函数恒成立问题参变分离法.docx

1、函数恒成立问题参变分离法学 科数学课题名称函数恒成立问题参变分离法周次教学目标教学重难占、函数恒成立问题一一参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量， 另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧， 即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量 的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变 量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵 循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字

2、母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即 可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系 过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：（X-1） 1 等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值)，则也无法用参变分离法解决 问题。(可参见”恒成立问题一一最值分析法”中的相关题目)4、参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设x为自变量，其范围设为 “X)为函数；。为参数，g(a)为其表达式) (1)若/(x)的值域为用, VxeD,g(a)/(x)，则只需要g(a)Nf (x)g =M

3、3xt0,g(a)f(x),则只需要(初皿=M玉e0,gv/(x),则只需要g(a)v/(x)g=M3x e 0,g(a) f (x),则只需要 g(。) f (%)=机(2)若的值域为(肛M)1Vxe ),g(a) /(x),则只需要 g(a) mPxwD,g(a)/(x),则只需要VxO,g(4)/(x),则只需要(注意与(1)中对应情况进行对 比)3玉e),g(a)/(x),则只需要g(a) vM (注意与(1)中对应情况进行对 比)*e0,g(a)vx),则只需要g(a)MHxe,g(a)/(x),则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比) 士(x),则只需要5、多变量恒成立问题：对于

4、含两个以上字母(通常为3个)的恒成立不等式, 先观察好哪些字母的范围已知(作为变量)，那个是所求的参数，然后通常有 两种方式处理(1)选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含 参数的一侧可以解出最值(同时消去一元)，进而多变量恒成立问题就转化为 传统的恒成立问题了。(2)将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的 表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。二、典型例题：例1：已知函数=炉-内，若/22A恒成立，则实数”的取值范围是思路：首先转化不等式，f (x) = ex+ae即，十:之2。恒成立，观察不等式 e“与便于分离，考虑利用参变分离法，使

5、了分居不等式两侧，a-ex)2 +2s/3ex ,若不等式恒成立，只需-(er+2辰,令 /maxg(x) = -卜了+2/ =-卜-6+3 (解析式可看做关于6、的二次函数，故配方求最值)g(x) =3,所以上3u /max答案：a3例2：已知函数f(x) = lnx，,若在(1,+eo)上恒成立,则的取值范 X围是 思路：恒成立的不等式为便于参数分离，所以考虑尝试参变分 X离法解：nx- - X2 xlnx-/a xlnx-x3, 其中 xe(l,+oc) x二只需要 a 令 g(x) = xlnx-x3g) = l + lnx-3/ (导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将nx

6、变为:，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定g(x)的符号，不妨 先验边界值)g(l) = -2, g (力=白6x =匕Q0,(判断单调性时一定要先看定义 A X域，有可能会简化判断的过程).送3在(1,+00)单调递减，送(力且(1)0 =观外在(1,4-答案：a-注意：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无 法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导 数，进而通过单调性和关键点(边界点，零点)等确定符号。例3：若对任意xeR,不等式3/_2斯2凶-2恒成立，则实数的范围是.思路：在本题中关于的项仅有2or一项，便于进行参变分离，但由于则

7、分离参数时要对工的符号进行讨论，并且利用x的符号的讨论也可把绝对值去掉,进而得到。的范围,3x2-2axx-2ax当 x0时, 1 1 4 42a 2. 3x1 = 2I 4xJmin 4x 4x V 4x ：.2aa3x+ + 而 3x +1 +上=1 - -3x + - |-2=6/-l 综上所述：-答案：一1441 注意：(1)不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进 而去掉绝对值，在本题中对X进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二 是参变分离时确定不等号的是否变号。(2)在求x解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的 构造函数求导出最值的方法，简化了

