厦门大学《高等代数》期末试题及答案数学系Word文档下载推荐.docx

1、C） 当r m 时，方程组 AX = 有解； D） 当r = m 时，方程组 AX = 有解。4）设 A 是m n 阶矩阵， B 是 n m 阶矩阵，且 AB = I ，则 。A） r（ A） = m, r（B） = m ； B） r（ A） = m, r（B） = n ；C） r（ A） = n, r（B） = m ； D） r（ A） = n, r（B） = n 。5）设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换 在基 ,1 1 1, 下的表示矩阵是|1 0 1| ，则 在基1 , 22 ,3 下的表示矩阵是 。1 2 3| | |1 1 1| 1 2 1 1 1 1 | | | 2 |

2、| 2 |1A） | 2 0 2 | ； B） |0 1 | ； C） | 1 D）| 2 0 2 | 。| 1 2 1 | 1 | 2 6）设 是 V 到 U 的线性映射， dim V = n, dim U = m 。若m n ， 则（ A + B）x = 0 （选填“必有”，“未必有”）非零解。必有5） 设1 ,2 ,.,n ，1 ,2 ,.,n 是V 的两组基， （1 ,2 ,.,n ） = （1 ,2 ,.,n ）P 。又若 V 中向量 在基1 ,2 ,.,n 下的坐标向量是 X ，则 在基1 ,2 ,.,n 下的坐标向量是 。 PX6） 设V1 ， V2都 是 n 维 线 性 空 间

3、 V 的 子 空 间 ， 且dim（V1 +V2 ） = dim V1 +1 ， 则dim V2 - dim（V1 V2 ） = 。 0 1 0 7） 设 是V 到 U 的线性映射，且（1 ,2 ,3 ） = （1 ,2 ） | 0 0 1 | ，其中1 ,2 ,3 ，1 ,2 分别是 V 和 U 的一组基，则Ker = ， Im = 。 L（1 ） ， U 或 L（1 ,2 ） 0 -1218） 设 A = | | ，由 X AX 定义了R上的线性变换 ，则 的不变子空间是 。0 ，R三、 （6 分） 设向量组 1 ,2 ,3 是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系。问下列向量组1

4、+ 22 + 3 ， 21 + 2 + 23 ，1 + 2 + 3 是否也是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系？为什么？四、 （10 分） 设 是数域K 上 n 维线性空间V 的线性变换， 是V 中一个向量，且满足 n -1 （ ） 0 ， n （ ） = 0 。证明： , （ ）,., n -1 （ ） 是 V 的一组基，并求 在这组基下的表示矩阵。五、 （10 分） 设 A 是 n 阶方阵且r（ A） = r 。求证 A2 = A 的充要条件是存在n r 矩阵 S 和r n 矩阵T ，使得 A = ST ， TS = Ir ， r（S ） = r（T ） = r 。充分性。直接计

5、算 A2 = STST = SIT = A 。 Ir Ir Ir 必要性。对矩阵 A，存在可逆矩阵 P，Q 使得 A = P | 0 | Q = P | 0 |（Ir , 0）Q 。令 S = P | 0 | ， T = （Ir , 0）Q ，可证 P，Q 即为所求。显然， S 和T 分别是n r 矩阵和r n 矩阵，且因 P，Q 可逆，所以r（S ） = r（T ） = r 。下证TS = I 。由 A2 = A ，得P Ir QP Ir Q = A2|= A = P Ir0 |Q 。 （*）因 P，Q 可逆，所以 I= r0 | |0 | 。 （*）-1-1 Ir （法一）（10 级 尹思

6、文）将（*）等式两边分别左乘（Ir , 0）P，右乘Q| 0 | ，得（Ir , 0）QP | 0 | = Ir ，即TS = Ir 。 （法二）（10 级 李宏生，王邑良，吉子龙，夏宇静）由（*），r | | r |TS = （I , 0）QP Ir = （I , 0） Ir Ir = （I , 0） Ir| | r |0 0 Ir 0 | 0 | = Ir 。 Ir Ir Ir TS TS （法三）（*）式 = | 0 |（Ir , 0）QP | 0 |（Ir , 0） = | 0 |TS （Ir , 0） = | 0 |（Ir , 0） = | 0 | ，故TS = Ir 。 （法四）（

7、10 级 李荣刚）将 A 视为线性变换 在 n 维线性空间 V 的某基下的表示矩阵，由同构对应，则 2 = 。设 的秩为 r，r +1 ,.,n 是Ker 的一组基，将扩成1 ,.,r ,r +1 ,.,n 为 V 的一组基，则（1 ）,.,（r ） 线性无关，且可证（1 ）,.,（r ）,r +1 ,.,n 是 V 的一组基。事实上，因为 V 的维数是 n，因此只要证明（1 ）,.,（r ）,r +1 ,.,n 线性无关即可。设六、 （10 分） 设 V 是数域 K 上 n 维线性空间， , 是 V 上线性变换，且 2 = 0 ， 2 = 0 ， + = idV ，其中idV 是 V 上恒等

8、变换。求证：（1） V = Ker Ker ；（2）V 必是偶数维线性空间。附加题：（10 分）设 ， 是 n 维线性空间 V 上线性变换，且r（ ） + r（ ） n 。存在 V 上可逆变换 ， 使 得 = 0 。（法一）设1 ,2 ,.,n 是 V 的一组基， 和 在该基下的表示矩阵分别是 A 和 B 。 Ir 0 对 A, B 分别存在可逆阵 P, Q, S,T ，使得 A = P | 0 | Q ，B = S | I |T 。令C = Q-1S -1 ，| | | k | 0 | | 0 |则C 可逆，且 ABC = 0 。定义 V 上线性变换 （1 ,2 ,.,n ） = （1 ,2

9、 ,.,n ）C ，则 可逆，且 = 0 。 I p Iq （ 法二）（ 10 侯晓宇，郑鹭鹏， 郑鹊）如上设 A = P | 0 | Q ， B = S | 0 |T 。令| | | |C = Q-1 |I qIn - p -qI p | S -1 。（法三）（10 裴姗姗）设r（ ） = r, r（ ） = k ，则 r + k n ，k n - r 。又设k +1 ,k + 2 ,.,n 是Ker的一组基，将其扩为 V 的一组基1 ,.,k ,k +1 ,.,n ，则 （1 ）,., （k ）线性无关，记i = （i ） ，1 i k ，将1 ,.,k 扩为 V 的一组基1 ,.,k ,

10、k +1 ,.,n 。再设1 ,., k , k +1., n- r 是Ker 的一组基，将其扩为 V 的一组基1 ,., k , k +1., n- r , n -r +1 ,., n 。定义 V 上线性变换 :i i ，1 i n 。则 可逆，且 = 0 。（ 法四）（ 10 吴璇） 设 r（ ） = k ， 即 dim Im = k 。记1 ,2 ,.,k 是 Im 的一组基， 扩为1 ,.,k ,k +1 ,.,n 为 V 的一组基。设 r（ ） = r ，即dim Im = r ，则dim ker = n - r 。记1 ,2 ,.,n- r 是 ker 的一组基，扩为1 ,.,n- r ,n- r +1 ,.,n 为 V 的一组基。i i ,1 i n ，则 是 V 上可逆线性变换（因将 V 的基映射为 V 的基） 。下证 = 0 。对任意 V ， （ ） Im， （ ） = c11 + c22 + . + ckk 。因 r（ ） + r（） = k + r n ， 所以k n - r ，且 （i ） = （i ）0,1 i k ，进而