1、 EA=1/(20)+2/(20)+3/(20)4/(20)=0而 S(1+2)=Q1 S(3+4)=Q2有 1234=01+2+34=01+2=Q1/S3+4=Q2/S解得 1=4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66108C/m2 2=3=(Q1Q2)/(2S)=0.89108C/m2两板间的场强 E=2/0=(Q1Q2)/(20S)V=UAUB=Ed=(Q1Q2)d/(20S)=1000V四、证明题1. 如图6.7所示,置于静电场中的一个导体,在静电平衡后,导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明,图中从导体上的正感应电荷出发,终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.1.
2、 设在同一导体上有从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有=与静电场的环路定理0相违背,故在同一导体上不存在从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场线.练习三 电容 静电场的能量1. 半径为R1的导体球带电Q ,球外一层半径为R2相对电容率为r的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图7.1所示.求:(1)离球心距离为r1(r1R1), r2(R1r1R2)处的D和E;(2)离球心r1, r2, r3,处的U;(3)介质球壳内外表面的极化电荷.1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与
3、金属球同心的球形高斯面,有4r2D=q0i当r=5cmR1, q0i=0得 D1=0, E1=0当r=15cm(R1rR1+d ) q0i=Q=1.0得 D3=Q/(4r2)=1.27 E3=Q/(40r2)=1.44104N/CD和E的方向沿径向.(2) 当r=5cmR1时 U1=Q/(40rR)Q/40r(R+d)+Q/40(R+d)=540V当r=15cmR1时 U2=Q/(40rr)Q/40r(R+d)+Q/40(R+d)=480V当r=25cmU3=Q/(40r)=360V(3)在介质的内外表面存在极化电荷,Pe=0E=0(r1)E = Pen r=R处, 介质表面法线指向球心=Pe
4、n =Pecos=0(r1)Eq=S=0(r1) Q/(40rR2)4R2=(r1)Q/r=0.8r=R+d处, 介质表面法线向外n =Pecos0=0(r1)Eq=S=0(r1)Q/(40r(R+d)24(R+d)22.两个相距很远可看作孤立的导体球,半径均为10cm,分别充电至200V和400V,然后用一根细导线连接两球,使之达到等电势. 计算变为等势体的过程中,静电力所作的功.解;2.球形电容器 C=40RQ1=C1V1= 40RV1 Q2=C2V2= 40RV2W0=C1V12/2+C2V22/2=20R (V12+V22)两导体相连后 C=C1+C2=80RQ=Q1+Q2= C1V1
5、+C2V2=40R(V1+V2)W=Q2/(2C)= 40R(V1+V2)2/(160R)=0R(V1+V2)2静电力作功 A=W0W=20R (V12+V22)0R(V1+V2)2=0R(V1V2)2=1.11107J练习六 磁感应强度 毕奥萨伐尔定律1. 如图10.7所示, 一宽为2a的无限长导体薄片, 沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布. 求中心轴线OO 上方距导体薄片为a的磁感强度. r1.取宽为dx的无限长电流元 dI=Idx/(2a)dB=0dI/(2r)=0Idx/(4ar)dBx=dBcos=0Idx/(4ar)(a/r)=0Idx/(4r2)= 0Idx/4(x2+a2)
6、 dBy=dBsin= 0Ixdx/4a(x2+a2)=0I/(4)(1/a)arctan(x/a) =0I/(8a)=0I/(8a)ln(x2+a2) =02. 如图10.8所示,半径为R的木球上绕有密集的细导线,线圈平面彼此平行,且以单层线圈覆盖住半个球面. 设线圈的总匝数为N,通过线圈的电流为I. 求球心O的磁感强度.2. 取宽为dL细圆环电流, dI=IdN=IN/(R/2)Rd=(2IN/)ddB=0dIr2/2(r2+x2)3/2r=Rsin x=RcosdB=0NIsin2 d /(R) =0NI/(4R) 练习七 毕奥萨伐尔定律(续) 磁场的高斯定理1.在无限长直载流导线的右侧
7、有面积为S1和S2的两个矩形回路, 回路旋转方向如图11.6所示, 两个回路与长直载流导线在同一平面内, 且矩形回路的一边与长直载流导线平行. 求通过两矩形回路的磁通量及通过S1回路的磁通量与通过S2回路的磁通量之比. 1.取窄条面元dS=bdr, 面元上磁场的大小为B=0I/(2r), 面元法线与磁场方向相反.有1=2=1/2=12. 半径为R的薄圆盘均匀带电,总电量为Q . 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动,角速度为,求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩.2. 在圆盘上取细圆环电荷元dQ=2rdr,=Q/(R2) ,等效电流元为dI=dQ/T=2rdr/(2/)=r
