甚至更高次的方程。（7）在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载。（8）等比数列也已在古埃及纸草书中出现。1.1.3古埃及的几何学古埃及的几何学是尼罗河的赠礼。（是非题）尼罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记，洪水退后也需要重新勘测土地的界线，这一切，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。（辨析题）在两种纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是计算土地的

2、面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关。（8）（选择题、填空题、是非题）古埃及人认为圆的面积等于直径的8/9的平方。由此可知，古埃及人把圆周率近似地取为3.16。（8）（填空题、选择题）著名数学史家贝尔形象地将古埃及的正四棱台的体积公式称为“最伟大的埃及金字塔”。（9）（古埃及人是通过具体问题说明了高为h、底边长为a和b的正四棱台的体积公式是：V=1/3（a+ab+b）h）1.2古巴比伦的数学古巴比伦，又称美索波达米亚（错误），位于亚洲西部的幼发拉底河与底格里斯河两河流域，大体上相当于今天的伊拉克。大约是在公元前3000年左右，古巴比伦人在这里建立了自己的奴隶制国家。（9）在过去相当长的一段时

3、间内，人们对于古巴比伦数学的认识是通过古希腊文化中的零星资料得到的。19世纪后期，考古学家开始发掘美索波达米亚遗址，在发掘的过程中，人们发现了数以万计的不同时期的泥板，他们用胶泥制成的，一块完整的泥板与手掌的大小差不多，上面写有符号，这种符号是用断面呈三角形的尖棍刻写的，呈楔形，故人们称之为楔形文字。（10）（人们为什么把古巴比伦的文字称为楔形文字？）（选择题或简答题）1.2.1古巴比伦的记数制与算术古巴比伦人很早就有了数的写法，其记数系统是60进制。（10）（是非题、填空题、选择题）古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作分母，因此古巴比伦人的分数系统是不成熟的。（10）（填空题、选择题、判断

4、题。）与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的，在已发现的泥版书中，大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表。倒数表用于把除法转化为乘法进行，指数表和插值法一起用来解决复利问题的。（10）1.2.2古巴比伦的代数在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题。（11）（填空题、选择题）古巴比伦人可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式，由于他们没有负根的概念，二次方程的负根不予考虑。他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。（11）最令人感兴趣的是哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板（简称“普林顿322”），这是

5、一张勾股数（即x+y=z的整数解）表，并且极有可能用到了下列参数式：x=2uv,y=u-v,z=u+v而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。（12）（因公式打印有错，此部分见教材。简答、选择题、填空题）1.2.3古巴比伦的几何在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题，他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。（12）（辨析题）古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领。（12）古巴比伦人错误地认为，圆台或棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积。这一事实表明，古巴比伦的计算方法还是经验型的，这些结果都没有经过证明。

6、（12）（选择题）1.2.4古巴比伦的天文学在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法，他们的年历是从春分开始的，一年有12月，每月有30天。所谓“星期”也就是指星的日期，我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的。从古巴比伦和古埃及的数学，可以看出，它们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。（13）古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的算术与代数较为领先。古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出。（选择题、填空题）以上情况表明，数学从她的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实

7、际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。（13）（选择题、填空题）需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉，更谈不上掌握了。在古埃及和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法，其所给出的仅仅是“如何去做”，而基本没有涉及到“为什么这样做”，这标志着他们的数学还远没有进入理性思维的阶段。（13）（判断题）从这个意义上来说，数学作为一门科学还远远没有建立起来。整理完第二章 地中海的灿烂阳光希腊的数学从公元前2000年左右到公元

8、前30年，古希腊人（又称海伦人）以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。（希腊数学是希腊人创造的吗？）特别是在公元前5、6世纪西波战争以后，雅典取得了希腊社会的霸主地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了在整个世界文明史中都占有十分重要地位的希腊文化，数学也是其中非常重要的一个组成部分。（14）希腊一些城市加强与海外各地的商业联系，为希腊接触并吸收优秀的东方文化提供了方便。（15）从公元前6世纪起，由于经济和政治的进步，希腊出现了欧洲文化的第一个高峰，希腊数学就是其中的重要成就之一。（1

