专题713解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展Word文件下载.docx

1、4 3方法 2:由 C2 ：x2 =4y 知 F1 （0,1），设 M （x, y）（x : 0），因 M 在抛物线 C?上,故 x2 = 4y 又 |MF1 | ，则,yoyo -1 =5,由解得&二一？ 63 32 2 2 6 2G）2（-3-）2 4而点M椭圆上，故有壬 一3 =1即 2a2 b2 9a28 2 2計,又c则b =a 由可解得a2#b2, 椭圆C1的方程为（2）设 A（Xi,yJ, B（X2,y2）,Q（x, y）.为一 t .x2 =1 -由 AP - - PB 可得:（1 为,3 yj j一.（x2 _1,y2 -3）,即卜一九y2 =3（1丸）X + 扎x =（1+

2、h）X由 AQ 二 QB 可得:（x -x1, y _yj =，（x2 _x,y2 - y），即y + 扎 y2 =（1Uy 得：x/.2x22 =（1.2）x 得:y；-袞2y22 = 3y（1-%2）两式相力口得2 2 2 2 2 2 . . 2 2（捲十力）一人 区 +y2 ） =（1-九）（x+3y）又点 A, B在圆x +y=3上， 且九鼻1 ,所 以2 2 2 2N yi =3 ,x2 y2 =3 即 x 3y = 3 , 点 Q 总在定直线 x 3y =3 上.- 1变式1 :在平面直角坐标系 xOy中，已知定点A（ 4,0）、B（4,0）,动点P与A、B两点连线的斜率之积为 .

3、4（1）求点P的轨迹方程；（2） 设点P的轨迹与y轴负半轴交于点 C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为,3r.1求O M的方程；2当r变化时，是否存在定直线 l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线 l的方程；如果不存在，说明变式2:已知椭圆E：令占=1（a b 0）的离心率为 a b,它的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2 ,理由.直线AF1, AF2分别交椭圆于点 B, C .满足直线BO的方程，即直线 BO平分线段AC .AC的中点坐标（3C,直线AF!的斜率为.2，此时直线 AR的方程为y 2（x c）,对称性知C（3c, 2c）

4、. （2）设过P的直线I与椭圆交于两个不同点的坐标为 M （论，yj, N（x2,y2） ,点 Q（x,y）,2捲一扎x2 mx 2 ,ny1- 由于m, n, C为常数，所以点 Q恒在直线2mx 3ny -6c2 =0 上.点Q恒在直线2x 、.2y -2 = 0上.的动直线I与椭圆交于两个不同点 M, N，在线段MN上取点Q,满足，则点q恒在定直线PN QN笋晋1上.（极点和极线问题）探究 2:平面直角坐标系 XOy 中，圆 C1: （x 3）2 （y -1）2 =4和圆 C2 ：（x-4）2 （y 5）2 =4.求直线I的OA匚互相垂直的 圆G截得的 件的点p的（1）若直线I过点A（4,

5、0）,且被圆Ci截得的弦长为2 3 , 方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点 P的无穷多对直线li和I2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被 弦长与直线|2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条 坐标.（1）设直线|的方程为：y=k（x_4），即kx_y_4k=0由垂径定理，得：圆心 G到直线I的距离d 42 -（3）2 =1，27化简得：珈2 *00曲刃求直线1的方程为：y=0 或 y 二 7 （x 4），即 y = 0 或 7x 24y-28-024 设点P坐标为（m, n），直线I1、I2的方程分别为:因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半

6、径相等。圆 心G到直线l1与C2直线l2的距离相等。4 1故有：丨-3k T n-kmj k 5 “ k m|，k2 1 耳（2 _m_n）k = m_n_3,或（m_n 8）k = m n _ 5关于k的方程有无穷多解，有:2- m - n = 0 I m-n+8=0 （ 或Im - n -3 二 0 m+n-5=0解之得：点P坐标为（_3 I3）或（ _1）.（2, 2） （2 2）变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点戸（、3,0），F2C. 3,0）的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点 A，轨迹C上有不同的两点 P和Q，且AP -AQ二0（1）求轨迹C的方程;（2）直线