8、dr(1)求磁场, 电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与同向,大小为dB=0dIr2/2(x2+r2)3/2=0r3dr/2(x2+r2)3/2(2)求磁距. 电流元的磁矩dPm=dIS=rdrr2=r2dr=R4/4=QR2/4练习八 安培环路定律1. 如图12.5所示,一根半径为R的无限长载流直导体,其中电流I沿轴向流过,并均匀分布在横截面上. 现在导体上有一半径为R的圆柱形空腔,其轴与直导体的轴平行,两轴相距为 d . 试求空腔中任意一点的磁感强度.1. 此电流可认为是由半径为R的无限长圆柱电流I1和一个同电流密度的反方向的半径为R的无限长圆柱电流I2组成.I1=JR2 I2=J
9、R 2 J=I/ (R2R 2)它们在空腔内产生的磁感强度分别为B1=0r1J/2 B2=0r2J/2方向如图.有Bx=B2sin2B1sin1=(0J/2)(r2sin2r1sin1)=0By =B2cos2B1cos1=(0J/2)(r2cos2r1cos1)=(0J/2)d所以 B = By= 0dI/2(R2R 2)方向沿y轴正向2. 设有两无限大平行载流平面,它们的电流密度均为j,电流流向相反. 求:(1) 载流平面之间的磁感强度;(2) 两面之外空间的磁感强度.2. 两无限大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间产生的磁场为 B1=0J/2在平面的上方向右,在平面的下方向左;电流在
10、空间产生的磁场为 B2=0J/2在平面的上方向左,在平面的下方向右.(1) 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有 B=B1+B2=0J(2) 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有 B=B1B2=0练习九 安培力1. 一边长a =10cm的正方形铜导线线圈(铜导线横截面积S=2.00mm2, 铜的密度=8.90g/cm3), 放在均匀外磁场中. B竖直向上, 且B = 9.40103T, 线圈中电流为I =10A . 线圈在重力场中 求:(1) 今使线圈平面保持竖直, 则线圈所受的磁力矩为多少. (2) 假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动,当线圈平衡时,线圈平
11、面与竖直面夹角为多少.1. (1) Pm=IS=Ia2 方向垂直线圈平面.线圈平面保持竖直,即Pm与B垂直.有Mm=PmBMm=PmBsin(/2)=Ia2B=9.4104mN(2) 平衡即磁力矩与重力矩等值反向Mm=PmBsin(/2)=Ia2BcosMG= MG1 + MG2 + MG3= mg(a/2)sin+ mgasin+ mg(a/2)sin=2(Sa)gasin=2Sa2gsinIa2Bcos=2Sa2gsintan=IB/(2Sg)=0.2694=152. 如图13.5所示,半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2, 置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中, 直线电流I1 恰过半圆
12、的直径, 两导线相互绝缘. 求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力.2.在圆环上取微元I2dl= I2Rd该处磁场为B=0I1/(2Rcos)I2dl与B垂直,有dF= I2dlBsin(/2) dF=0I1I2d/(2cos)dFx=dFcos=0I1I2d /(2)dFy=dFsin=0I1I2sind /(2cos)=0I1I2/2因对称Fy=0.故 F=0I1I2/2 方向向右.练习十 洛仑兹力1. 如图14.6所示,有一无限大平面导体薄板,自下而上均匀通有电流,已知其面电流密度为i(即单位宽度上通有的电流强度)(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向. (2) 有一质量为m,带正电
13、量为q的粒子,以速度v沿平板法线方向向外运动. 若不计粒子重力.求:(A) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞.(B) 需经多长时间,才能回到初始位置.1. (1)求磁场.用安培环路定律得 B=0i/2在面电流右边B的方向指向纸面向里,在面电流左边B的方向沿纸面向外.(2) F=qvB=ma qvB=man=mv2/R 带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交,即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径. R=mv/qB= 2mv/(0iq) (3) 经一个周期时间,粒子回到初始位置.即t=T=2R/v= 4m/(0iq)2. 一带电为Q质量为m的粒子在均匀磁
14、场中由静止开始下落,磁场的方向(z轴方向)与重力方向(y轴方向)垂直,求粒子下落距离为y时的速率.并讲清求解方法的理论依据.2. 洛伦兹力QvB垂直于v,不作功,不改变v的大小;重力作功.依能量守恒有 mv2/2=mgy,得 v=(2gy)1/2. 练习十一 磁场中的介质1. 一厚度为b的无限大平板中通有一个方向的电流,平板内各点的电导率为,电场强度为E,方向如图15.6所示,平板的相对磁导率为r1,平板两侧充满相对磁导率为r2的各向同性的均匀磁介质,试求板内外任意点的磁感应强度.1. 设场点距中心面为x,因磁场面对称 以中心面为对称面过场点取矩形安培环路,有 =I0 2LH=I0(1) 介质
