复变函数考试题及答案Word文件下载.docx

1、 10.若0是. 三.计算题（40分）： 1. 设 （z?1）（z?2），求f（z）在d?z:0?|z|?1内的罗朗展式. dz.?1cosz2. 3?2?7?1d? c?z3. 设，其中c?3，试求f（1?i）. w? 4. 求复数1的实部与虚部. 四. 证明题.（20分） 1. 函数为常数. 2. 试证: f（z）在区域d内解析. 证明：如果|f（z）|在d内为常数，那么它在d内 在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?1上岸取正值的那支在z?1的值. 复变函数考试试题（一）参考答案 一 判断题in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，（k?z）；4.

2、 z?i； 5. 1 0n?1? 6. 整函数；7. ?；8. 三计算题. 1. 解 因为0?1, 所以0? 1?zn111n（）. f（z）? 2n?02（z?2）1?z2（1?）n? 2 9. 0； 10. ?. （n?1）!2. 解 因为 resf（z）?limlim1?1, coszz?sinzz?21. coszz?sinz 所以 sf（z）?resf（z）?0. z?2cosz?i（re? 3. 解 令?（?）?3?1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内,）c?i?（z）. 所以f?（1?i）?（z）z?i（13?6i）?6?13i）. 4. 解 令z?a?bi, 则 w

3、?122a（?bi）2a（?1）b2 . 2?1222221z?1（a?1）?b（a?ba（?bz?12（a?1）z?12b , . ）?im（）?1）2?b2z?b2 故 re（ 四. 证明题. 1. 证明 设在d内f（z）?c.令f（z）?u?iv, 则f（z）?u2?v2?c2.uux?vvx? 两边分别对x,y求偏导数, 得?uuy?vvy? （1）（2） 因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy?vx. 代入 （2） 则上述方程组变为022 . 消去ux得, （u?v）vx?0. ?vux?uvx? 1） 若u?v?0, 则 f（z）?0 为常数. 2） 若vx?0, 由方程 （1

4、） （2） 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. （c1,c2为常数）.所以f（z）?c1?ic2为常数. 2.证明f（z）? 的支点为z?0,1. 于是割去线段0?1的z平面内变点就 不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以的幅角共增加 . 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分22支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z?1的幅角为, 故f（? 复变函数考试试题（二） 一. 判断题.（20分） 1. 若函数f（z）?u（x,y）?iv（x,y

5、）在d内连续，则u（x,y）与v（x,y）都在d内连续. （ ） 2. cos z与sin z在复平面内有界.（ ） 3. 若函数f（z）在z0解析，则f（z）在z0连续. （ ） 4. 有界整函数必为常数. （ ）5. 如z0是函数f（z）的本性奇点，则limf（z）一定不存在. （ ） 6. 若函数f（z）在z0可导，则f（z）在z0解析. （ ）7. 若f（z）在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f（z）dz? 8. 若数列zn收敛，则rezn与imzn都收敛. （ ） 9. 若f（z）在区域d内解析，则|f（z）|也在d内解析. （ ） 111 10. 存在一个在零点解析的函数

6、f（z）使f（）?0且f（）?,n?1,2,.12n2n 二. 填空题. （20分） 1. 设z?i，则|z|?_,argz?_,?_i 2.设f（z）?（x2?2xy）?i（1?sin（x2?y2）,?x?iy?c，则limf（z）?_. 3.z0）n?_.（n为自然数）4. 幂级数?nzn的收敛半径为_ . 5. 若z0是f（z）的m阶零点且m0，则z0是f（z）的_零点. 6. 函数ez的周期为_. 7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为_. 8. 设f（z）? ，则f（z）的孤立奇点有_. 2z 9. 函数f（z）?|z|的不解析点之集为_. 10. res（,1）

7、?_. 4 三. 计算题. （40分） 3 sin（2z）的幂级数展开式. 1. 求函数 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点zi处的值.|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）ii 3. 计算积分： 的右半圆. 4. 求 sinz）2 . 四. 证明题. （20分） 1. 设函数f（z）在区域d内解析，试证：f（z）在d内为常数的充要条件是f（z）在d内解析. 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 复变函数考试试题（二）参考答案 一. 判断题.【篇二：复变函数题库（包含好多试卷,后面都有答案）

