相似三角形A字模型含详细答案经典文档格式.docx

1、ABC 与ABC 相似， AH 是ABC 中 BC 边上的高线， AH 是 A BC 中 B C 边上的高线，则有 AB BC AC k AH （ k 为相似比）AB BC A C A HABC 与ABC 相似， AD是 ABC 中 BAC 的角平分线， AD 是 A BC 中 B AC 的角平分线， 则有 AB BC AC k AD （ k 为相似比）A B BC AC AD4相似三角形周长的比等于相似比ABC 与ABC 相似，则有 AB BC AC k （ k为相似比）应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACkAB BC AC AB B C AC5相似三角形面积的比等于相似比

2、的平方 ABC 与 AB C 相似， AH 是 ABC 中 BC 边上的高线，AB BC AC AHk1BCAH2k2AH 是ABC 中 B C 边上的高线，则有k 为相似比）进而可得 S ABCS ABC、相似三角形的判定 1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成： 两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简

3、单地说成： 三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么 这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似； 如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似三、相似证明中的基本模型A字形图 A字型， DE/BC ; 结论：AD AEAB ACDEBC ，例 1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在 A

4、BC中，点 D， E， 求证： ADE DBF 证明：又 DF AC， DE BC， A= BDF， ADE= B，F分别在边 AB，AC，BC上，且 DEBC， DF AC， ADE DBFA B C D【解答】 证明： DEBC， ADE DBF故选： B练 1】如图，在 ABC中， ACB=90，BC=16cm，AC=12cm，点 P从点 B出发，以 2cm/ 秒的速度向点 C移CP 和 CA 是对应边时， CPQ CAB，所以，即解得 t= 综上所述，当 t=4.8 或 时， CPQ与 CBA相似例 2】如同，在 ABC中，点 D， E分别在边 AB，AC上，下列条件中不能判断 ABC

5、 AED的是（ ）故选： AB 时， APC与 ABC是否相【例 3】如图， P是 ABC的边 AB上的一点（不与 A、 B重合）当 ACP=解答】 解： A= A， ACP= B， ACP ABC； A= A， ACP与 ABC；故答案为： B； ADE=B 时，ADE ABC其【练习 1】如图，D、E为 ABC的边 AC、AB 上的点，当 中 D、E分别对应 B、C（填一个条件） 【解答】 解：当 ADE=B， EAD= CAB， ADE ABC故答案为 ADE= B练习 2】如图，在 ABC中， D、 E分别在 AB与 AC上，且 AD=5，DB=7，AE=6，EC=4求证： ADE A

6、CB AD=5，DB=7， AE=6，EC=4，AB=5+7=12， AC=6+4=10，= = = ，又 A= A， ADE ACB【练习 3】如图， AB=AC， A=36，BD是 ABC的角平分线，求证： ABC BCD 【解答】 证明： AB=AC， A=36 ABC= C=72BD 是角平分线， ABD=DBC=36 ， A= CBD， 又 C= C， ABC BCD【练习 4】已知：如图， ABC中， ACD=B，求证： ABC ACD ACD= B， A=A， ABC ACD练习 5】如图，已知 AD?AC=AB?AE 求证： ADE ABC解答】 证明： AD?AC=AE?AB

7、，=在 ABC 与 ADE 中 A=A ，证： AC=3，AB=5， AD= ， ABC AED AED=ABC， EAG=BAF， AEG ABF ABC ADE EDG=ACF， DAG=CAF， ADG ACF（ 2） = ， = ， ADG ACF，练习 1】如图，在 ABC中，D、E分别是 AB、AC上的点， AE=4，AB=6，AD：AC=2：3， ABC的角平分线AF 交 DE于点 G，交 BC于点 F （1）请你直接写出图中所有的相似三角形；2）求 AG 与 GF的比又 DAE= CAB， ADE ACB， ADG= C， AF为角平分线， DAG= FAE ADG ACF，试

