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1、 EA=1/（20）+2/（20）+3/（20）4/（20）=0而 S（1+2）=Q1 S（3+4）=Q2有 1234=01+2+34=01+2=Q1/S3+4=Q2/S解得 1=4=（Q1+Q2）/（2S）=2.66108C/m2 2=3=（Q1Q2）/（2S）=0.89108C/m2两板间的场强 E=2/0=（Q1Q2）/（20S）V=UAUB=Ed=（Q1Q2）d/（20S）=1000V四、证明题1. 如图6.7所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.1.

2、 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有=与静电场的环路定理0相违背,故在同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.练习三 电容 静电场的能量1. 半径为R1的导体球带电Q ,球外一层半径为R2相对电容率为r的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图7.1所示.求:（1）离球心距离为r1（r1R1）, r2（R1r1R2）处的D和E；（2）离球心r1, r2, r3,处的U；（3）介质球壳内外表面的极化电荷.1. （1）因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与

3、金属球同心的球形高斯面,有4r2D=q0i当r=5cmR1, q0i=0得 D1=0, E1=0当r=15cm（R1rR1+d ） q0i=Q=1.0得 D3=Q/（4r2）=1.27 E3=Q/（40r2）=1.44104N/CD和E的方向沿径向.（2） 当r=5cmR1时 U1=Q/（40rR）Q/40r（R+d）+Q/40（R+d）=540V当r=15cmR1时 U2=Q/（40rr）Q/40r（R+d）+Q/40（R+d）=480V当r=25cmU3=Q/（40r）=360V（3）在介质的内外表面存在极化电荷,Pe=0E=0（r1）E = Pen r=R处, 介质表面法线指向球心=Pe

4、n =Pecos=0（r1）Eq=S=0（r1） Q/（40rR2）4R2=（r1）Q/r=0.8r=R+d处, 介质表面法线向外n =Pecos0=0（r1）Eq=S=0（r1）Q/（40r（R+d）24（R+d）22.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm，分别充电至200V和400V，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势. 计算变为等势体的过程中，静电力所作的功.解;2.球形电容器 C=40RQ1=C1V1= 40RV1 Q2=C2V2= 40RV2W0=C1V12/2+C2V22/2=20R （V12+V22）两导体相连后 C=C1+C2=80RQ=Q1+Q2= C1V1

5、+C2V2=40R（V1+V2）W=Q2/（2C）= 40R（V1+V2）2/（160R）=0R（V1+V2）2静电力作功 A=W0W=20R （V12+V22）0R（V1+V2）2=0R（V1V2）2=1.11107J练习六 磁感应强度 毕奥萨伐尔定律1. 如图10.7所示, 一宽为2a的无限长导体薄片, 沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布. 求中心轴线OO 上方距导体薄片为a的磁感强度. r1.取宽为dx的无限长电流元 dI=Idx/（2a）dB=0dI/（2r）=0Idx/（4ar）dBx=dBcos=0Idx/（4ar）（a/r）=0Idx/（4r2）= 0Idx/4（x2+a2）

6、 dBy=dBsin= 0Ixdx/4a（x2+a2）=0I/（4）（1/a）arctan（x/a） =0I/（8a）=0I/（8a）ln（x2+a2） =02. 如图10.8所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面. 设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I. 求球心O的磁感强度.2. 取宽为dL细圆环电流, dI=IdN=IN/（R/2）Rd=（2IN/）ddB=0dIr2/2（r2+x2）3/2r=Rsin x=RcosdB=0NIsin2 d /（R） =0NI/（4R） 练习七 毕奥萨伐尔定律（续） 磁场的高斯定理1.在无限长直载流导线的右侧

7、有面积为S1和S2的两个矩形回路, 回路旋转方向如图11.6所示, 两个回路与长直载流导线在同一平面内, 且矩形回路的一边与长直载流导线平行. 求通过两矩形回路的磁通量及通过S1回路的磁通量与通过S2回路的磁通量之比. 1.取窄条面元dS=bdr, 面元上磁场的大小为B=0I/（2r）, 面元法线与磁场方向相反.有1=2=1/2=12. 半径为R的薄圆盘均匀带电，总电量为Q . 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度为，求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩.2. 在圆盘上取细圆环电荷元dQ=2rdr,=Q/（R2） ,等效电流元为dI=dQ/T=2rdr/（2/）=r

8、dr（1）求磁场, 电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与同向,大小为dB=0dIr2/2（x2+r2）3/2=0r3dr/2（x2+r2）3/2（2）求磁距. 电流元的磁矩dPm=dIS=rdrr2=r2dr=R4/4=QR2/4练习八 安培环路定律1. 如图12.5所示，一根半径为R的无限长载流直导体，其中电流I沿轴向流过，并均匀分布在横截面上. 现在导体上有一半径为R的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为 d . 试求空腔中任意一点的磁感强度.1. 此电流可认为是由半径为R的无限长圆柱电流I1和一个同电流密度的反方向的半径为R的无限长圆柱电流I2组成.I1=JR2 I2=J

