广东高考文科数学试题及答案校对版.doc

1、2013广东高考文科数学试卷及答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A；【解析】由题意知，故；2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C；【解析】由题意知，解得且，所以定义域为； 3. 若，则复数的模是（ ）A. B. C. D. 【答案】D；【解析】因为，所以，根据两个复数相等的条件得：即，所以，的模；4. 已知，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C；【解析】；5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值是（ ）A. B. C.

2、 D. 【答案】C；【解析】时，；时，；时，；图1 图26. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B；【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为的等腰直角三角形，高为，所以该三棱锥的体积；7. 垂直于直线且与圆相切于第象限的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A；【解析】设所求直线为，因为垂直直线，故的斜率为，设直线的方程为，化为一般式为；因为与圆相切相切，所以圆心到直线的距离，所以，又因为相切与第一象限，所以，故，所以的方程为；8. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D.

3、若，则【答案】B；【解析】若与相交，且平行于交线，则也符合A，显然A错；若，则，故C错；，若平行交线，则，故D错；9. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D；【解析】由焦点可知可知椭圆焦点在轴上，由题意知，所以，故椭圆标准方程为； 10. 设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题： 给定向量，总存在向量，使； 给定向量和，总存在实数和，使； 给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； 给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答

4、案】B；【解析】容易判断是对的，给定单位向量和正数，可知的方向确定，的模确定，如图，若，则等式不能成立；给定正数和，则和的模确定，若，则等式不成立；二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（1113题）11. 设数列是首项为，公比为的等比数列，则_；【答案】；【解析】由题意知，所以；12. 若曲线在点处的切线平行于轴，则=_；【答案】；【解析】因为，所以，因为曲线在点处的切线平行于轴，所以，所以；13. 已知变量满足约束条件，则的最大值是_；【答案】；【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为，代入可知的最大值为；（二）选做题（1415题，考生只能

5、从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为_；【答案】（为参数）；【解析】因为曲线的极坐标方程为；所以 ，；可变形得：，可变形得：；由得：；故的参数方程为；15. （几何证明选讲选做题）如图，在矩形中，垂足为，则=_；【答案】；【解析】因为在矩形中，所以，所以；在中，因为，由余弦定理得：，所以；三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数.（1） 求的值；（2） 若，求.【答案与解析】（1）；（2）因为，所以；17. （本小题满分12分

6、）从一批苹果中，随机抽取个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；（2） 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？（3） 在（2）中抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个的概率；【答案与解析】（1）重量在的频率；（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，则重量在的个数；（3）设在中抽取的一个苹果为，在中抽取的三个苹果分别为，从抽出的个苹果中，任取个共有种情况，其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种；设“抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个”为事件，则事件的概率；18. （

7、本小题满分14分）如图，在边长为的等边三角形中，分别是上的点，是的中点，与交于点. 将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中.（1） 证明：；（2） 证明：；（3） 当时，求三棱锥的体积.图4 图5（1）证明：在图中，因为是等边三角形，且，所以，；在图中，因为，所以平面平面，所以； （2）证明：在图中，因为因为是等边三角形，且是的中点，所以；在图中，因为在中，所以，又因为，所以； （3）因为，所以平面，又因为平面平面，所以平面；所以；19. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列；（1） 证明：；（2） 求数列的通项公式；（3） 证明：对一切正整数，有.（1）证明

8、：因为，令，则，即，所以；（2）当时，所以，因为各项均为正数，所以；因为构成等比数列，所以，即，解得，因为，所以， ，符合，所以对也符合，所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，；（3）因为，所以；所以对一切正整数，有.20. （本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为. 设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点.（1） 求抛物线的方程；（2） 当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3） 当点在直线上移动时，求的最小值.【答案与解析】（1）因为抛物线焦点到直线的距离为所以，又因为，所以解得，抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的方程为；（2）因为抛物线的方程为，即，所以，设过点的切线与抛物线的切点坐标为，所以直线的斜率，解得或；不妨设点坐标为，点坐标为，因为，所以；所以直线的方程为，代入整理得：或；（3）点坐标为，点坐标为，点坐标为，因为；所以，；因此=，所以当时，取最小值；21. 设函数.（1） 当时，求函数的单调区间；（2） 当时，求函数在上的最小值和最大值.【答案与解析】（1） 因为，所以；当时，所以在上单调递增；（2） 因为，； 当时，即时，在上单调递增，此时无最小值和最大值； 当时，即时，令，解得或；令，解得或；令，解得；因为，作的最值表如下：极大值极小值则，；因为；，所以；因为；所以；综上所述，所以，；11