正方形经典难题(有解析).doc

1、正方形经典难题(有解析）已知正方形ABCD是一个正方形。一、F为CD上一点，G为对角线BD上一点，且FGBD，M为BG中点，连接AM、MF。求证：AM=MF，AMMF方法一：考虑到M是BG中点，GFBC，所以想到倍长中线证明：延长CB、FM交于点I，连接AI、AFGFCD，GFBCGFM=MIB又GM=MB，IMB=FMGGMFBMI所以MF=MI，BI=GF在RtADF与RtABI中AB=AD，DF=GF=BIADF=ABI=90ADFABI所以AF=AI，1=2IAF=2+BAF=1+BAF=90所以IAF是一个等腰直角三角形又MI=MFAMF是一个等腰直角三角形所以AM=MF，AMMF方

2、法二：可以将需要证明的结论看做是一个三角形绕M点旋转90的结果，条件中又有MG=MB，所以想到构造一个三角形与MGF全等。证明：延长FG交AB于J，连接JMGFCD四边形AJDF和四边形BJFC均为矩形所以AJ=DF=GF，BJ=CF在BJG中，JBG=45，GJBJ，又M为BG中点故JM=BM=GM，BJM=45DGF=45MGF=AJM=135在AJM和FGM中，JM=GM，AJ=GF，MGF=AJMAJMFGMAM=MF，AMF=JMG=90，即AMMF二、E是BC上一点，F是CD上一点，EAF=45，AE、AF分别交BD于M、N，连接MF求证：AMMF，AM=MF方法一：联想到上题的图

3、形，仍然考虑过F做CD的垂线证明：过F做FHCD交BD于H，过F做FGAF交AE延长线于G，连接AH、HG、BGEAF=45AFG为等腰直角三角形AF=FG又AFD=GFH=90-AFHDF=HFADFGHFHG=AD，HGHFHG=AB，HGAB所以四边形AHGB是平行四边形M是AG中点AMF为等腰直角三角形AMMF，AM=MF方法二：首先证明一个题目四边形ABCD是一个正方形，F为CD上一点，QD为ADS的角平分线，且QF=BF求证：QFBF证明：过F分别向QD、BD做垂线，垂足分别为G、HADSCGDF=QDS=45又BDC=45所以CD是HDG的角平分线又HFBD、FGDGHF=FG在

4、RtQFG和RtBFH中QF=BF，HF=FG所以QFGBFHQ=DBFQFB=QDB=90即QFBF联想到此题的做法，给出以下证明证明：过A做AQAE，并截取AQ=AM，连接QF，过F分别向QD、BD做垂线，垂足分别为G、HAQAM，ADABQAD=MAB又AQ=AM，AD=ABAQDAMBADQ=ABM=45又ADCDCDG=45CD平分BDG又HFBD，FGDGHF=FG在AQF和AMF中QAF=EAF=45AQ=AM，AF公共所以AQFAMFQF=FM在RtQFG和RtMFH中，QF=FM，FG=HFQFGMFHDQF=DMFQFM=QDM=90又AQ=QM，QF=FM，QAM=90易

5、证四边形AQFM为正方形所以AMMF，AM=MF三、E为BC上一点，F为CD上一点，EAF=45，AE、AF分别交BD于M、N，连接EF。（1）求证：EF=BE+DF。考虑使用截长补短来证明证明：在CD延长线上截取DG=BE，连接AGAB=AD，ADG=ABE=90，DG=BEADGABEAG=AE，GAD=EABGAE=DAE+GAD=DAE+BAE=90EAF=45GAF=45又AG=AE，AF公共所以GAFEAFEF=GD+DF=BE+DF（2）求证：AFD=AFE=AMN，AEB=AEF=ANM证明：GAFEAFAFD=AFE在DNF和ANM中，NAM=NDF=45DNF=ANMAFD