9、R 2 J=I/ （R2R 2）它们在空腔内产生的磁感强度分别为B1=0r1J/2 B2=0r2J/2方向如图.有Bx=B2sin2B1sin1=（0J/2）（r2sin2r1sin1）=0By =B2cos2B1cos1=（0J/2）（r2cos2r1cos1）=（0J/2）d所以 B = By= 0dI/2（R2R 2）方向沿y轴正向2. 设有两无限大平行载流平面,它们的电流密度均为j,电流流向相反. 求：（1） 载流平面之间的磁感强度；（2） 两面之外空间的磁感强度.2. 两无限大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间产生的磁场为 B1=0J/2在平面的上方向右,在平面的下方向左;电流在

10、空间产生的磁场为 B2=0J/2在平面的上方向左,在平面的下方向右.（1） 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有 B=B1+B2=0J（2） 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有 B=B1B2=0练习九 安培力1. 一边长a =10cm的正方形铜导线线圈（铜导线横截面积S=2.00mm2, 铜的密度=8.90g/cm3）, 放在均匀外磁场中. B竖直向上, 且B = 9.40103T, 线圈中电流为I =10A . 线圈在重力场中 求:（1） 今使线圈平面保持竖直, 则线圈所受的磁力矩为多少. （2） 假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动,当线圈平衡时,线圈平

11、面与竖直面夹角为多少.1. （1） Pm=IS=Ia2 方向垂直线圈平面.线圈平面保持竖直,即Pm与B垂直.有Mm=PmBMm=PmBsin（/2）=Ia2B=9.4104mN（2） 平衡即磁力矩与重力矩等值反向Mm=PmBsin（/2）=Ia2BcosMG= MG1 + MG2 + MG3= mg（a/2）sin+ mgasin+ mg（a/2）sin=2（Sa）gasin=2Sa2gsinIa2Bcos=2Sa2gsintan=IB/（2Sg）=0.2694=152. 如图13.5所示，半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2, 置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中, 直线电流I1 恰过半圆

12、的直径, 两导线相互绝缘. 求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力.2.在圆环上取微元I2dl= I2Rd该处磁场为B=0I1/（2Rcos）I2dl与B垂直,有dF= I2dlBsin（/2） dF=0I1I2d/（2cos）dFx=dFcos=0I1I2d /（2）dFy=dFsin=0I1I2sind /（2cos）=0I1I2/2因对称Fy=0.故 F=0I1I2/2 方向向右.练习十 洛仑兹力1. 如图14.6所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i（即单位宽度上通有的电流强度）（1） 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向. （2） 有一质量为m，带正电

13、量为q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动. 若不计粒子重力.求：（A） 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞.（B） 需经多长时间，才能回到初始位置.1. （1）求磁场.用安培环路定律得 B=0i/2在面电流右边B的方向指向纸面向里,在面电流左边B的方向沿纸面向外.（2） F=qvB=ma qvB=man=mv2/R 带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交,即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径. R=mv/qB= 2mv/（0iq） （3） 经一个周期时间，粒子回到初始位置.即t=T=2R/v= 4m/（0iq）2. 一带电为Q质量为m的粒子在均匀磁

14、场中由静止开始下落,磁场的方向（z轴方向）与重力方向（y轴方向）垂直,求粒子下落距离为y时的速率.并讲清求解方法的理论依据.2. 洛伦兹力QvB垂直于v,不作功,不改变v的大小；重力作功.依能量守恒有 mv2/2=mgy，得 v=（2gy）1/2. 练习十一 磁场中的介质1. 一厚度为b的无限大平板中通有一个方向的电流,平板内各点的电导率为,电场强度为E,方向如图15.6所示,平板的相对磁导率为r1,平板两侧充满相对磁导率为r2的各向同性的均匀磁介质,试求板内外任意点的磁感应强度.1. 设场点距中心面为x,因磁场面对称 以中心面为对称面过场点取矩形安培环路，有 =I0 2LH=I0（1） 介质

15、内,0xb/2. I0=blJ=blE,有H=bE/2 B=0r2H=0r2bE/22. 一根同轴电缆线由半径为R1的长导线和套在它外面的半径为R2的同轴薄导体圆筒组成，中间充满磁化率为m的各向同性均匀非铁磁绝缘介质，如图15.7所示. 传导电流沿导线向上流去, 由圆筒向下流回，电流在截面上均匀分布. 求介质内外表面的磁化电流的大小及方向.2. 因磁场柱对称 取同轴的圆形安培环路，有=I0在介质中（R1rR2），I0=I，有2rH= I H= I/（2r ） 介质内的磁化强度 M=mH =m I/（2r）介质内表面的磁化电流JSR1= MR1nR1= MR1=mI/（2R1） ISR1=JSR

