胡不归问题模型Word文件下载.docx

1、于星问题在于如何去找出D点.这个古老的胡不归问題风靡了一多年.一直到十七世纪 中叶”才宙法国着名科学家墓尔马罔幵了它的面纱.二.模型解决第一步设岀时冋仃将數学问錘字母化:设总时间为t,则t=&里 并，%卩2要求的就是I的最小值，这是一个系数不为1的最值问題，而且有两个系数均不为“ 第二步拐収“大系数”,化为只有一个系数不为1的是值冋）:般情况下，週 到两个系数不为1的最值问題，百先更将其转化为里个系数不为1的員值问竝，这个转化 还是比较好实现的，只需提取一个系数出来即可；问题是，该提取哪个系数比较好呢？一般情况下，提取数值比较大的那个系数：董本例来说P由知I的衰达式中两个系数丄丄，因而应该提取

2、丄出来，即卩% % 叫丄（冬Q + D8）,注意这里VV2均为常数，这杯要求i的最小值，只葵求*2 *1AD-DB的最小值即可，从而问題核转化为单个系数不为1的最值问題;第三步构造三角的数，化为系数均为1的常規最值冋題：如何求解冬AD+DB的最小值问趣呢？还是要您办法处理不为1的系数，将系數都化力1. 但衆问題来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？ 数学是门神奇的科学，只有你想不到，没耳她散不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角因数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无 形中化为1,这也罡解决所谓“胡不归问題的核心与难点所在，具休襟作如下：由冬1联想到三角国数值，如图12所示，过定

3、点A在直线AC的下方构造锐甬ZCAE=ou 使其満足 sina = j再过动点D作DG丄AE于点G则沁仔笔从而有2$如其中sma=图12戦.4嘶最小值吆就际转呢的最W,变成了一个系数均为1的常规最值问题;需要特别提醒大家的是，这里的关键角CX是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到品原始的问题是一个两走一动型品值问题，只不过荼数不为1 了而已； 如图1-2，点A和点B是两个定点，点D是一个动点，且定点A与动点D在同一条定直线AC上; 上面的角a其实就是依托于这里的定点A及定直线AC做出的，即过定点A作一条射线与定直线 AC所交锐角为角a即可！说到底就是抓不变示”的解题策路，依托于定点A及定直线AC作

4、 角a ,使其满足sina =V2/V1,即可顺利将所谓难题“转化为系数均为1的韋规 昴值问题！第四步（利用“垂线段最姮原理”，解以系数均为1的常奴杲值冋題：注意到构造 的AE乜定一条定射线，要求DG + DB的最小值问题，耳实就是在两定直线AC、AE 分别找点D、G,且DG丄AE,使QG + ZX5震小.先利用“两点之间线段晟迈”易知DG + D32EG ,当且仅当B、D、G三点共线时 取爹号丿如图13所示，再利用“垂线段最短”只需过点B作BG丄AE于点G,此时BG最小, 则BG与AC的交点即为所要寻找的点D,因而t=_L （冬Q + DB） =丄（DG+DB）= 肋sin/B4G,其中 匕

5、片 Kv K K AB及乙BAG均为常值，故所求时间的最小值为丄AB n/BAG.至此，胡不归”模型得到完矣解决！如果奄竜一息的父亲能够坚持- AB sinZBAG这个时间，那么裁能够见他的儿子杲后一面了！三.原题解决一回到我们最初的考题上，设蚂蚊从点A到点E所爲的时间为t,如團-4,则t=+ =D + ,要求的就是t的最小值，即AD的最小值；1 1.25 5 5很明显，这就是一个曲型的“胡不归”问題，可按照上述解决模型的步曝逬行操作：图14第一步（构三角函数，化系数为1）：由系数* V联想到三角函数值，如图】5所示,4过定直线EB上的定点E在直线EB的上方构造锐角ZBEF=a,使茸满足sin

