1、L=1, 有 1 个旋转因子: wN =WiN/4 =w2jlJ=0第二级:L=2,有2个旋转因子:wn=wN/2 = w;J=0,1第三级:L=3,有4个旋转因子:wN = wN = w;J=0,1,2,3对于N= 2m的一般情况,第L级共有2L-1个不同的 旋转因子:2l =2m X2l-m = N 2L-M故:按照上面两式可以确定第 L级运算的旋转因子卩一屯=呛严=昭尸P 二”严,3、 同一级中,同一旋转因子对应蝶形数目第L级FFT运算中,同一旋转因子用在2m-l 个蝶形中;4、 同一级中,蝶形运算使用相同旋转因子之间 相隔的“距离”第L级中,蝶距:D=2l ;5、 同一蝶形运算两输入数
2、据的距离在输入倒序,输出原序的 FFT变换中,第L 级的每一个蝶形的2个输入数据相距:B=2l-1。6、码位颠倒输入序列x(n)经过M级时域奇、偶抽选后, 输出序列X(k)的顺序和输入序列的顺序关系为 倒位关系。将十进制顺序数用I表示,与之对应的二进制是 用IB表示,十进制倒序数用J表示,与之对应 的二进制是用JB表示。十进制顺序数I增加1, 相当于IB最低位加1且逢2向高位进1,即相 当于JB最高位加1且逢2向低位进1。JB的变 化规律反映到J的变化分为两种情况,若 JB的 最高位是0( JN/2),则直接由加1 (J J J+N/2 ) 得到下一个倒序值,若 JB的最高位是1 (J全 N/
3、2),则要先将最高位变 0 (J J J-N/2 ),再在 次高位加1 (J J J+N/4 ),但次高位加1时,同 样要判断0、1值,如果是0 (JN/4 ),则直接 加1 ( J J J+N/4 ),否则要先将次高位变0(J J J-N/4 )再判断下一位,依次类推,直到完 成最高位加1,逢2向右进位的运算。I=J时不 需要交换,只对IJ时的情况进行数据交换即可, 数据倒序程序框图如如2。7、蝶形运算的规律序列经过时域抽选后,存入数组中,如果蝶形运算的两个输入数据相距 B个点,应用原位 计算,蝶形运算可表示成如下形式:XL (J)= XL-1(J)+ WNp X L-1 (J+B)Xl (
4、J) = Xl-i(J)-WnP -XL-1(J+B)p=J X2M-L, J=0,1,2,,2l-1 18 DIT-FFT程序框图根据DIT-FFT原理和过程,DIT-FFT的完整程序框图如图2:(1)倒序:输入自然顺序序列x(n),根据倒序规 律,进行倒序处理;循环层1:确定运算的级数,L=1M (N=2m); 确定一蝶形两输入数据距离B=h 循环层2:确定L级的B=2l-1个旋转因子;旋转 因子指数 p=JXzM-L, J=0B-1;个蝶形运算中:k的取值从J到N-1,步长为2L(4)循环层3:对于同一旋转因子,用于同一级2M-L(使用同一旋转因子的蝶形相距的距离)(5)完成一个蝶形运算
5、图2数据倒序程序框图图3 DIT-FFT的完整程序框图三、程序源代码设计函数 myDitFFT(x n) 完成一个序列的 DIT-FFT 运算:fun cti on y=myDitFFT(x n)M=n extpow2(le ngth(x n);N=2AM;disp(调用fft 函数运算的结果:),if len gth(x n)=K;J=J-K;K=K/2;J=J+K;倒序后各存储单元的数据 :disp(x n);%分级按序依次进行蝶形运算disp( 运算级次:),disp(L);B=2A(L-1);for R=0:B-1; %各级按序蝶算P=2A(M-L)*R;for K=R:2AL:N-2
6、; %每序依次计算T=x n(K+1)+x n( K+B+1)*WN(P+1);xn( K+B+1)=x n( K+1)-x n( K+B+1)*WN(P+1);xn (K+1)=T;本级运算后各存储单元的数据 :在主函数中调用 myDitFFT(xn)函数实现DIT-FFT并和直接DFT运算结果做对比:xn=0,1,2,3,4,5,6,7;myDitFFT(x n);调用fft函数运算的结果:1至7列28.0000 + 0.0000i -4.0000 + 9.6569i-4.0000 + 4.0000i -4.0000 + 1.6569i-4.0000 + O.OOOOi -4.0000 -
7、4.0000 - 4.0000i8列-4.0000 - 9.6569i调用myDitFFT(xn)函数运行的结果:输入到各存储单元的数据:0 1 2 3 4 56 7倒序后各存储单元的数据:0 4 2 6 1 53 71本级运算后各存储单元的数据:4 -4 8 -41.6569i6 -410 -4运算级次:本级运算后各存储单兀的数据:1至7列12.0000+ 0.0000i-4.0000+ 4.0000i-4.0000i16.0000-4.0000 + O.OOOOi3本级运算后各存储单元的数据1 至7列28.0000+0.0000i+ 9.6569i4.0000i+ 1.6569i-1.65
8、69i经对比可知DIT-FFT与直接DFT的运行结果完全 相同。四、总结经过验证可发现DIT-FFT较直接DFT运算有着明 显的优势,我们可以将这个函数运用在多个领域 以简化运算,例如计算离散时间序列的卷积或计 算IDFT时都可以应用到DIT-FFT算法,我感受 到数字信号处理中科学思想的魅力。由于对设计 思路的缺乏,我在设计程序时,在网络上查找了 很多有关DIT-FFT的资料,经过学习他人的解决 思路最后才整理出DIT-FFT的程序,在有些地方 我自己理解的还不是很透彻,比如在实现数据倒 序的程序我认为比较困难;当然即使自己想不到 能学习一下别人的思路也是很好的, 这个程序的 代码量并不大,我自身的能力还很低,要在以后 的学习中不断进步才能完成更加复杂的任务。这 次课程设计让我对快速傅里叶变换有了更多的 了解,也认识到了科学计算方法的重要性,我感到很充实。参考文献 XX百科;J.电子技术,2011 (2)数字信号处理 (第四版)西安电子科技大学出版社高希全丁玉美编
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