7、PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由变式 2:已知圆 C : x2 - y2 =9，点 A（ -5,0），直线丨：x - 2 y = 0 （1） 求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程；-PB（2） 在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B （不同于点 A），满足：对于圆C上任一点P，都有一一PA为一常数，试求所有满足条件的点 B的坐标拓展：在直角坐标系xOy中，椭圆x y 1的左、右焦点分别是FF2，点A为椭圆的左顶点，圆0的9 4方程为x2 y =4，是否存在不同于点 A的定点B 对于圆0上任一点P，都有 为一常数，若存在， ， PA试求所有

8、满足条件的点 B的坐标；若不存在，说明理由变式3 :在平面直角坐标系 xOy中，已知直线1: 2. 2x y+ 3+ 8. 2 = 0和圆C1 : x2 + y2 + 8x + F= 0.若 直线l被圆C1截得的弦长为 2 3 设圆G和x轴相交于A, B两点，点P为圆C1上不同于A, B的任意一 点，直线FA, PB交y轴于M, N两点当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？ 请证明你的结论；已知抛物线y2 =8x与椭圆 务-% =1有公共焦点F，且椭圆过点D（-、2,、3）.过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点 P、Q,则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经

9、过，说明理由值得注意的是：若题干中出现两条互相垂直的直线，一般用设而不求的思想（当两直线斜率均存在时，可设两直线斜率分别为 k和-一，然后进行运算）k变式4:如图，椭圆的中心为原点 0,离心率e=-, 条准线的方程为 x = 2.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P满足：0P= OM + 20N，其中M, N是椭圆上的点，直线 0M与0N的斜率之积为一？，问： 是否存在两个定点 F1, F2，使得IPFJ+ |PF2|为定值？若存在，求出 F1, F2的坐标；若不存在，说明理由.变式5:已知左焦点为 F（ 1 , 0）的椭圆过点E（1 ,厶3）.过点P（1 , 1）分别作斜率为k1, k2

10、的椭圆的动弦AB, CD，设M , N分别为线段 AB, CD的中点.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若P为线段AB的中点，求k1；（3）若ki + k2=1，求证直线 MN恒过定点，并求出定点坐标.依题设c=1，且右焦点F （1, 0）.所以，2a=EF EF = .（1 1）2 2 3 = 2.3 , b2=a2 C=2,Y 13 丿3故所求的椭圆的标准方程为 n 1.3 2X1 V1 X2 y设 A（x1 , y1 ）, B（x2 , y2 ）,贝V =1 ， 二1 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C1: （x 1）2 y1，圆C2 : （x-3）2 （y -4）2（1）若过

11、点G（-1,0）的直线I被圆C2截得的弦长为6，求直线I的方程；（2） 设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.证明：动圆圆心 C在一条定直线上运动；=1 .动圆C当 k1k20时，10 6k2k1x （106kk 1kH 2 1）2, -9k2k1 -9k2k1 2 3匕 2综上，直线 MN恒过定点，且坐标为 （0,-|）.第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值.近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算” ，少考一点“想”是否经过定点？若经过，求出定点

12、的坐标；若不经过，请说明理由.【分析】（1）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况，然后再进行求解;（2）的第小题其实质是求轨迹问题，即以圆 C的半径相等作为等量关系来证明结论； （2）的第小题 的求解要学会与第 小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论（设直线1的方程为y MX 1），即k-y 0 .因为直线1被圆C2截得的弦长为6，而圆C2的所以直线I的方程为4x 3y 4 =0或3x 4y 3 =0 .（2） 证明：设圆心C（x, y），由题意，得CG =CC2，即.（x 1）2 y2 = （x -3）2 （y -4）2 .化简得 x y -3 = 0 ,