8、运算。(3)注意最后确定”的范围时是三部分取交集，因为是对入的取值范围进行 的讨论，而无论取何值，”的值都要保证不等式恒成立，即。要保证三段范 围下不等式同时成立，所以取交集。例 4 ： 设 函 数 f(x) = x2- ， 对任意 的g,+s)“2)_4L/(x)K/(x-l) + 4/(?)恒成立，则实数小的取值范围是2axa ，令/(x) = -X X1 /min对绝对值内部进行符号讨论， 即2x h F 厂-2, -2 x 4 .； ,而y = x + - + V-2在(点,4)单x + + 2-x0 x 0 Xx调递增，)，=1+ 3 + 2-/在(0,应单调递减，,可求出)=2后

9、X答案：a /2例6 ：设正数/()= +)g()=、，对任意为,工2 e(0，*)，不等式 X “业恒成立，则正数攵的取值范围是( )k k + 思路：先将放置不等号一侧，可得g(王)J,所以以皿丸g(xj, 先求出g(x)的最大值,8(月=/.(17)，可得g(x)在(0,1)单调递增，在 (l,o)单调递减。故g(x)心=g6 = e,所以若原不等式恒成立，只需 幺区“，不等式中只含攵,王，可以考虑再进行一次参变分离，k + 空? “土早1小,),则只需 ,k + k k L - Jminf 3 =矢乂 =八 + W 2Kg = 2e , /(A2)mjn = 2e所以e.巴42e解得：

10、k k答案：k 1例 7：已知函数/(x) = G-(2 + l)x + lnxMeH,g(x) = e;x-l,若对于任意的 x1 (O,-hx),x2 e/?,不等式/()g(X2)恒成立，求实数的取值范围思路：“X)含有参数，/，而g(x)为常系数函数，且能求出最值，所以以g(x) 为入手点：若内)泊(9)恒成立，则只需.亦g(X)Ln。可求出g(xL=。， 进而问题转化为 e(O,y),竭-(2a + l)+ln0恒成立，此不等式不便 于利用参变分离求解，考虑利用最值法分类讨论解决解：/(内) g(/)恒成立只需 /(w)0 解得：x0g (x)在(,0)单调递减，在(0,y)单调递增

11、“(4一二。/. VX e(0,-Hx) , ax： (2a + 1)国 +nxl 0时，令 = 1a则/ + = In | = In 2 + 0 ,与/(x)0 矛盾 a J y a J a)当aWO时，2-1 0解得xvl./(X)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减”(Lx =/(1) = 4一(加 + 1) = -一1/. 6Z 1 6/ 1综上所述：“ e TO注意：(1)在例6,例7中对于多变量恒成立不等式，都是以其中一个函数作 为突破口求得最值，进而消元变成而二元不等式，再用处理恒成立的解决方 法解决。（2）在本题处理工）0时估计/（X）函数值的变化，可发现当Xf+O0时，加

12、+ 1）式 （）（平方比一次函数增长的快）在选取特殊值时，因为发 现久1时，Inx已然为正数，所以只需前面两项相消即可，所以解方程 o?-（2a + l）x = 0 = x = 2 = 2 + L0,刚好符合反例的要求。a a例8：若不等式x + + 对任意正数恒成立，则正数。的最小值是（）A. 1 B. 2 C. 42+- D.2272 + 1思路：本题无论分离x还是分离y都相对困难，所以考虑将.ay归至不等号的 一侧，致力于去求表达式的最值：x + 2/7（x + y） =之+ ,I f Lx 从2yj2xy入手考虑使用均值不等式：2yj2xy = 2x - 2y /十）=2,所以心2 x+ y x+ y答案：B注意：（1）在多变量不等式恒成立问题上处理方式要根据不等式特点灵活选 择合适的方法，本题分离。与K），很方便，只是在求二元表达式最值上需要一 定的技巧。(2)本题在求x + 2廊的最大值时,还可以从表达式分子分母齐次的特点 x + y 一入手，同时除以x (或y)：-V + 2yl2xy _ 些，在通过换元不隔化为一元表达式，再求最值即可。例9：已知函数月=受空，如果当工之1时，不等式恒成立，X X+ 1求实数%的取值范围.思路：恒成立不等式为上1丝2一，只需不等号