1、(2)1,2,7,11,( ),( ),(3)2,6,18,54( ),( )在数列3,6,9,12中,后一个数减前一个数相差3,根据这一规则,就可以确定后面几个数。在数列(2)中第一个数增加1等于第二个数,第二数增加2等于第三个数,从而可以确定后面的数在数列2,6,18,54,中,后一个数是前一个数的三倍,根据这一规律,可以猜测出后面两个数的值。随堂练习:1、 在括号里填数(1)2,4,6,8,( ),( )(2)1,2,5,10,17,( ),( )例题3、先找出规律,再在括号里填上合适的数?(1)15,2,12,2,9,2,( ),( )(2)21,4,18,5,15,6,( ) ,(
2、)在数列(1)中,我们首先看奇数项,第一个数减3是第三个数,第三个数减3是第五个数。而第二、四、六的数是不变的,根据这个规律,即可解答出此题。在数列(2)中,同样的道理,我们把第一、三、五项单独看,第一项减3等于第三项,第三项减3等于第五项,我们把第二、四、六项单独看,第二项加1第于第四项,第四项加1等于第六项,找到了这个规律这个题目就不难了。1、 按规律填数(1)2,1,4,1,6,1,(),()(2)3,2,9,2,27,2,( ),( )2、在括号里填数(1)18,3,15,4,12,5,( ),( )(2)1,15,3,13,5,11,( ),( )3、找规律填数1,2,5,14,()
3、,()例题4、先找出规律,再在括号里填上合适的数。(1)2,5,14,41,( ),( )(2)252,124,60,28,( ),( )(3)1,4,9,16,25,36,( ),( )在数列(1)中,第二个数是第一个数的三倍减一,第三个数是第二数的三倍减一,依此类推。在数列(2)中,前一数除以二的商减二便是后一个数的值。在数列(3)比较特别,第一个数是11,第二个数是22,第三个数是33,依此类推(1)2,3,5,9,17,( ),( )(2)2,4,10,28,82,( ),( ) 有余除法重点知识:1、被除数=商除数+余数。2、余数必须小于除数解题步骤:先确定余数,就可以确定除数,然后
4、根据被除数与除数、商和余数的关系求出除数例题1、根据余数写出被除数最大是几?最小是几?6=8除数是6,根椐余数比除数小,余数可填写1,2,3,4,5,根据除数商+余数=被除数,所在此题可求出最大的被除数为68+5=53,最小的被余数为68+1=49下面题中被除数最大可填几?最小可填几?1)、8=32)、4=72、要使除数最小被除数应为几?=12例2、算术( )( )=8( )被除数最小是几?分析 : 商是8,要使被除数最小,由公式可知被除数=除数商+余数,那么只要让余数和除数最小,余数最小为1,那么除数最小2,28+1=17被除数最小是几?1)、( )( )=4( )2)、( )( )=7(
5、)3)、( )( )=9( )下列等式中商和余数相等,被除数最小是几?( )=3( ) 2)、( )( )=6( )例3、算式28( )=( )4中,除数和商各是多少?根据“被除数=除数商+余数” 可以得知“除数商=被除数-余数”,所以本题中除数商=28-4=24,所以这两个数可能是1和24,2和12,3和8,4和61、上列算式中,除数和商各是几?1)、22( )=( )4 2)、65( )=( )2 3)、37( )=( )7 4)、 28( )=( )3例4、算式( )7=( )( )中,商和余数相等,被除数可以是哪些数?余数比除数小,此题的除数为7,所以余数可以为:6,5,4,3,2,1
6、,根据公式被除数=除数商+余数分从而求出被除数的值。所以被除数为8,16,24,32,40,48下列算式中,商和余数相同,被除数最大是几?6=( )( ) 2)、( )9=( )( )3=( )( )例5、算式( )( )=( )4中,除数和商相等,被除数最小是几?根据公式被除数=除数商+余数,要使被除数最小,则除数与商要最小,除数最小为2,所以被除数最小为9巩固练习:1、下列算式中,除数和商相等,被除数最小为几?(1)( )( )=( )6(2)( )( )=( )8(3)( )2、一个三位数除以15,商和余数都相等,请写出五个这样的除法算式。3、有一个除法算式,它的余数是9,除数和商相等,
7、被除数最小是几?4、有一个除法算式,它的除数是7,商和余数相等,被除数最小是几?配对求合等差数列:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差为一常数,那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做公差等差数列的求合公式:(1)等差数列的和=(首项+末项)项数2 (2)末项=首项+公差(项数-1)(3)项数=(末项首项)公差+1例1、你有好办法算一算吗?1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( )分析 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中,1加10为11,2加9也为了11,有5个11相加,所以和为511=55。疯狂操练:1、速算 :1+2+3+4+20 2、你能迅速算出结果吗?1+2+3+4+