16、12R1=mI （与I同向）介质外表面的磁化电流JSR2= MR2nR2= MR2=mI/（2R2）ISR2=JSR22R2=mI （与I反向） 练习十二 电磁感应定律 动生电动势1. 如图17.8所示，长直导线AC中的电流I沿导线向上，并以dI /dt = 2 A/s的变化率均匀增长. 导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示. 求此线框中产生的感应电动势的大小和方向. 1. 取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元dS=ydx=（a+bx）l/bdxm=i=dm/dt=5.18108V负号表示逆时针2. 一很长的长方

17、形的U形导轨，与水平面成 角，裸导线可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感强度B垂直向上的均匀磁场中，如图17.9所示. 设导线ab的质量为m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计, abcd形成电路. t=0时，v=0. 求：（1） 导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系; （2） 导线ab的最大速度vm .2. （1） 导线ab的动生电动势为i = l vBdl=vBlsin（/2+）=vBlcosIi=i/R= vBlcos/R方向由b到a. 受安培力方向向右,大小为F= l （IidlB）= vB2l2cos/RF在导轨上投影沿导轨向上,大小为F = Fcos =vB2l2cos2/R

18、重力在导轨上投影沿导轨向下,大小为mgsinmgsin vB2l2cos2/R=ma=mdv/dt dt=dv/gsin vB2l2cos2/（mR）（2） 导线ab的最大速度vm= .练习十三 感生电动势 自感 1. 在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场B,B的方向与柱的轴线平行.有一长为2R的金属棒MN放在磁场外且与圆柱形均匀磁场相切,切点为金属棒的中点,金属棒与磁场B的轴线垂直.如图18.6所示.设B随时间的变化率dB/dt为大于零的常量.求:棒上感应电动势的大小,并指出哪一个端点的电势高. （分别用对感生电场的积分i=lEidl和法拉第电磁感应定律i=d/dt两种方法解）.解：（1）

19、 用对感生电场的积分i=lEidl解:在棒MN上取微元dx（R0,故N点的电势高.（2） 用法拉第电磁感应定律i =d/dt解:沿半径作辅助线OM,ON组成三角形回路MONM+=（dmMONM/dt） =dmMONM/dt而 mMONM=R2B/4故 i=R2（dB/dt）/4N点的电势高.2. 电量Q均匀分布在半径为a,长为L（La）的绝缘薄壁长圆筒表面上,圆筒以角速度绕中心轴旋转.一半径为2a,电阻为R总匝数为N的圆线圈套在圆筒上,如图18.7所示.若圆筒转速按=0（1t/t0）的规律（0,t0为已知常数）随时间线性地减小,求圆线圈中感应电流的大小和流向.2. .等效于螺线管B内=0 nI

20、=0 Q /（2）/L=0 Q /（2L）B外=0=SBdS=Ba2=0Q a2 /（2 L）i =d/dt=0Q a2 /（2 L）d /dt=0 0Q a2 /（2 L t0）Ii=i /R=0 0Q a2 /（2 LR t0）方向与旋转方向一致.练习十四 自感（续）互感 磁场的能量1. 两半径为a的长直导线平行放置,相距为d,组成同一回路,求其单位长度导线的自感系数L0.1. 取如图所示的坐标,设回路有电流为I,则两导线间磁场方向向里,大小为0ra B1=0Ir/（2a2）+ 0I/2（dr）arda B2=0I/（2r）+0I/2（dr）dard B3=0I/（2r）+ 0I（dr）/

21、（2a2）取窄条微元dS=ldr,由m=得ml =0Il/（4）+0Il/（2）lnd/（da） +0Il/（2）ln（da）/a +0Il/（2）ln（da）/a+0Il/（2）lnd/（da）+0Il/（4）=0Il/（2）+（0Il/）ln（d/a）由Ll=l /I,L0= Ll/l=l /（Il）.得单位长度导线自感 L0=0l/（2）+（0l/）ln（d/a） 2 内外半径为R、r的环形螺旋管截面为长方形,共有N匝线圈.另有一矩形导线线圈与其套合,如图19.4（1）所示. 其尺寸标在图19.4（2） 所示的截面图中,求其互感系数.2. 设环形螺旋管电流为I, 则管内磁场大小为B=0NI/（2） rR方向垂直于截面; 管外磁场为零.取窄条微元dS=hd,由m=m =0NIhln（R/r）/（2）M=m/I=0Nhln（R/r）/（2）