6、a=y ；4 DG 4再过动点D作DG丄EF于点G则sina= ,从而有DG= -DE 5 DE 5这佯t=JD + -ADDG,转化为了常规的系数均为1的巖值问題；第二步（寻新目特殊性，贡新调整阴形：但先不茎忙于计算，我们还藝敏锐地育识第三步（利用“垂线段屋厢原理解次系数均为1的常規囂侑冋鬆）：注童到构造 的EF也是一条定射线，要求AD+X的最小值问题,其实就罡在两定直线EB、EF上分别找 点D、G,且DG丄EF,使ADDG最小.先利用“两点之间线段最袒”易ID JD + DG JG,当且仅当A、D、G三点共线时 取羊号；如團17所示，再利用“垂线段最短”只霧过点A作AG丄EF于点G,此时A

7、G最小, 则AG与EF的交点即为所賽寻找的点D;因而t=-4D + -=AD+DGAG,故所求时间t的最小值即为AG的长，即点E的纵坐 标的值，下面求出点E的坐标即可；图1-7 第四步（求定点E的坐标）：这里提供两种方法求点E的坐标； 方法一（求交点坐标：设直线8与$由交于点如團18所示，由題易知点B的坐标为（3, 0）,在RtAMOB中由tanZEBA=-M）0I=4,则点K坐标为（0, 4；3由B（3, 0）及I 0, 4）可得直线EB的解析式为尸-jxMjf 4 .Iv = 一x + 4 4联立直线EB与抛物线的解析式得：H 3 , Pnx2-2jr3 = -x+4，即y = x2-2x

8、3 33宀2厂21=0,解之= =3 （舍去,故点E的坐标为）3 3 9方法二（设坐标法：设点E的坐标为（I, r-2f-3）,过点E作EH丄x轴于点H, 如團19所示，在RtAEHB中由tanZEBA=-可得即（一3X/ + l）=g ,即3 BH 3 3-r 34 7 7 64（r +1）=,解得r = 故点E的坐标为（9 ）；3 3 3 9因此，所求时间t=JD + 的最小值为兰.5 9此题播定，所谓的“难题”看来也不是太难啊，玩的都是“倉路”！图19解题后反思：平时“套路”积累多了，真的遇到了所谓的建路题，同学们就能立于不败之 地了!这題也给我们的教学一定的启发性,即应该贡视模型敦学这

9、一块！有人说成也模型. 败也模型“，但我想说如舆貞的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的鯛E出模型达到更高 境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该申视模型的积累与应用过程，可以这样说，每一节 新课，毎一道题目可能都能称之为一个模型！其实名称都是回事，或者说叫某某模型也无所 谓，之所以起名称，更主要的还是希盅学生能做到”顾名思义之效，最终达到熟能生巧之目 的！【来龙】“有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际, 老人还在不師楠的叨念：U早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一

10、条路线（见图1罡出发地, E罡目的地，.4C罡一条驿道，而驿道畫目的地的一侧全是砂土地带。为了急切回家，小伙 子选择了直线路程加。2但是他忽了在驿道上行走藝比在砂土地芾行走快的这一因素。如果他能选择一条合适 的跻线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快）,是可以提前抵达家门的。A那么这应该是哪条路线呢？显然，根抿两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以 在上选定一点6小伙子从4走到6然后从D折往几可望最早到达3。用现代的科学语言表达就是：“已知在驿道不附地上行走的速度分别为n和V2,在 上求一个定点D使得的行走时间最短。”于星冋題在于如何去找出D点。【建模】“起点/和终点B固定，在过无点的定

11、直线上取一点6使得r= + 的值最小，vi V2可以转化为求DADB （0-1） s-DA-DB （01型的最值冋題*m mm m【解模】具体例子：如图，一条笔直的公路/穿过草原，公路边有一消防站川，距高公路5千米 的地方有一居民点B,A、B的直线距离罡13千米.一夭，居民点B看火，消防员受命欲前 往救火，若消防车在公路上的最快速度罡80千米M时，而在草地上的最快速度是40千米/ 小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点友情提尘：消防车可从公路 的任意位赛进入草地行驶.）3解析:设消防车从公路上点D进入草地行驶。冋题是农迴/晋+欝诂（S + ）的最小值，问逸立即转化为求dadb的最小值。