8、1003、想一想,该怎样计算方便?21+22+23+24+50例2、 计算:(1)32+34+36+38+40+42 (2)203+207+211+215+219 解法一:(1)32,34,36,38,40,42共六个数相加,后一个数与前一个数的差都为2,可以利用等差数列求和公式,等差数列的和=(首项+末项)2,所以结果为(32+42)62。(2)203,207,211,215,219共五个数,后一个数与前一个数的差都为4,可以利等差数列求和公式等差数列的和=(首项+末项)解法二:(1)利用配位求和,即两项相加数相同,通过观察计算,32加42等于74,有3对74相加,所以结果为374=222热
9、身练习:1、48+50+52+54 = 2、128+138+148+158+168 =3、72+75+78+81+84=例3 有一堆木材叠堆在一起,一共是20层,第一层12根,第二层有13根,下面每层比上层多一根,这堆木材有多少根?因为这堆木材从第2层起,每层比上面一层多1根,共20层,所以这堆木材总数为12+13+14+15+16+17+ +31=(12+31)202=430 疯狂操练1、 体育馆的东区共有30排座位,呈梯形,第一排有10个座位,第二排11个,这个体育馆东区共有多少个座位?2、 有一串数,第一个数是10,以后每个数比前一个数大5,最后一个数是90,这串数相加的和是多少?例4、
10、计算:993+994+995+996+997+998+999 这题求几个边续自然数的和,它们都接近1000,我们可以看作有7个1000相加,这样多加了7+6+5+4+3+2+1,具体的过程为:993+994+995+996+997+998+999 =10007-(7+6+5+4+3+2+1) =7000-28 =6972(1)1997+1998+1999 (2) 9995+9996+9997+9998+9999例5 计算1000-81-19-82-18-83-17-84-16-85-15-86-14-87-13-88-12-89-11每两个减数相加的和为100,我们可以把81和19,82和18
11、,83和17,84和16,85和15,86和14,87和13,88和12,89和11这几组数先加起来,然后再减。计算1、1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-12、1000-9-8-7-6-5-4-3-2-1植树问题基本类型及计算公式: 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树。公式:棵数=段数1,棵距段数=总长。2 封闭曲线上植树。棵数=段数,棵距3 在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树。关键问题:确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系。注意事项:应用题要有解有答,还要带单位。例1、一条小路长30米,在路的一侧从一端开始,每隔6米栽一棵石榴树,一
12、共可以栽多少棵石榴树?这是第一种类型。如上图,小路全长30米,每6米分为一段,刚好分(段)。因为从路的一端开始栽树,到另一端时还可以栽一棵树,所以栽树的总棵数等于段数加1。例2、 有个圆形小池塘,池塘的周长80米,每隔10米栽1棵柳树,一共栽了多少棵柳树?这是一道首尾相接的植树问题,属于第二种类型。根据题中“每隔10米栽1棵柳树”,可以把10米看作一段,这样可以将圆形的小池塘平均分成(段),并且第一段段首和最后一段段尾相接,我们可以假设将每课树都种在一段的起点位置,这样栽树的总棵树就等于段数。例3、 植树节那天,二年级同学在校园里种了27棵树,种成了一个三角形,要使每条边上的树的棵树相等,每条
13、边上应种几棵树?这道题属于第二种类型。题中要求的是三角形每条边上种多少棵树,可以这样想,首先在每个角上种一棵,共种了3棵,再把剩下的(棵)树平均分成3份,在每条边的2点之间种上棵树,因此每条边上的总数量就等于2点之间的棵数加上两个角上的2棵。例4、在长54米的水渠一侧栽了一排杨树,起点和终点都栽了,一共是10棵,相邻两棵树之间的距离都相等,相邻两棵树之间的距离是多少米?这道题属于第一种类型。根据公式:棵数=段数1,也就是段数=棵树-1,可以计算出段数;再根据公式:棵距段数=总长,也就是棵距=总长段数,从而可以计算出棵距。例5、少先队员在路的两旁每隔5米栽一棵树,起点和终点都栽,一共栽了72棵树