9、5）（选择题、填空题）数学史上把公元前6世纪至公元前3世纪的希腊数学称为古典时期的希腊数学或前期希腊数学，而把公元前3世纪至公元6世纪称为后期希腊数学，希腊众多的数学学派的工作把数学研究推进到一个崭新的阶段。2.1希腊数学学派与演绎数学的产生在公元前6世纪公元前3世纪期间，先后出现了许多数学学派，（什么时候出现许多数学学派？）他们的工作使得希腊数学得以长足的发展，其中最有影响的有爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派和柏拉图学派。2.1.1爱奥尼亚学派和演绎证明以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米利都。（15）（什么城市？什么数学成就？）（填空题、选择题）享有“

10、希腊科学之父”盛誉的泰勒斯（公元前636公元前546）在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派爱奥尼亚学派。（15）（谁创立？数学什么学派？泰勒斯是一个精明的商人，青壮年时代，他依靠自己的聪明才智，在商场上积累了足够的财富，使他的后半生能够从事游历和研究。（15）（可见足够的经济基础，才能让天才更好地发挥其才能。关于泰勒斯的生平和学术工作虽然没有确切可靠的材料，但他的成就还是被后人肯定。（15）（是金子总会发光，）泰勒斯对数学科学发展的贡献不仅在于他发现一些定理，更重要的是泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。（16）从泰勒斯开始，人们已不仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。泰勒斯已经将逻辑学中的演

11、绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。泰勒斯曾用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离，因此他被西方学者称为“测量学的鼻祖”。（16）（因什么获得测量鼻祖的美誉？客观地讲，就数学科学而言，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派并不出色，但他们在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释，这种理解思维的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在。（16）（）2.1.2毕达哥拉斯学派与“万物皆数”毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音

12、乐理论家，出身于爱琴海中的萨摩斯海（今希腊东部小岛），青年时期，他曾经离开家乡，到世界各地游学，游历过埃及和巴比伦，可能还曾向泰勒斯或他的门徒学习过几何、哲学，40岁左右，他（毕达哥拉斯）定居意大利半岛南部的克罗多内，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派。（16）（简述毕达哥拉斯学派）在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究。相传希腊文中“哲学”和“数学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。（16）（填空题）尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派的基本信条却是“万物皆数”。（16）（填空题、选择题）在毕达哥拉斯学派看来，

13、万物的本质就是数，这个学派一个重要成员就曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数，因此，没有数既不可能来表达也不可能来理解任何事物。”他们认为：数是由单子或1生成的，因此将1命名为“原因数”，（数是由什么生成的？“1”被命名为什么数？）（16）每一个数都被赋予了特定的属性，而一切数中最神圣的是10，他们信奉和崇拜10，认为它是完美、和谐的标志。（他们认为什么数是完美、和谐的标志？这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表达形式。（17）（什么思想的最初表达形式？毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的分类研究。（他们定义了许多概念）（17）

14、毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的。（17）（是非题）他们常把数以点的形式排成各种图形。（见教材17）毕达哥拉斯学派认为，“美是和谐与比例”，这是他们对科学美所持的基本观点。（18）（他们对科学美所持的基本观点是什么？在对各种自然物体的本质讨论中，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动。（18）（最美的图形是什么？最完美的数是10，因为10=1+2+3+4，并将1，2，3，4称为四象。他们认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成

15、的，他们研究了一些美的比和比例关系；（18）（音乐的基本原则是什么？毕达哥拉斯不仅把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学，还十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学 、医学等领域。（18）（美只用于音乐和雕刻？西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的。（据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”，但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证明。）（18）（什么是“百牛定理”？按照“万物皆数”的观点，毕达哥拉斯学派相信：任何量都可以表示成两个整

16、数之比（即某个有理量）。（18）这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量”，既有公共的度量单位。（19）（什么是可公度量？据亚里士多德的著作记载，毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段，其证明与我们现在的中学数学教科书中证明是无理数的方法相同。相传该学派的成员希帕索斯还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑。（19）（数学的研究不是一帆风顺的）由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”。（第一次数学危机发生的原因是什么？希腊