12、接下来就是“套路”：构造一条线段尊于DAf并将新纟锻与线段DB“接起来”,在初中数学中我们学习过三个“一半”定理：矗直角三角形中30。说角所对直角边尊于斜边一半（助30。门三角形中位线平行第三边且羡壬第三边长的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。它们是解决线段借分去系的利器。我佃腮$汝30。J来解块任务：在直线/的下方作ZC4M=30 ,过点D作DE_UM于点M,则DM=-DAy再往下来就太容易了。冋越转为求折线段aew的累小值。你会解决了吗？宜拱上图算了。由“垂絃段最短” 的基本数学事实出发，可以、过点3作财丄如于点F,交VC于点0,则点P即为所求， 此时DF丄J 2由对页三角形显然

13、有ZC3D：30。,逬而 C3D：可解，求出CD：和加沏长后，就能求 出此题的最终答案了。【归纳】“胡不归问趣模型的解題方案：S矽1:将所求线段和$专换为巴 （01）的形式（以上题为例J m m&即2:在直线/的异于肋的一侧作厶，使其正弦值为亠卩 m阴3:过点B问厶的月一边上引垂线段，其与直线/的交点即为所求s啊 剩下的就是计S7,可以借助三角跚L相似形勾股定理尊知识完成。【用模】盍巨感受一下中考里面杲如何考查胡不归问題”的。例K如囲 在MCE中，CAME, ZC4E=3O% 00经过点C,且国的直径肋在线段血（1）试说明CE是。的切线 若ZUCE中4边上的高为力，试用含/:的代数式表示O?的

14、宜径肿；a设点D是线段AC任議一点（不含躺点,连接OD,当寺CZHQD的最小值为6时,求0。的直径肋的长 2圍 1 E2 aVC4=CE, ZC4=30% .ZE=ZG4=3O% ZCO=2Z-4=60*, /.ZOCSO0, C是00的切卩（2）过点C作CH1AB于连接0C,如團2,卩由题可得 CHM在总OHC 中，CH=OCstnZ.COH, ：.h=OCstn60-OCf WA 3 3 =60.卩2 2.0A2F=0C, .AOF、ACOF 罡等边三角形，:AF=AGOC=FC,四边形4OCF是菱形，.根据对称性可得70.，过，点D作DH丄0C于H,卩：OA=OC, :.Z.OC4=ZO

15、AC30,：DH二匹泌乙DCH=DC血30气DC, ：.LCDOD二 DH十FD 卍根据两点之间线段最短可得：卩当F、D、H三点绘戋时，DH+FD （眾評X0D最小, 此时 FH=0FsinZF0H0F=6,则 0皿ABJOF二血.卩 2.当寺CZH0D的最小值为6时，O。的直径购的长为皿.卩例2 如囹，在平面直甬坐标系中，二次国数尸衣扳+C的图象经过点/ （I, 0） , 5 （0, -V3） C（2, 0）,其对称轴与x轴交于点 求二欠逐I数的衰达式及其顶点坐标；鲁抛物缴?析式为C=-爭-炉?-号）-睜，:.顶点坐标（寺-竽八（2）如图1中，连接肋，作DHIAB干H,交03于几此B寸最小. 2 理宙：VO=1, OB血,.血厶刃0=也逅，/.Z-45O=30% 70B 3.p气PB,.专PBD=P*PI=DH,此时pb+pd最短（垂线段最短.4在 RIYADH 中.VZAttD, AD, Z/4D=60 亠$他卫1, 朋空3 丄PBtPD的晶4、值AD 4 2