8、】复变函数考试试题（一） 一、 判断题（20分）： re zn im zn 都收敛. （ ） 4.若f（z）在区域d内解析，且c （常数）.（ ） 5.若函数f（z）在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（ ） 6.若z0是f（z）的m阶零点，则z0是1/f（z）的m阶极点. （ ） limf（z） 7.若 存在且有限，则z0是函数f（z）的可去奇点. （ ） 8.若函数f（z）在是区域d内的单叶函数，则f（z）?d）. （ ） 9. 若f（z）在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?0. （ ） 10.若函数f（z）在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f（z）在区域d内恒等

9、于常数.（ 二.填空题（20分） dz1、 |z?z（z? _.（n为自然数） 0|? 0） 2.sin _. z2 5.幂级数?nzn的收敛半径为_. 7.若limn? zn? ，则 _. ezres（ 8.z ,0）? _，其中n为自然数. ）9. sinzz 的孤立奇点为_ . z10.若0是 f（z）的极点，则z? 1（z?2）dz._ d，求f（z）在? 2. 1cosz |z|? 3. 设 d? ，其中c? 0?如果|f（z）|在d内为常数，那么它在d 内8. 若数列zn收敛，则rezn与imzn都收敛. （ ） 9. 若f（z）在区域d内解析，则|f（z）|也在d内解析. （ ）

10、 10. 存在一个在零点解析的函数f（z）使f（二. 填空题. （20分） 1n? ）? 12n 且f（1,2,. 2.设（x?sin（x?y）,? ，则limf（z）? dz（z?z0） 4. 幂级数? 11? ，则f（z）的孤立奇点有_.|z|的不解析点之集为_. 10. res（1z 4 ,1）?_. 三. 计算题. （40分） 1. 求函数 sin（2z） 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z? i |z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?4. 求 复变函数考试试题（三

11、） 一. 判断题. （20分）. 1. cos z与sin z的周期均为2k?.（） 2. 若f（z）在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f（z）在z0解析. （） 3. 若函数f（z）在z0处解析，则f（z）在z0连续. （） 4. 若数列zn收敛，则rezn与imzn都收敛.（） 5. 若函数f（z）是区域d内解析且在d内的某个圆内恒为常数，则数f（z）在区域d内为常数.（） 6. 若函数f（z）在z0解析，则f（z）在z0的某个邻域内可导.（） 7. 如果函数f（z）在d?1上解析,且|f（z）|?1（|z|?1）,则 |f（z）|?1）. （）8. 若函数f（z）在z0处解析，则它在该点的

12、某个邻域内可以展开为幂级数. （） 9. 若z0是f（z）的m阶零点, 则z0是1/f（z）的m阶极点. （） 10. 若z0是1. 设f（z）? f（z）的可去奇点，则res（f（z）,z0）?0. （） 1z? ，则f（z）的定义域为_. 1n 2. 函数e的周期为_. 3. 若zn?21?n ，则limz?_. 4. sin2z?cos2z?_.5. 6. 幂级数?nxn的收敛半径为_. 7. 设f（z）?8. 设e ，则f（z）的孤立奇点有_.1，则z?_. 9. 若z0是 f（z）的极点，则limf（z）? zn 10. res（ 1. 将函数f（z）?zez在圆环域0?内展为lau

13、rent级数. 2. 试求幂级数 n! 的收敛半径. 3. 算下列积分： edzz（z?9） 22 ，其中c是|z|?1. 4. 求z?2z?8z?0在|z|1内根的个数. 四. 证明题. （20分） 1. 函数 96如果|f（z）|在d内为常数，那么它 在d内为常数. 2. 设使得当| f（z）是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数r及m，z|?r时m|z|， 证明 f（z）是一个至多n次的多项式或一常数。【篇三：复变函数试题与答案】一、 选择题 1当z?i时，z100?z75?z50的值等于（ ） 1? （a）i （b）?i（c）1 （d）? 2设复数z满足arc（z?2）?