8、求出 a；若不存在，图内含正方形 A 字形，结论 AH a a （ a为正方形边长）AH BC【例 5】如图， ABC，是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边 BC上的高， BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长 HG是宽 HE的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边EF在 BC上，顶点 G、H分别在 AC，AB上， AD与 HG的交点为 M；1）求证：2）求这个矩形 EFGH的周长；3）是否存在一个实数 a，当 HE=a 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，请说明理由【解答】（ 1）证明：四边形 HEFG为矩形， HGEF，而 AD BC， AM BC， AHG A

9、BC， = ；2）解：设 HE=x， HG=2x，则，解得 x=12，这个矩形 EFGH的周长 =2x+4x=6x=72 （ cm）；3）存在当 HE=a，则HG= a+30 S 矩形 HEFG=a（ a+30） = a2 +30a当 a=时，S 矩形 HEFG 最大，即当 HE= cm 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大练习 1】如图， ABC，是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边 BC上的高， BC=80cm，AD=60cm，从这张硬纸片上剪下一个长 HG是宽 HE的2倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF在 BC上，顶点 G、 H分别在 AC， AB上，AD与 HG的交点为 M（ 1）

10、试说明： = 的理由；（ 2）求这个矩形 EFGH的面积四边形 EFGH为矩形， EFGH， AHG= ABC， 又 HAG= BAC， AHG ABC，（ 2）解：设 HE=xcm， MD=HE=xcm， AD=60cm， AM=（60x）cm，HG=2HE， HG=2xcm，由（ 1）得可得解得， x=24，故 HE=24， HG=2x=48，则矩形 EFGH的面积 =24 12=1152cm2E为 CB 延长线上一点，且【例 6】如图，在 ABC中，D为 AC上一点， AD=EB过 D点作 DH BC交AB于 H，如图， DHBC， AHD ABC， = ，即 = ， ，即 ， DHBE

11、， BEF HDF，=，AD=EB例 7】如图，在 ABC中， BAC=90，BC的垂直平分线交 BC于点 E，交 CA的延长线于 D，交 AB 于点 F， AE2=EF?ED BAC=90 B+ C=90， D+C=90 B= D，BC的垂直平分线交 BC于点 E， BAC=90BE=EA， B= BAE， D= BAE， FEA=AED， FEA AED，AE2=EF?“旋转型 ”相似三角形，如图若图中 ABC，该图可看成把第一个图中的 【例 8】如图，在 ABC与 ADE中， BAC=D，要使 ABC与 ADE相似，还需满足下列条件中的（1= 2， B=D（或 C= E），则 ADE A

12、DE 绕点 A 旋转某一角度而形成的ABCD BAC= D， C练习 1】如图所示， 在 ABC与 ADE 中， AB?ED=AE?BC，要使 ABC与 ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是 B= E（答案不唯一） （只加一个即可）并证明条件， B= E证明： AB?BC， B= E，条件， BAD= CAE，求证： B= E（答案不唯一）练习 2】如图，已知： BAC=EAD， AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40 ABC AED AB=20.4， AC=48， AE=17， AD=40 = =1.2 ， = =1.2， BAC= EAD，【练习 3】如图，在 ABC和

13、ADE 中，已知 B=D， ABC ADE如图， BAD=CAE， BAD+ BAE=CAE+BAE， 即 DAE= BAC又 B= D， ABC ADE练习 4】如图， ABC、 DEP是两个全等的等腰直角三角形， BAC= PDE=901）若将 DEP的顶点 P放在 BC上（如图 1），PD、PE分别与 AC、AB 相交于点 F、G求证： PBG FCP；2）若使 DEP的顶点 P与顶点 A重合（如图 2），PD、PE与 BC相交于点 F、G试问 PBG与 FCP还相似吗？为什么？如图 1， ABC、 DEP 是两个全等的等腰直角三角形， B= C=DPE=45 BPG+ CPF=135在 BPG中， B=45 BPG+BGP=135 ， BGP= CPF， B= C， PBG FCP；（2）解： PBG与 FCP相似理由如下：如图 2， ABC、 DEP是两个全等的等腰直角三角形， BGP=C+ CPG=45+CAG，CPF= FPG+CAG=4 AGP=CPF， PBG FCP课堂小结：