高教社杯全国大学生数学建模竞赛天津商业大学.docx

1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛天津商业大学2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写

2、）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 天津商业大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 林飞 2. 杨改梅 3. 石佳乐 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：孟丽丽 日期： 2007 年 9 月 21 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长预测模型 摘要 在深刻理解题意的基础上，通过

3、对问题的深入分析后，考虑到中短期内人口的增长速率较为稳定，且几乎不会受到资源环境，国家政策等因素影响，因此我们对中短期内我国人口增长的预测建立Leslie模型。对于长期总人口增长的趋势，我们选取增长率作为反映变量，利用伽玛曲线，经对数变化将其转化成多元线性模型，进而求得总人口的预测方程。在进行短期预测时，考虑到城市、城镇和乡村育龄女性生育率的不同，所以在预测过程中将总人口分为三个组别，即城市、城镇和乡村三组，分别利用Leslie模型各组的在中短期的人口数量（5年后和10年后）进行了预测。考虑到改革开放以来，农村人口中有相当大的比例向城市和城镇转移，因此在预测过程中我们考虑了迁移等因素对人口增长

4、的影响。另外，在建模的过程中也考虑到男女出生比例失调的现实问题，在预测的过程中将采用预测得到的各年的男女比例（中短期内较为稳定），从而对Leslie模型进行了修正。利用修正的Leslie模型预测到2010年人口总数约为1328216000，2015年的人口总数约为1345426000我们认为在长期，诸如男女比例，人口迁移等微观因素只会改变人口结构（如地区结构），而对总人口数量的影响不大，可以忽略不计，国家的对人口的宏观政策、自然资源、社会环境等因素则起重要作用。本文中，选择以时间变量为解释变量，以人口增长率的变换作为因变量建立多元线性回归模型对未来人口进行预测。该模型是基于以下假设关系：，其右

5、边是一条纵向平移的伽玛曲线，该曲线反映了我国人口增长率在解放后先快速后缓慢增长直至达到自然资源所能承受的最大人口数量，然后缓慢下降，逐渐接近稳态。这一关系体现了人与自然的和谐发展。以上关系经变换后可以得到，依据经验对A进行估计后，并假定A服从对数正态分布，于是以上模型就是常用的多元线性回归模型。在此模型的解释变量中反映了以随时间的变化率的形式出现的因素对人口增长率的综合影响，而解释变量t反映了以可加形式出现的随时间变化的因素对人口增长率的综合影响。该模型的主要优点是可以得到预测值的置信区间且能够得到任意时刻人口总量的估计值。结果表明，我国在20062034年这一时间段内，人口增长率呈下降趋势，

6、人口以较慢的速度增长，在2034年达到自然资源和社会资源所能承受的最大人口数量，此时的人口数量的预测值为140556万人。在2034年之后的人口增长率为负值，人口将呈现缓慢的下降趋势。人口将进入一个暂时的稳定阶段。关键词： Leslie模型 人口迁移 多元线性回归模型 伽玛曲线 对数变换 置信区间 一. 问题重述近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 做出了进一步的分析。人口问题是影响社会发展的一个非常重要的问题，能够在历史数据的基础上，对未

7、来人口发展的趋势和数量进行较为准确的预测并结合实际制定科学的人口规划和人口政策，对于我国的经济和社会的发展具有重要的意义。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量经验和数据资料。不过，对未来人口的预测仍是处于探索中。本文的目的是，从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据）， 探索中国人口增长的发展规律，采用不同的数学模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并通过实证研究对所建立的模型进行评价。 三、中短期人口数量预测（一）问题的分析基本假设在中短期的人口数量预测中，出生率和死亡率，迁移率人口结构是影响人口发展趋势的主要因素。

8、该问题需要解决的是通过建立Leslie人以及模型对我国人口在五年到十年增长的趋势作出相对准确的预测。考虑如下基本假设： (1) 假设妇女每胎只生一个婴儿，无双胞胎或多胞胎出生;(2)假设抽样是根据人口比来抽样的;(3)假设短时间内女性生育率波动不大，其它条件如社会和自然环境，法律法规等影响人口变化的因素变动不大。(二)、基本符号说明 :T年城市人口总数 M:为城市女性人口增长矩阵N:为城市男性人口增长矩阵 :t岁城市女性人口占总人口的比例 :t岁城市男性人口占总人口的比例: t岁城市女性生育率: T年第i组女性的生育女婴率:T年第i组女性的生育男婴率: T年城市中男女出生比例（女100计）:

9、Z年普查到的城市X到X+5岁女性人口数:Z年普查到的城市各个年龄段女性人口数向量:Z年普查到的城市各个年龄段男性人口数向量 :女性在X年到X+5年 的存活率 :男性在X年到X+5年 的存活率 : 女性在X 年到 X+5年之间内生育女婴率 :04岁总男婴人数 (三)模型的选取及计算过程 从附录里我们可以得到2001年到2005年人口数据，假设希望估计2006年到2010年的人口，我们按照年龄，性别，地区将人口以组距为5年进行分组，就如形式, , 等等按性别年龄。要估计2006年到2010年的人口（女性），借助性别生命表，有=这样就可以得到了2005年5-9岁组女性人口数目。 表示生存率。所以我们

10、通过上式能够得到2005年5岁以上不同性别和地区人口数量。为了估计女性人口的，我们应估计5年间所有女性成活产儿以及他们的生存率，女性生育率集合可记为，等，可以用来估计五年中的女性出生。例如考虑女性组为他将带给多少个单位？首先在20062010年这五年期间年龄组将经历生育和生育（对于那些活过25岁的），假定这种经历是均匀分布的，女性成活产儿数大概是每年（.）,5年可直接乘以5而求得，对于那些活到2010年的新生女婴建立模型需要乘以（利用女性生命表），因此组的贡献表示为：5.（.）=.（.）特别要提醒的就是在小于15岁和大于49岁的女性生育率为0。 由上述分析我们可得到Leslie矩阵：M=将Le

11、slie矩阵乘以 量将得到向量。所以利用Leslie矩阵可以预测未来五年或十年的我国人口数模型的求解： 以城市女性为例，利用excel 将附录中的数据进行处理，以城市女性为例，1：的求解过程， 首先求出以5岁为一组，各组的生育率 而对于小于15岁和大于49岁的女性生育率为0我们就不再列其表了，下面通过在excel 中引用上述式子计算出15岁-49岁生育率，通过观察我们发现2003年的数据异常，因此我们给2003年女性生育率取2002年和2004年数据的线性插值如表（三）。对1995年到2005年的生育率（表一）利用Matlab 补全2000年数据并对所有数据进行线性拟和可知：人口生育率成下降趋

12、势，但是根据国家近年政策（因为长期实施计划生育导致人口生育率不断下降，造成抚养比例下降等不利于国家经济发展等因素，因此在近期内人口生育率可能将有所上升）的变化，通过对数据及现实状况的分析我们取每个年龄组的生育率为2001年到2005年同年龄组的均值即： 1995年到2005年生育率()（表一）年代市育龄妇女生育率镇育龄妇女生育率乡育龄妇女生育率199537.27143.65154.505199656.6145.957.83199737.7740.6955.79199836.2281.7353.63199935.14250.92000/200131.0337.1146.3200226.6834.

13、8745.17200326.735.944.3200429.1335.9143.56200526.332.6139.92 （表二） 城市女性生育率()年龄组2001200220032004200515-190.8948660.5958990.1896091.7112072.99513920-2452.2937756.068146.46537669.2902866.0004725-29105.497196.027528.916083100.96178.9893830-3431.8968130.208952.65048129.7180128.7413335-396.6988446.1737650.

14、5519667.0654387.39300440-440.6523190.9873990.1472731.3240881.53297245-490.2045660.520240.0262360.0946590.669808镇女性生育率()年龄2001200220032004200515-191.4050561.0262070.4297323.7292615.37265220-2488.90491104.408411.94238112.4009121.232725-29111.779298.0234810.03937106.002783.4204630-3428.5380130.50162.4768136.2121733.5546135-398.4355915.5906990.7231259.5828229.69616540-441.5754491.8764110.2279581.0897161.82523945-490.2141010.2335510.1163780.378040.709635