14、 3，arc（z?5?，那么z?（ ） 6 1331?i （d）?i 2222（a）?3i （b）? 3复数z?tan?i（3?i （c）?）的三角表示式是（ ） 2） （b）sec?（a）sec22?） 22（c）?sec3?）（d）?sec?） 2222 224若z为非零复数，则z?与2z的关系是（ ） 2222（a）z?2z （b）z?2z 22（c）z?2z （d）不能比较大小 设x,y为实数，则动点（x,y）z1?yi,z2?yi且有z1?12， 的轨迹是（ ） （a）圆 （b）椭圆 （c）双曲线（d）抛物线 一个向量顺时针旋转?3，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为3i

15、，则原向量对应的复数是（ ） （a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?使得z2?z成立的复数z是（ ） 2 （a）不存在的（b）唯一的 （c）纯虚数 （d）实数 设z为复数，则方程z?i的解是（ ） （a）?3333?i （b）?i 4444 满足不等式z?2的所有点z构成的集合是（ ） z? （a）有界区域 （b）无界区域 （c）有界闭区域 （d）无界闭区域 10方程z?3i?2所代表的曲线是（ ） （a）中心为2?3i，半径为2的圆周 （b）中心为?3i，半径为的圆周 （c）中心为?3i，半径为2的圆周 （d）中心为2? 11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （a）z?2

16、（b）z?4 z?1） （d）z?0（c?0） 1?az（c） 12设f（z）?,z1?3i,z2?i,，则f（z1?z2 ）4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4i 13limim（z）?im（z0）（ ） x?x0z? （a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在 14函数f（z）?iv（x,y）在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（ ） （a）u（x,y）在（x0,y0）处连续（b）v（x,y）在（x0,y0）处连续 （c）u（x,y）和v（x,y）在（x0,y0）处连续（d）u（x,y）?v（x,y）在（x0,y0）处连续 2115设z?c且z?1，则函数f（z）?的

17、最小值为（ ） z3 （b）?2（c）?1 （d）1 二、填空题 1设z?i）（2?i）（3?i），则z? （3?i） 2设z?（2?3i）（?i），则argz? 3设z?,arg（z?，则z? （cos5?isin5? 4复数的指数表示式为 2（cos3?isin3? 5以方程z?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为 不等式z?5所表示的区域是曲线的内部 6 方程2z?1所表示曲线的直角坐标方程为2?i）z 方程z?2i?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线 对于映射? 2i22，圆周x?（y?1的像曲线为 z410lim（1?2z）? 三、若复数z满足z?2i）z?2i）?0，试求z

18、?2的取值范围 四、设a?0，在复数集c中解方程z2?a. 五、设复数z?i，试证z是实数的充要条件为z?1或im（z）?0. 21?六、对于映射?11（z?），求出圆周z?4的像. 2z 七、试证.z1?0（z2?0）的充要条件为z1?z1?z2；0（zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n）的充要条件为 z2.zn?zn. 八、若limf（z）?0，则存在?0，使得当0?z0?时有f（z）?x01a. 2 九、设z?iy，试证x?y 2?y. 十、设z?iy，试讨论下列函数的连续性：2xy,z?1.f（z）?x2?y2 ?0,z?x3y?,z?02.f（z）?y2. 第二章解析函数 一、选

19、择题： 1函数f（z）?3z在点z?0处是（ ） （a）解析的（b）可导的 （c）不可导的 （d）既不解析也不可导 2函数f（z）在点z可导是f（z）在点z解析的（ ） 4 2（a）充分不必要条件 （b）必要不充分条件 （c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件 3下列命题中，正确的是（ ） （a）设x,y为实数，则cos（x?iy）? （b）若z0是函数f（z）的奇点，则f（z）在点z0不可导 （c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f（z）?iv在d内解析 （d）若f（z）在区域d内解析，则在d内也解析 4下列函数中，为解析函数的是（ ） （a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi （c）2（x?1）y?i（y2?x22x）（d）x3?iy3 5函数f（z）?z2im（z）在处的导数（ ） （a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在 6若函数f（z）?2xy?axy?x2）