13、 即动圆圆心C在定直线x y -0上运动. 圆C过定点，设 C（m, 3-m），则动圆C的半径为 1 CG2=1 （m 1）2 （3-m）2 .于是动圆 C 的方程为（x -m）2 （y -3 m）2 =1 （m 1）2 （3-m）2 .整理，得 x y 6y -2 - 2m（x - y *1）=0 .x = 1 3 . 2,得 2 _或y =2 ；、2；所以定点的坐标为1 -3、2,2 -3 & , 1 2 &,2 3 & .反思：1、第（2）题的第小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑2、定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然

14、后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。探究3 :已知椭圆E：右+ ” 1（ab0）的离心率为乎且过点P（2, 2），设椭圆E的右准线I与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为 B，直线AB被以原点为圆心的圆 0所截得的弦长为4仝.（1）求椭圆E的方程及圆0的方程;若存在一个定圆 M ,Q在一个定圆上.求证：存在一个异于 M的点Q,对于圆0上的任意一点 N,有MQ（2）若M是准线I上纵坐标为t的点,C的方程为（x 1）2+ y2= 4, P为圆C上一点.APB恒为60，则圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为 A, B，当P在圆C上运动时，使得/

15、（1）求椭圆标准的方程;（3）设椭圆的上顶点为 Q,在满足条件（2）的情形下证明： PQ =pr+PF2 .】拟 1 ） HI+ u:中 VIa -Sv-6 = 0 j a i心變也为 /（-2V3JI） . A；3.0） *故“ = 土 = J5所以阳=3.豊輛闘序起址：二+咚“ 12 92）说心p （斗 刃+凶为片 -aJ3. o） r 2jr LI対为再一厲=+所以uin（/T a） = V3.taryS他 n 2寸 3 r肉対他“一血）=|化“呻一 F + ）二3所L-T；4nr 3亠诟化闆術Jf +亠2r= 3.I軒U血尸机应闘工t十.曲即=3匕3叮甩1三”十心一3尸=护+_/如+头

16、 国为3rbl PQ1=l-4y.存搗邙转或血艸 怯碉（岸杀-获5卄严即7 -阖曲 駄;三号二和十旳*所以左尸FA尸巧三4越灵*#=氏+ A * P X；4-.12r=5 I . .2 2 . -探究4:在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆亏+ y2= i（a b 0）的离心率为石,其焦点在圆x2 + y2= 1上. a b 2（1）求椭圆的方程；（2） 设A、B、M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角 0,使0M = cos OA + sin Ob.1求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；2求 OA2+ OB2.如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆B : （x 1）2+ y2= 16

17、与点A（ 1,0）, P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线 PB于点R,点R的轨迹记为曲线 C. （1）求曲线C的方程；（2）曲线C与x轴正半轴交点记为 Q,过原点O且不与x轴重合的直线与曲线 C的交点记为 M、N，连结QM、QN，分变式2 :已知椭圆C过点A（1-），两个焦点为（一1, 0）, （1, 0），2（1）求椭圆C的方程；定值，并求出这个定值变式3:如图，已知椭圆-2 亠 =1 a b r 0 j过点 CP为椭圆上任意一点（除（坐）且离心率为 ,A, B是长轴的左右两顶点,2 2 3A,B 外），PD _ x 轴于 D，若 Pt.QDi： 1,0 .（1）试求椭圆的标准方程

18、;（2）当 P 在 C 处时，若.QAB =2. PAB，试求过Q、A、D三点的圆的方程;（3）若直线QB与AP交于H，问是否存在使得HPDAB xOH的长为定值，若存在求出 的值，若不存在说明理由.”1 a .b 0过点5中于），且离心率为寸，解: （1厂椭圆由-6，得a 3所求椭圆方程为x一 +ac 二x +=1（2） A（、3 , 0）, P （在Rt PAD中,即DA2 .2tan ZPAD =-,）,a 3b ,丄 2 =1, b2 =14b 4b,0）,tan ZQAB =tan2/PAB =D-D-4 4 2 82 -3、3 9-3 3 9 3-Q ,-2 8D , Q三点圆是以