17、人对第一次数学危机的态度不是积极地去解决，而是想方设法去回避它，这就使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究转向对型的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的成就是很不对称的。（态度怎样？什么原因使其研究转向？）（19）2.1.3芝诺悖论与巧辩学派巧辩学派又称诡辩学派毕达哥拉斯学派发现的不可公度量向希腊数学提出了一个难题，这就是如何处理离散与连续、有限与无限的关系。（提出一个什么难题？大多数希腊数学家回避这个问题，转而去研究几何量之间的关系去了。（19）来自卢卡尼亚的一位哲学家芝诺，针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念，提出了4

18、5个违背常理的悖论，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动。（针对什么问题？提出几个悖论？芝诺关于运动的三个悖论是：（1）二分说：物体运动是不存在的；（2）阿基里斯追龟说：阿基里斯是古希腊神话中的“神行太保”，却永远追不上乌龟；（3）飞箭静止说：飞箭在飞行中的某一瞬间总是停留在某一确定的位置上，他此时是不动的，因此说飞箭实际上是静止的。芝诺的悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知它的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一

19、个重要原因。（19）（芝诺的悖论在当时为什么困难？“自圆其说”与“公理化思想方法产生”的关系？巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、辩证法、人文，以及几何、天文和哲学方面的学者。（20）巧辩学派研究的主要目标之一是用数学来讨论宇宙的运转。巧辩学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的。（20）（什么学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的？巧辩学派在芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，提出了三大著名作图问题，又让古希腊人陷入了困惑。（20）（感谢对手！所谓三大尺规作图不能问题是指，只允许用圆规和直尺作一正方形，使其与给定的圆面积相等

20、；给定立方体的一边，求作另一立方体之边，是后者体积两倍于前者体积；三等分任一已知角。（20）（三大尺规作图不能问题是指什么？围绕三大作图不能问题，希腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法。许多数学成果都是研究这三个问题的副产品。（20）（研究不但要重视结果，更要重视研究的过程，及过程中产生的副产品。）（故事：煮石头、煮铁钉）巧辩学派及其他希腊学者，所以要把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学的这样一个认识：即他们强调在研究一个概念之前必须证明它的存在性，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理。在他们看来，直线和圆客观上是存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾，

21、这样的思想促进了希腊数学的严密化。（21）（希腊学者为什么要把作图工具只限于直尺和圆规？2000多年来，三大作图（不能）问题的研究，花费了人们的大量心血。（人们对此研究了多少年？）直至1831年，法国数学家万采尔首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家林德曼于1882年又证明了的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，到此，三大尺规作图（不能）问题才彻底得以解决。（什么时间？什么人？解决了什么问题？2000多年来的研究过程的意义？）（21）2.1.4柏拉图学派继巧辩学派之后领导希腊数学活动的是柏拉图学派。（继巧辩学派之后领导希腊数学活动的是什么学派？柏拉图是古

22、希腊哲学家和教育家，出生于雅典的贵族家庭。（柏拉图出生于何地？公元前407年，柏拉图20岁时曾拜年逾六旬的苏格拉底为师，他是苏格拉底最杰出的学生，深受苏格拉底逻辑思想的影响。（柏拉图几岁拜谁为师？受谁的逻辑思想的影响？公元前399年，在苏格拉底被雅典重建的民主政权处死后，柏拉图被迫开始了为期12年的游历生涯，他先后去了麦加拉、埃及等地，后回到了雅典。（21）（柏拉图12年的游历生涯为何称为被迫？游历了哪些地方？公元前387年，柏拉图在雅典创建了欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者的学校，学校兼收女生，并实行分层次教育。（在什么时间？什么地点？创建什么性质的学校？是否招收女生？柏拉