6、=AMNAFD=AFE=AMN、同理可得AEB=AEF=ANM（3）求证：联想到勾股定理，所以考虑把三条线段移到一个直角三角形中证明：过A做AHAM，并截取AH=AM，连接HN，HD显然有HAD=MAB，AH=AM，AD=ABHADAMB所以HD=BM，HDA=ABD=45HDDNMAN=45HAN=45又AH=AM，AN公共ANHANMHN=MN在HDN中，即（4）求证：构造直角三角形，应用勾股定理证明：过N分别向AD、AB做垂线，垂足分别为I、J显然有所以同理有（5）连接NE、MF，求证：AM=MF，AMMF；AN=NE，ANNE 见第二题（6）求证：注意到AMF是等腰直角三角形，ADDF

7、，回归到基本图形下面给出一种证明证明：过M做MLDM交DA延长线于L则LMD为等腰直角三角形LM=DM，L=MDF=45又LMA=DMF=90-AMDLAMDFMLA=DF同理可得（7） 过M向CF做垂线，垂足为P，求证：P为CF中点； 过N向CE做垂线，垂足为Q，求证：Q为CE中点。证明：连接MF，CM在AMB和CMB中AB=BC，ABM=CBM=45，BM公共AMBCMBAM=CM由第二题结论，AM=MFMF=CM则FMC是等腰三角形又MPCFP为CF中点同理，Q为CE中点（8）求证：证明：过M做MTBE于T则BMT为等腰直角三角形由（7）的结论，CF=2CP=2MT同理（9）求证：证明：

8、由（3）的结论，由（8）的结论，即（10）过F做CD的垂线FR交BD于R，求证：RM=BM证明：延长FR交AM于S，交AB于T，连接TM、MF由第二题的结论有，AM=MF，AMMFFTAB，AST=FSMTAS=SFM又AT=DF=RFATMFRMTM=RM又RTB为等腰直角三角形RM=MB（11） 分别过E、F向BD做垂线，垂足分别为S、R求证：看到（10）中的结论，此题迎刃而解证明：过F做FTCD交BD于T则DFT为等腰直角三角形又RFDTDR=RT又由（10）中结论有TM=BM同理有（12） 求证：证明：连接MF、NE，过N做AE的垂线NK交AE于K由第二题的结论，ANE和AMF均为等腰

9、直角三角形KN=AK=KE（13）P为EF中点，连接PM、PN求证：PMN是等腰直角三角形证明：连接MF，由第二题的结论EMF=90又P为EF中点同理有1=180-2AEF2=180-2AFE又AEF+AFE=180-EAF=1351+2=90MPN=90PMN是等腰直角三角形（14） 过M、N分别做AB、AD的平行线交于点Q，连接AQ，求证：AQEF，AQ=QM=QN证明：由（13）的结论，PMN为等腰直角三角形QMABQMN=ABD=45同理QNM=45QMN为等腰直角三角形四边形PNQM为正方形连接NE由第二题结论，ANE=90ANQ=PNE=90-QNE又AN=NE，QN=PNANQE

10、NPNAQ=NEP，AQ=PE又PE=NP=QN=QMAQ=QM=QN延长AQ交EF于HNEP+NFE=90NAQ+NFE=90AQEF（15） 已知正方形边长为a，令DF=x，BE=y，请问x、y之间有何数量关系？解：由（1）中结论EF=DF+BE=x+yCF=a-x，CE=a-y展开，整理得四、如图，已知正方形纸片ABCD，E为BC延长线上一点，F为边AB上一点，将纸片沿直线EF翻折，点B恰好落在AD边上的点G，连接GE交CD于H点。若AG=2，CH=3，求正方形边长。解：过B向GH做垂线BM，垂足为M连接BG、BH由于GFE是由BFE翻折得到所以很容易得到BGE=GBEADBCGBE=AGBAGB=BGE又BAG=BMG=90BG公共AGBMGBGM=AG，ABG=GBM同理有MH=CH，CBH=MBHGBH=GBM+MBH=设正方形ABCD边长为a，由第三题（15）问结论有，解得，舍去正方形边长为6