完整版考研微分方程知识归纳Word文件下载.docx

1、设的通解为 = 0（y,CJ,即V = 0（y,Cj （阶）r dy - : =x+ C、0（y,cj _5、 二阶线性微分方程（1）形式非齐次 y + p（x）yf + q（x）y = f（x） （1）齐次 y + p（x）y + g（x）y = O （2）（2）解的结构定理1若y 2为（2）的两个解，则G儿（x） + C2（x）为（2）的解。定理2若y2（x）为（2）的两个线性无关的解，则C$（x） + C*2（x）为（2）的 通解。 XW、F ,（刀线性无关O丄心-建常数。 儿（x）定理3若y（%）, y 2（x）为（1）的两个解，则y（x）- y2（x）为（2）的解。定理4若儿（x）为

2、（2）的解，y（x）为（1）的解，贝!Jy（x）+y（x）为（1）的解。定理5若Cy（x） + q儿（x）为（2）的通解，yx）为（1）的一个特解解，则（1）通 解为 y = G）（x）+c*2（x）+6、 二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程y+py + qy = 0 （ p, q 为常数）的通解：特征方程A2 + pA + q= 0的判别式厶=p - 4qy = Cx + C2ex （A0,有两相异实根人仏）2y = （C + C2x）ex （ A = 0 * 有两相等实根 / = 22 = /0）y = （CcosJ3x+ C2 smpx）eax （ A 0）满足微分方程xy

3、n-y, + 2 = 0 ,当曲线y = y（x）过 原点时，其与直线x = l及y = 0所闱成平面区域D的面积为2,求绕y轴旋转所得旋转体体积。（2009数学二）解将微分方程A/-y + 2 = 0变形为1 2y =（x0）（不显含y ） （1）x x注意到方程（1）为关于:/及x的一阶线性微分方程，则yf = e（J（- ）e dx + 2Cj=严（* （一彳）dx+2Cj =（J* （- f+J=x（+CJ = 2 + 2Cxxx于是，有y = Cx2 + 2x+C2由 y = y（x）过原点,得 q = 0 ,则 y = Ctx2 + 2x o又由2 = *；（阳+ 2惦= + 1,

4、得C1=3,从而所求函数为 y = 3x2 + 2x于是Vy = x（3x2 4- 2x）dx =2”J： （3x3 + 2x2 ）dx = # 龙。注意 1 用公式Vy=2xf（x）dx要简便得多! Cy = f（x）9xea,b（不显含y）。（2010注意2可降阶的高阶微分方程07年也考到，07、09都为/ = /（%,/） 型。例6三阶常系数齐次线性微分方程）严-2十+ #-2），= 0的通解为_ 数学二）解特征方程为才_2 才+2_2 = 0因式分解得（2 2）（，+ 1） = 0特征根为人=2人=通解为y = Cte2x + C2 cos x + C3 sin x注意与08年类似。例

5、7设函数y = f（x）由参数方程x = lt + t 所确定，其中0（f）具有二阶导 数,且0（1）=二,0（1） = 6。已知1等= 一，求函数0（/）。（2010 数学二）2 dx 4（1 + 0心）虫必）旦dx 2（1 + /） dt 2（1 + /） dx0（）（1 + f） -（f） 1 =0）（1 + f）（/）2（1 + 厅 2（1 + /） _ 4（1 + 厅又瞑=一，则df 4（1 + /）心）（1 +）一必）= 3（1 +厅a） -一 0（。=3（i+1）（这是关于及t的一阶线性微分方程）1 + /则f f i-J/y/f（t） = /1+/ （J 3（1 + t）e J

6、 出 df + CJ=严）（j 3（1 + tyedt + C）=（i+f）+cj = 3/2+（C+y）t+q由 0（1） = 6 ,得 6 = 3 + （C + 3） + C, C = 0= 3t2 + 3tz 3 3、小= t +-t + C25 5 3由0（1）= _,得一 =1+一+ cC.=02 2 2 所以有3l/（t）=e+-t2注意1 一阶线性微分方程是考试重点（x=（p（t）注意2由参数方程? 心所确定的函数的导数也是考试的重点I y = 0（。dy _ y/t） 巧 心）0（r）-以/0（/）dx（P0 dx2 0（/）其中公式d_0（/）0（/） -矿（/）dx 必）可

7、与曲率公式A. 0（f）严联系起来记。例8微分方程/-22y = + e-Zx （20）的特解的形式为（）B、ax（eAx + eAx）D、x2（aex + bex）a、y+严）C、x（aeAx +beAx）（2011 数学二）解特征方程为r-A2=0特征为rY=r2=-A （单根）/ 才y =严的特解可设为m严,y-A2y =的特解可设为xbeAx 于是，应选C。注意特解的可叠加性例9微分方程+y =厂cosx满足条件），（0） = 0的解y = （2011数学二）y = e （J ex cos x edx + C）-（J cos * e x + C）= Q（sinx+C）由y（0） = 0

8、 ,得C = 0,则满足条件y（0） = 0的解y = ersmx注意1应检验是否为y+y = e cosx的解注意2进一步说明：一阶线性微分方程是考试重点例10设函数y = y（x）具有二阶导数，且曲线l：y = y（x）与直线y = x相切于原点，记G为曲线/在点（X,刃外切线的倾角，若 f = g,求y = y（x）的表达式。（2011数学二）ax clx解 Fh tail = y ,有 a = arctaii yf,从而dadx又由学=字,得dx dx/ = y（i+y2）（不显含 x ） = p，则y = p雲,从而有 dy = tan（y + Cjn 由）（0） = 0, y（0） = 1,得 1 = tan C., C.=。4TT/ = tan（y + ）（此为可分离变量的微分方程）hisiii（y + ） = x + hiC2或rrsmy + -） = C2ex由 y（0） = 0,得 C?=丰，贝ijy = aicsin（ ex） 2 4注意1利用导数的几何意义建立微分方程注意2微分方程y = y（l+/2）也不显含y ,但解法较繁