23、图对于数学科学在培养人的思维能力方面的作用有比较充分的认识。据说在他学校的门口甚至挂上 “不懂几何者不得入内”的告示。（柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的认识如何？ “不懂几何者不得入内”的告示说明了什么？柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙，因而特别重视对立体几何的研究。（柏拉图学派为什么特别重视对立体几何的研究？柏拉图学派把德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说。（柏拉图学派结合什么成果？从而提出了几何学的原子说。柏拉图学派设想物质世界的本原不是土、气、水和火，而是两种直角三角形，即正方形之半与等腰三角形之半。因为这两种图形是最完美的图形，它们可以

24、无限分下去。因此，神就用它们构成4种正多面体的界面：火微粒是正四面体，圡微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体；最初一切是混乱的，后来它们才被安排好，从而形成了宇宙。（柏拉图学派设想物质世界的本原是什么？为什么？柏拉图在其老师苏格拉底逻辑思想的影响下，明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则。他指出：“首先我假定某个我认为是最有力的假定，然后肯定凡与之相符合的就是真的，无论是关于原因还是别的什么，只要与之不符合的，我就认为它是不真的。”这里柏拉图明确提出，数学证明是以某些自明的假设，即公理作为出发点，然后经过一系列严格的逻辑推理，他称之为“假设法”。（22）显然这正是公理化方法的开

25、端，对于形成欧几里得几何学的公理演绎系统和推进希腊数学的发展具有极为重要的意义。可以说，这是古希腊方法论的最高成就。这也表明至少从柏拉图时代起，数学就已经有了公理化的思想。（柏拉图在谁逻辑思想的影响下，明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则？古希腊方法论的最高成就是什么？我们认为数学公理化的思想至少从柏拉图时代起就已经有了。 ）（22）柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克索斯。（填空题、选择题）有人认为，古希腊数学家中，他的地位仅次于阿基米德。他的数学成果成为欧几里得几何原本，特别是第5、6、7卷的主要内容。他对数学的最大贡献是运用公理法建立了比例理论，其中包括相当严密的实数定义，处理了所

26、谓“不可公度量”既无理数问题。（柏拉图学派中最杰出的数学家是谁？欧多克索斯对数学的最大贡献是什么？）（22）欧多克索斯的学生梅奈赫莫斯是圆锥曲线理论的创始人。并形成了最早的圆锥曲线理论。（最早的圆锥曲线理论是由谁建立的？柏拉图学派的亚里士多德对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学。亚里士多德把形式逻辑规范化和系统化，使之上升为一门科学。（亚里士多德对数学的最大贡献是是什么？2.2希腊数学的黄金时代（有前人的积奠才有黄金时代的出现）早期数学的进程在很大程度上取决于人类历史发展的进程。（早期数学的进程在很大程度上取决于什么的进程？）（23）亚历山大城是托勒密王国的首都，经历代托勒密国王的经营，成为当时

27、整个地中海地区最大的城市，在这里兴建了藏书达六十万卷的图书馆，国家设立了研究机构，其研究人员由国家供养。优秀数学家云集于此，亚历山大学派由此产生。（关键词：最大城市、兴建图书馆、六十万卷、国家、研究机构、研究人员、国家供养。）（亚历山大学派如何产生的？亚历山大的东征，客观上促进了东西方文化的融合，数学由此产生了新的生长点。（一分为二地看问题。当你遇到困难时，是否也看到了机遇？亚历山大时期的数学发展有两个方向，其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得、阿波罗尼斯；其二是以阿基米德为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的

28、结合，在继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域。（亚历山大时期的数学发展沿那两个方向发展？代表人物是谁？阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。他们的工作，使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平。（那些数学家被称为亚历山大时期的三大数学巨人？黄金时代的代表应有众多杰出的数学家、数学学派的出现。2.2.1欧几里得与他的几何原本欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作。（欧几里得出生于何地？应谁的要求到亚历山大主持数学学派的工作？）（24）欧几里得是一位温和仁慈的蔼然长者，学生们都很尊敬他。他严谨治学，不图名利，据说当托勒密国王向他询问学习几何知识的捷径时，他答道：“几何无王者之道”。当有一位学生刚学完第一个几何命题便问欧几里得学了几何后将得到什么好处时，欧几里得则幽默地对侍者说：“拿一个便士给这位先生，因为他总要从他学习的东西中获取好处的。”（