15、内,0xb/2. I0=blJ=blE,有H=bE/2 B=0r2H=0r2bE/22. 一根同轴电缆线由半径为R1的长导线和套在它外面的半径为R2的同轴薄导体圆筒组成,中间充满磁化率为m的各向同性均匀非铁磁绝缘介质,如图15.7所示. 传导电流沿导线向上流去, 由圆筒向下流回,电流在截面上均匀分布. 求介质内外表面的磁化电流的大小及方向.2. 因磁场柱对称 取同轴的圆形安培环路,有=I0在介质中(R1rR2),I0=I,有2rH= I H= I/(2r ) 介质内的磁化强度 M=mH =m I/(2r)介质内表面的磁化电流JSR1= MR1nR1= MR1=mI/(2R1) ISR1=JSR
16、12R1=mI (与I同向)介质外表面的磁化电流JSR2= MR2nR2= MR2=mI/(2R2)ISR2=JSR22R2=mI (与I反向) 练习十二 电磁感应定律 动生电动势1. 如图17.8所示,长直导线AC中的电流I沿导线向上,并以dI /dt = 2 A/s的变化率均匀增长. 导线附近放一个与之同面的直角三角形线框,其一边与导线平行,位置及线框尺寸如图所示. 求此线框中产生的感应电动势的大小和方向. 1. 取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元dS=ydx=(a+bx)l/bdxm=i=dm/dt=5.18108V负号表示逆时针2. 一很长的长方
17、形的U形导轨,与水平面成 角,裸导线可在导轨上无摩擦地下滑,导轨位于磁感强度B垂直向上的均匀磁场中,如图17.9所示. 设导线ab的质量为m,电阻为R,长度为l,导轨的电阻略去不计, abcd形成电路. t=0时,v=0. 求:(1) 导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系; (2) 导线ab的最大速度vm .2. (1) 导线ab的动生电动势为i = l vBdl=vBlsin(/2+)=vBlcosIi=i/R= vBlcos/R方向由b到a. 受安培力方向向右,大小为F= l (IidlB)= vB2l2cos/RF在导轨上投影沿导轨向上,大小为F = Fcos =vB2l2cos2/R
18、重力在导轨上投影沿导轨向下,大小为mgsinmgsin vB2l2cos2/R=ma=mdv/dt dt=dv/gsin vB2l2cos2/(mR)(2) 导线ab的最大速度vm= .练习十三 感生电动势 自感 1. 在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场B,B的方向与柱的轴线平行.有一长为2R的金属棒MN放在磁场外且与圆柱形均匀磁场相切,切点为金属棒的中点,金属棒与磁场B的轴线垂直.如图18.6所示.设B随时间的变化率dB/dt为大于零的常量.求:棒上感应电动势的大小,并指出哪一个端点的电势高. (分别用对感生电场的积分i=lEidl和法拉第电磁感应定律i=d/dt两种方法解).解:(1)
19、 用对感生电场的积分i=lEidl解:在棒MN上取微元dx(R0,故N点的电势高.(2) 用法拉第电磁感应定律i =d/dt解:沿半径作辅助线OM,ON组成三角形回路MONM+=(dmMONM/dt) =dmMONM/dt而 mMONM=R2B/4故 i=R2(dB/dt)/4N点的电势高.2. 电量Q均匀分布在半径为a,长为L(La)的绝缘薄壁长圆筒表面上,圆筒以角速度绕中心轴旋转.一半径为2a,电阻为R总匝数为N的圆线圈套在圆筒上,如图18.7所示.若圆筒转速按=0(1t/t0)的规律(0,t0为已知常数)随时间线性地减小,求圆线圈中感应电流的大小和流向.2. .等效于螺线管B内=0 nI
20、=0 Q /(2)/L=0 Q /(2L)B外=0=SBdS=Ba2=0Q a2 /(2 L)i =d/dt=0Q a2 /(2 L)d /dt=0 0Q a2 /(2 L t0)Ii=i /R=0 0Q a2 /(2 LR t0)方向与旋转方向一致.练习十四 自感(续)互感 磁场的能量1. 两半径为a的长直导线平行放置,相距为d,组成同一回路,求其单位长度导线的自感系数L0.1. 取如图所示的坐标,设回路有电流为I,则两导线间磁场方向向里,大小为0ra B1=0Ir/(2a2)+ 0I/2(dr)arda B2=0I/(2r)+0I/2(dr)dard B3=0I/(2r)+ 0I(dr)/
21、(2a2)取窄条微元dS=ldr,由m=得ml =0Il/(4)+0Il/(2)lnd/(da) +0Il/(2)ln(da)/a +0Il/(2)ln(da)/a+0Il/(2)lnd/(da)+0Il/(4)=0Il/(2)+(0Il/)ln(d/a)由Ll=l /I,L0= Ll/l=l /(Il).得单位长度导线自感 L0=0l/(2)+(0l/)ln(d/a) 2 内外半径为R、r的环形螺旋管截面为长方形,共有N匝线圈.另有一矩形导线线圈与其套合,如图19.4(1)所示. 其尺寸标在图19.4(2) 所示的截面图中,求其互感系数.2. 设环形螺旋管电流为I, 则管内磁场大小为B=0NI/(2) rR方向垂直于截面; 管外磁场为零.取窄条微元dS=hd,由m=m =0NIhln(R/r)/(2)M=m/I=0Nhln(R/r)/(2)
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