19、AQ为直径的圆,其方程为（x3）（x -=0 ,即y（y-（3） A（, 0）, B （ 3 , 0），设 P （ X。,yo）, Q （ xo, yQ）则 D （ xo, 0）T TPQ =（ 0 , yQ y0）, QD =（ 0, yQ ）,由PQ= QD得（, yQ y ）=扎（0, yQ）, yQ y =九 yQ, y = 丫01 +人直线AP的方程为= J0、3（x 倚直线BQ的方程为yo一（1 ）帆 - .3）（x ，3）x得y（1 ）（xo -3）z 2 Xo 2 2（x -3），又一 yo =1 , yo 二3 x；代入1 2 X 2 13（厂（x -3），万程 3（T y

20、即为直线 AP与直线BQ的交点H的轨迹方程,要使OH为定值，则必须方程X 1y2 表示圆，此时3（1 -丿“）=1,3（1 ） 1 二=一，即存在=，使OH为定值.33说明：若先求 AP与BQ的交点坐标，则解题过程较繁H /3（2 + 九）Xo 3 丸 V3yo ）xo , 3（2 ： 1） - xo ；3（ ）OH 2 = J2 + 丸）xo _3扎2 + 2 廳yo 2；* . 3（2 ： ；） J3（2：*j=3（2 +”）2 _4运 _6巧? （2 + *）xo +9k2 +12 人 2x2 2再7一（2 + Qxo +3（2 + 九）2要使OH为定值，则必须满足3（2厂仁-6 3 （

21、2）二匚弋,九2 2廳人（2 +人）3（2+扎）2解之得z.=，即存在.=，使0H为定值.在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C: X + - = 1 .m 8 m（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数 m的取值范围；（2） 若m = 6,P是椭圆C上的动点， M点的坐标为（1, 0），求PM的最小值及对应的点 P的坐标； 过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆 C于A, B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴 于点N，证明：AB是定值，并求出这个定值.解（1）由题意得，m8 m0,解得4v mv 8. 即实数m的取值范围是（4, 8）.（2）因为m = 6,所以椭圆C的方程为x十专=1.6

22、 2设点P坐标为（x, y）,则冷十 = 1 .因为点M的坐标为（1, 0）,所以2 2 2 2 x 2xPM2 = （x 1）2+ y2= x2 2x+ 1十 2 -=可2x+ 32 3 3=3（x 2）2十2，x 6, 6.从而椭圆设 A （xi,C的右焦点F的坐标为（2, 0）,右准线方程为x= 3,离心率e=f.2 2 竺+止=16 十 2 1，y1）, B （X2, y2）, AB 的中点 H （x0, y）,则管十笃=1，所以当x =号时，PM的最小值为-2，此时对应的点 P坐标为（|,2 2 2所以6-十T= 0,即 kAB=x2 =-益令k = kAB,则线段AB的垂直平分线I

23、的方程为y yo= （x xo）.令 y = 0，贝V xn= ky+ x0=3x0.因为 F（2, 0），所以 FN =氐2| = 沟一3|.因为 AB = AF十 BF = e（3 冷）十 e（3 x2）= 236|x。一 3|.故AB =于摻=6 .即AB为定值6.已知椭圆 7=1 a b 0的长轴两端点分别为 A,B, P x,y0 y 0是椭圆上的动点,以AB为一边在x轴下方作矩形 ABCD,使ADkbk 0 , PD交AB于点F.（1）如左图，若k -1，且P为椭圆上顶点时， PCD的面积为12,点O到直线PD的距离为5，求椭圆的方程BEC（2）如右图，若k = 2，试证明：AE,EF,FB成等比数列探究5:已知圆P: x2（y-2）2=1, Q为x轴上的动点，圆Q与圆P相外切，圆Q与x轴交于M、N两点.在y轴上是否存在一异于原点的定点 A,使得乙MAN为定值？若存在，求出点 A的坐标；若不存在，请说明理由.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？