小学奥数系列训练题几何计数通用版文档格式.docx

1、厘米）：一共有几个长方形?所有这些长方形面积的和是多少?23由20个边长为1的小正方形拼成一个长方形中有一格有“图中含有“的所有长方形（含正方形）共有个，它们的面积总和是。24图中共有多少个三角形？25一个圆上有12个点A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?参考答案1630【解析】把大的等边三角形分为20“层分别计算火柴的根数：最上一“层只用了3根火柴；从上向下数第二层用了326根火柴；从上向下数第三层用了339根火柴；从上向下数第20层用了32060根火柴所以，总共要用火柴3（1+2+3+20）6

2、30根213975【解析】横放需19964根，竖放需19973根，共需19964+1997313975根3121【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如如下图平行四边形中棋孔数为9981，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+104121个或直接数出有121个4216【解析】如图AB6，组成AOB需要边长为1的正三角形共：1+3+5+7+9+1136个，而拼成边长为6的正六边形需要6个AOB，因此总共需要边长为1的正三角形366216个5100，10664【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可于是横向线段有（1+2+3+4）

3、10种选法，竖向线段也有（1+2+3+4）10种选法，如此共有1010100个长方形这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）1248610664（平方厘米）636【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等其中只占有下面一行的有如下12种情况：于是共有12336个正、长方形包含“* 7130【解析】每个44正方形中有：边长为1的正方形44个；边长为2的正方形33个；边长为3的正方形22个，边长为4的正方形11个总共有44+33+22+1130个正方形现在5个44的正方形，它

4、们重叠局部是4个22的正方形因此，图中正方形的个数是30554130822【解析】边长为1的正三角形，有16个边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个因此共有16+3+322个96【解析】设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*的所有大、小正三角形一共有1+4+16个1020【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）440个，梯形（1+2+3+4）（1+2+4）60个，梯形比三角形多604020个1185【解析】如下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+52

5、15个三角形，共计352+1585个三角形1211【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，面积为1的正方形有5个，如图a所示；面积为2的正方形有4个，如图b所示；面积为4的正方形有1个，如图c所示；还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；于是，一共可以构成5+4+1+111个不同的正方形1332【解析】我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：（1）等腰直角三角形，如如下图a所示有AOC，COE，EOG，GOA，BOH，DFB，FHD，HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个（

6、2）直角三角形，如图b所示有ACH，CHD，ACD，DHA，BEF，BCE，CEF，CFB，DEG，DGH，EGH，EHD，GAB，GBF，FAB，FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个（3）钝角三角形，如图c所示有ABE，AHE，ADE，AFE，CBG，CFG，CDG，CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个14200【解析】我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如如下图，ABC

7、，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形所以有1211106220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共34；每列有1种情况，共12个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况所以，可以套出22034144200个不同的三角形1512【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，如此第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有432124种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是（7654）2435我们只要从中减去不能构成四边形的情形对图19-16而

8、言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个如此任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形正方形的4条边中有3条都存在这样的情况而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况那么需要排除的情况有4312种所以，满足题意的四边形个数有351223个1615【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一

9、种：按照线段的端点顺序去数，如上图1中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图1中共有线段213条.同样按照从左至右的顺序观察图2中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图2中共有线段为3216条.第二种：按照根本线段多少的顺序去数.所谓根本线段是指一条大线段中假如有n个分点，如此这条大线段就被这n个分点分成n1条小线段，这每条小线段称为根本线段.如上页图2中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条根本线段，那么线段AD总共

10、有多少条线段？首先有三条根本线段，其次是包含有二条根本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条根本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3216条，又如上页图3中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条根本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照根本线段多少的顺序是：首先有4条根本线段，其次是包含有二条根本线段的有3条，然后是包含有三条根本线段的有2条，最后是包含有4条根本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是432110条.解：213条. 3216条. 432110条.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按

11、照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数包括线段的两个端点减1.也就是根本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数包括两个端点A、F共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是615，或者线段AF上的分点有4个B、C、D、E.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是415.也就是线段AF上根本线段AB、BC、CD、DE、EF的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5432115条.1710【解析】在AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，AOB被这三条角分线分成4个根本

12、角，那么AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个根本角，其次是包含有2个根本角组成的角有3个即AOC2、C1OC3、C2OB，然后是包含有3个根本角组成的角有2个即AOC3、C1OB，最后是包含有4个根本角组成的角有1个即AOB，所以AOB内总共有角：432110个.数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是根本角的个数.1855【解析】因为AOB内角分线OC1、OC2OC9共有9条，即9+1=10个根本角.所以总共有角：10+9+8+4+3+2+1=55个.1916210【解析】可以采用类似例1数线段的

13、两种方法来数，如图2：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：ABD、ABE、ABF、ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：ADE、ADF、ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：AEF、AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：ABD、ADE、AEF、AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：ABE、ADF、AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：ABF、ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有ABC一个.所以图中三角形的

14、个数总共有：4+3+2+1=10个.3+2+1=6个 4+3+2+1=10个.答：图1与图2中各有三角形分别是6个和10个.计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的根本线段的条数.2060,30【解析】分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中根本线段根本三角形的条数，算：就是以根本线段根本三角形条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条根本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上

15、各有3个分点，各分成4条根本线段.所以图中总共有线段是：3+2+15+4+3+2+13=30+30=60条.要数有多少个三角形，先看在AGH中共有三角形4+3+2+1=10个.在AMN与ABC中，三角形有同样的个数，所以在ABC中三角形个数总共：4+3+2+13=103=30个.在ABC中共有线段是：3=30+30=60条在ABC中共有三角形是：2113【解析】分析此题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.1、2、3、4我们可视为4个根本角，由2个根本角组成的有：1与2、2与3、3与4、4与1，共4个角.由3个根本角组成的角有：1、2与3；2、3与4；3、4与1；4、1与2

16、，共4个角，由4个根本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：43+1=13个.所以图中共有角是：由此题可以推出一般情况：假如周角中含有n个根本角，那么它上面角的总数是 nn-1+1.22100,12384【解析】一共有（个）长方形；所求的和是（平方厘米）。2348,360【解析】含的一行内所有可能的长方形有：（八种）含的一列内所有可能的长方形有：（六种）所以总共长方形有个，面积总和为。24118【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类1最大的三角形1个（即ABC），2第二大的三角形有3个3第三大的三角形有6个4第四大的三角形有10个5第五

17、大的三角形有15个6最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59个图中共有三角形259=118个。2555【解析】我们采用递推的方法I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形此时，其余的6个点可能分布在：A1所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上在表2中用“+号表示它们分布在不同的边所对的弧如果是情形，如此由，这六个点有三种连法；如果是情形，如此由，每三个点都只能有一种连法.共有12种连法最后考虑圆周上有12个点同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：9个点都在同一段弧上：有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上得到表3共有123+36+155种所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。