初三数学旋转相似讲义文档格式.docx

1、、 BDODOBtan OCDtan OABACOCOA、因为 AC BD于点 E，那么，若连AD、 BC，则四边形 ABCD对角线互相垂直，则S1 AC BD四边形 ABCD2AD 2BC 2AB2CD 2例题讲解例 1. 已知 ABC与 DEF都是等腰三角形， AB、 EF 的中点均为 O，且顶角 ACB= EDF.探究 BF 与 CD间的数量关系；（1）如图 1，若 ACB=90,3，求BF（2）如图 2，若 tan ACB=的值；4CD（3）如图 3，若 ABC中 AC=BC=a，将 DEF绕点 O旋转，设直线CD与直线 BF交于点 H，则 S BCH 最大值为 _ （用含 a 的式子

2、表示）。分析：（ 1）连 OC， OD， OBF OCD， BF=CDBEODFA CCA（2）构造手拉手旋转相似。可证OBC OFD, ODC OFBBF =OB =tan 1 ACBtan ACB=3 ，求 tan1 ACB 的问题，必须问题转化为已知熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。由右图提示可得 tan 1 ACB = 1 ；2 3（ 3）由（ 2） OBC OFD, ODC OFB，蝴蝶形图易得 CHB= COB=90；又 BC=a ，定边定角，点 H 在以 BC为直径的圆上，易求 S BCH max1a1 a1 a2例 2. 如图，已知在正方形 ABCD和正方形 BEF

3、G中， 求证： AG CE； 求 DF 的值AG 如图 2，证 ABG CBE ， AG=CE如图 2，连接 BD， BF，DF，易证 BD2 ，DBCFBE45，BCBE D B =F C B E DBF CBE DFBDCE AG = CEDF变式： 如图 3，正方形 ABCD和 EFGH中， O为 BC，EF 中点 （1） 求证： AH=DG;（2）求 AH 的值。CF （1） 连接 OA, OH, OD, OG,易证： AOH DOGAH DG（2） OE OB 1 , EH AB 2 ABO HEO,AOB HOE, AOH BOE,又OEOH,OBE OAH ,AHAO5BO易证B

4、OECOFBE CF ,例 3. 如图， ACB DCE 90， ABC CED CAE 30， AC 3， AE 8，求 AD的长。连接 BE，由基本图形易得可证， ，ACDBCE AD3 BEBAE 90在 Rt 作，由勾股定理求得 10ABE则10 3AD练习 1. 如图，点 A 是 DBC内一点， AB 2 3, BC 8, ABC600 ， DAC1200，ADAC, 求 BD得长。 构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出 BD=10.练习 2 如图，在 ABC中， ACB 90， BC 2AC， F、G分别为 AC、BC的中点，将 CFG绕点 C 顺时针旋转，直线 AF与

5、直线 BG交于点 I.（1） 求证： AF BG；（2） 当旋转角小于 90时，求 2AI BI 的值；CI（3） 若 AC 4，直接写出 ACI 面积的最大值 _.（3）需分析出 I 点轨迹，由 A、 C、 I 、B 四点共圆可得 AIC= ABC，又 AC=4，定边定角得 I 轨迹为圆弧。练习 3将等腰 Rt ABC 和等腰 Rt ADE 按图 1 方式放置， A 90，AD 边与 AB 边重合，AB 2AD4将ADE 绕点 A 逆时针旋转（旋转角不超过 180）， BD 的延长线交直线 CE 于点 P（ 1）如图 2， BD 与 CE 的数量关系是 _ ，位置关系是 _；（ 2）在旋转的

6、过程中，当 AD BD 时，求 CP 的长；（3）当点 D 落在 BA 的延长线上时，求点 P 所经过的路径的长B BD DC E A C A图 1（1） BD CE BD CE（ 2） BD CE，AD BD ， ADP DPE 90又 DAE 90， AD AE，四边形 ADPE 为正方形 AB 2AD 4， PE AD 2CE BD AB 2 AD 2 2 3CP 2 3 2（ 3）取 BC 中点 O，连接 OA、OP在旋转过程中， BDCE， BPC 90图 2C APOP2 BC 2 2点 P 的运动路径是以O 为圆心、半径为2 2的一段圆弧即 ABC 外接圆的一部分则 AOP2 ABP易知点 D 在以 A 为圆心、半径为2 的半圆上运动P E当 BP 与半圆 A 相切于点 D 时， ABP 最大，从而 AOP 最大AD 2 AB， ABP 30， AOP 60即当 ADE 从初始位置旋转 60时，点 P 沿圆弧从 A 点运动到 AOP 60当 ADE 继续旋转，直至点 D 落在 BA 的延长线上时， ABP0， AOP0点 P 从 AOP 60处又回到 A 点点 P 所经过的路径的长为： 2