14、,这条路长多少米?例6、小明要到高层建筑的11层,他走到5层用了100秒,照此速度计算,他还需走多少秒?因为1层不用走楼梯,走到5层走了4段楼梯,由此可求出走每段楼梯用100(51)25(秒)。走到11层要走10段楼梯,还要走6段楼梯,所以还需256150(秒)。练习:1、学校有一条长60米的走道,计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。(1)如果两端都各栽一棵树,那么共需多少棵树苗?(2)如果两端都不栽树,那么共需多少棵树苗?(3)如果只有一端栽树,那么共需多少棵树苗?2、在森林公园的一条大路上栽树,这条路的总长是40米,每隔5米栽一棵雪松,两端都栽。这条路上一共栽了多少棵雪松?3、在正方形草地
15、的四条边上栽桃树,每边栽4棵,一共要栽多少棵?4、小明要在学校操场的400米环形跑道边插彩旗,每两面彩旗之间都相隔5米,一共要插多少面彩旗?5、 两根同样长的绳子上,每隔2米挂一个灯笼,起点和终点都挂,共挂了12个,每根绳子长多少米?排队重叠问题方法点拨:解决排队问题运用了数学中一个重要的原理包含与排除原理。两个计数部分有重复包含时,为了不重复计算,应该从它们中的和中排除重复部分。例1 25个小朋友排队,从左边数起小林是第12个,从右边数起小刚是第9个,小林和小刚之间隔着几个小朋友?可以这样想:先从25个中减去小林和他左边的人数,再减去小刚和他右边的人数,剩下的就是他俩之间的人数?也可以这样想
16、:先求出小林、小刚在内的左右两边人数的和,再从25个中减去他们的和,剩下的就是他俩中间的人数。25-12=13(个) 13-9=4(个)或者12+9=21(个) 25-21=4(个)随堂训练:1、同学们排队做操,第一排有18个小朋友,从前面数起青青是第6个,从后面数兰兰是第7个,青青和兰兰中间有几个小朋友?2、20个小朋友排队,从左边数起小华第11个,从右边数起,小飞是第16个,小华和小飞之间有几个小朋友?3、有30个工人排成一行,其中有两个工人戴帽子,从左往右数,第7个戴红帽子,从右往左数,第8个戴蓝帽子,戴帽子的两个工人中间有几个人?例2 、12个小朋友排队,从左面数小军排在第4个,小乐排
17、在小军右面第5个,那小乐从右往左数排第几个?从左面数小军排在第4个,小乐排在小军右面第5个,说明小军从左往右数排在第4+5=9个,小乐的右边还有12-9=3个人。所以,从右往左数小乐排在第3+1=4个1、10个小朋友排一队,从前面数小张排在第2个,小王排在小张后面第4个,那以小王排在从后面往前数第几个?2、一群小动物排一排,从左往右数第4只是不兔,从右往左数小鹿是第3只,小鹿在小兔后3个,这群小动物有几个?例3、某小学二(1)班人人都参加课外活动,有20人参加数学兴趣组,有25人参加全唱组,其中有5人两项都参加,问二(1)班共有多少人? A B图中 A圈表示参加数学兴趣组的人数,B 圈表示参加
18、合唱组的人数,两圈重叠的部分,表示两项都参加的人数。从图中可以看出,两项都参加的5个被算了2次,重复了。所以要从两组共同的人数中减去重复的5人。1、 老师出了两组题给全班45名同学做,做对第一组有38人,做对第二组有42人,两组题全做对的有多少名同学?2、 两根一样长的的木板钉在一起后长10米,中间重叠部分是2米,那么每根木板长多少米?3、二(2)班同学人人都订阅报纸,订数学报的有38人,订中国儿童报的有30人,其中8人这两种都试订,问二(2)班共有多少人?盈亏问题盈亏问题:这是一类已知所盈和所亏的数量,求物品数量和人数的应用题,特点是把一数量的物品,平均分给一定数量的人,每人少分,则物品有余
19、(盈);每人多分,则物品不足(亏)。基本解法:(1)理解题意,弄清盈亏数。(2)份数=(盈+亏)两次分配数的差,物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出。例1、幼儿园来一些玩具,如果每班分8个玩具,则多出2个玩具;如果每班分10个玩具,则少12个玩具,幼儿园有几班?这批玩具有多少个?从上面条件,我们可以看出,第二种分法比第一种分法多分了10-8=2个,而所需的玩具总个数也从多2个变成了少12个,也就是说在多的基础上要再加12个才能保证每班分10,第二种分法所需的玩具个数比第一种多了12+2=14个,那是因为每班多分2个,根据这一关系,就可以求出班级个数和玩具的总个数了。随堂操练:1、 小玲带了
