1、全国通用届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲141坐标系与参数方程第1课时坐标系学案14.1坐标系与参数方程第1课时坐标系最新考纲考情考向分析1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.会求伸缩变换,求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点,主要与参数方程相结合进行考查,以解答题的形式考查,难度中档.1平面直角坐标系设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面
2、直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换2极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系点O称为极点,射线Ox称为极轴平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(,)称为点M的极坐标称为点M的极径,称为点M的极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)(0)建立一一对应的关系我们设定,极点的极坐标中,极径0,极角可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点,它的
3、直角坐标为(x,y),极坐标为(,)由图可知下面关系式成立:或,这就是极坐标与直角坐标的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆r(02)圆心为(r,0),半径为r的圆2rcos_圆心为,半径为r的圆2rsin_(0)过极点,倾斜角为的直线(R) 或(R)过点(a,0),与极轴垂直的直线cos a过点,与极轴平行的直线sin_a(0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点P的直角坐标为(1,),则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中
4、,曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()题组二教材改编2P15T3若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A,0B,0Ccos sin ,0Dcos sin ,0答案A解析y1x(0x1),sin 1cos (0cos 1);.3P15T4在极坐标系中,圆2sin 的圆心的极坐标是()A. B. C(1,0) D(1,)答案B解析方法一由2sin ,得22sin ,化成直角坐标方程为x2y22y,化成标准方程为x2(y1)21,圆心坐标为(0,1),其对应的极坐标为.方法二由2sin 2cos,知
5、圆心的极坐标为,故选B.题组三易错自纠4在极坐标系中,已知点P,则过点P且平行于极轴的直线方程是()Asin 1 Bsin Ccos 1 Dcos 答案A解析先将极坐标化成直角坐标表示,P转化为直角坐标为xcos 2cos,ysin 2sin1,即(,1),过点(,1)且平行于x轴的直线为y1,再化为极坐标为sin 1.5在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线C的极坐标方程为2sin ,则曲线C的直角坐标方程为_答案x2y22y0解析由2sin ,得22sin ,所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.6在极坐标系下,若点P(,)的一个极坐标为,求以为坐
6、标的不同的点的极坐标解为点P(,)的一个极坐标,4或4.当4时,2k(kZ),2,k(kZ)当4时,2k(kZ),2,k(kZ)有四个不同的点:P1 (kZ),P2 (kZ),P3 (kZ),P4 (kZ).题型一极坐标与直角坐标的互化1(2016北京改编)在极坐标系中,已知曲线C1:cos sin 10,C2:2cos .(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离解(1)C1:cos sin 10,xy10,表示一条直线由C2:2cos ,得22cos ,x2y22x,即(x1)2y21.C2是圆心为(1,0),半径为1的
7、圆(2)由(1)知,点(1,0)在直线xy10上,直线C1过圆C2的圆心因此两交点A,B的连线是圆C2的直径两交点A,B间的距离|AB|2r2.2在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中为参数),曲线C2:x2y22y0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O)(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0时,求|OA|2|OB|2的取值范围解(1)y21,由得曲线C1的极坐标方程为;x2y22y0,曲线C2的极坐标方程为22sin .(2)由(1)得|OA|2,|OB|24sin2,|OA|2|OB|24sin24
8、(1sin2)4,0,11sin22,64(1sin2)0),点M的极坐标为(1,)(10)由题意知|OP|,|OM|1.由|OM|OP|16,得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B,)(B0)由题设知|OA|2,B4cos ,于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时,S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.思维升华 极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:极点与原点重合;极轴与x轴正半轴重合;取相同的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标求极角时,应注意判断点P所在的象限(即角的终
9、边的位置),以便正确地求出角.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果限定取正值,0,2),平面上的点(除去极点)与极坐标(,)(0)建立一一对应关系跟踪训练 (2017广州调研)在极坐标系中,求直线sin2被圆4截得的弦长解由sin2,得(sin cos )2,可化为xy20.圆4可化为x2y216,圆心(0,0)到直线xy20的距离d2,由圆中的弦长公式,得弦长l224.故所求弦长为4.1(2018武汉模拟)在极坐标系下,已知圆O:cos sin 和直线l:sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标解(1)圆O:cos sin ,即2cos sin ,圆O的直角坐标方程为x2y2xy,即x2y2xy0,直线l:sin,即sin cos 1,则直线l的直角坐标方程为yx1,即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.2已
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