20、一些钱去买苹果,如果买3千克,则多出2元;如果买6千克,则少了4元;苹果每千克多少元?小玲带了多少钱?例2、老师买来了一些练习本分给优秀少先队员,如果每人分5本,则多了解14本,如果每人分7本,则多了2本,优秀少先队员有几个?第一种分法:每人分5本,多了14本;第二种分法:每人分7本,则多了2本;从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7-5=2本,两种分配方法的结果相差了14-2=12本,每人多分了2本,多少人会多分这12本呢,根据人数=多出的份数每个人分的份数。人数计算出来了便可以求出练习本的本数。随堂操练1、 妈妈买来一些苹果分给全家人,如果每人分6个,则多了12个,如果每人分7个,则
21、多了6个,全家有几个人?妈妈共买回多少个苹果?2、某学校有一些学生住校,每间宿舍住8人,空出床24张,如果每间宿舍住10人,则空出床位2张,学校共有几间宿舍?住宿学生有几人?例3、学校派一些学生去搬一批树苗,如果每人搬6棵,则差4棵,如果每人搬8棵,则差18棵,学生有几人?这批树苗有多少棵?第二种方法比第一种方法每人多搬了2棵,所需的树苗就从差4棵变成了差18棵,结果相差的14棵。每人多搬2棵,有多少人会多搬了这14棵呢。首先要求出学生人数,根据求得的学生人数从而可以计算出树苗的总棵数。例4、三年级给优秀学生发奖品书,如果每个学生发5册还剩32册;如果其中10个学生每人发4册,其余每人发8册,
22、就恰好发完。那么优秀学生有多少人?奖品有多少册?每人发5册,多了32册,如果每人发8册,少了(8-4)10=40,由于每人差了3册,共差了72册。1、三(3)班同学去植树,若每人植5棵,还有3棵没人植,若其中2人每人植4棵,其余每人植6棵,就恰好植完所有的树。那么共有几名同学?共要植几棵树?2、小宏从家到校上学,出发时他看看表,发现如果每分钟步行80米,他将迟到5分钟;如要先步行10分钟后,再改成骑车每分钟行200米,他就可以提前1分钟到校。问小宏从家出发时离上学时间有几分钟?简单推理简单推理:是数学的一个重要思维,主要训练学生观察与分析能力。认真分析等式中几个图形之间的关系,寻找解题的突破口
23、,利用等量代换、消去等方法来进行解答。等量代换:两个相等的量,可以互相代换。例1、下式中,和各代表几?+=28 =+=( ) =()根据+=28,=28-,又由于=+所以有28-=+,4个等于是28,一个便可求出,再利用=28-,求出。例2、下式中,和各代表几? 36 4=( ) =( )由4,当为一份时,为份,即=4,又由于 36 ,可得到4=36,即=9,进而可求出和。例3、下式中,和各代表几?+=16 +=14 =( ) =( )由于+=16,那么=16-,即有+16-+16-=14,求出,进而可以求出。例4、下式中,各代表什么?+=34+=48=( ) =( )把第二个式子减去第一个式
24、子则有+=14,则第一个式子中有两个+,即14+14+=34,可以求出例5、下式中有+=+=+=80=( ) =( ) =( )2个等于3个,而3个又等于4,所以2个等于4,1个等于2个,则有+=80。从而可以求出。疯狂练习: 下列式中的、和各代表几?1、 +=18 =+ =( ) =( )2、 +=25 =+ =( ) =( )3、 +=36 =+ =( ) =( )4、 16 =4 =( ) =( )5、 =20 =+ =( ) =( )6、 +=38 +=22 =( ) =( )7、 +=52 +=48 =( ) =( )8、 +=54 +=76 =( ) =( )9、 +=+=+ +=
25、100=( ) =( ) =( )10、=+ =16 =( ) =( ) 和倍问题和倍问题: 已知两个数的和与两个数间的倍数关系,求这两个数分别是多少,像这样的应用题,叫做和倍问题解答和倍问题步骤:1 找出两数的和以及对应的倍数2 根据题意,画出线段图。例1、学校将360本图书分给二、三两个年级,已知三年级所分得的本是是二年的2倍,问二、三两个年级各分得多少本?把二年级所得的图书看成1倍数,那么三年级所得的图书则是2倍数。总的倍数为3倍数,总的的图书为360本,就可以算出每一倍数所占图书的数量。例2 、小宁有圆珠笔芯30枝,小青有圆珠笔芯15枝,问小青把多少枝给小宁后,小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍?我们把变化后小青的圆珠笔芯数看做1倍数,那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青的(8+1)倍,所以变化后小青的枝数为(30+15)9=5枝,再把小青原来的圆珠笔数减去后来小青圆珠笔数,就是小青给小宁的圆珠笔数。例3 、被除数与除数和为320,商是7,被除数和除数各是几?除数为1份,那被除数则为除数的7份。320中则包括着(7+1)份,那么每一份为320除以8为40。例4、两数相除商为17余6,被除数、除数、商和余
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