小学奥数染色与操作问题教师版Word格式.docx

1、【例 2】 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?1【解析】 如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始但路线上1白1黑1白1黑直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍【巩固】有一次车展共66=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?2【解析】 如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格入口和出口处都

2、是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室【例 3】 在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？1【解析】 下图（1）中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图（2）不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋

3、不相邻，无法直接回到小木屋.【例 4】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？1【解析】 马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有22个和23个 . 因为马走“日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点.如果马的出发点不是在点上而是在点上，那

4、么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的. 但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了. 从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或）. 因为44步跳过的点与点各22个，所以起点必是，终点也是. 也就说是，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点. 【例 5】 右图是由14个大小相同的方格组成的图形. 试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？1【解析】 将这14个小方格黑白相间染色（见右下图），有8个黑格，6个白格. 相邻两个

5、方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形.【巩固】 右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？2【解析】 将40个小正方形想剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个12的长方形，将其黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑白格数不等，而12的小矩形一次覆盖黑白格各一个.【巩固】 下面的三个图形都是从44的正方形纸片上剪去两个11的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成12的七个小矩形.3【解析】 如右上图，（1）能，黑白格数相等；（2）（3）不能，黑白格数不等，

6、而1【例 6】 用11个和5个能否盖住88的大正方形?1【解析】 如右图，对88正方形黑白相问染色后，发现必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要求盖住注：本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白.这是一个容易犯错的地方.【巩固】 能否用9个所示的卡片拼成一个66

7、的棋盘？2【解析】 不能. 将66的棋盘黑白相间染色（见右图），有18个黑格. 每张卡片盖住的黑格数不是1就是3，9张卡片盖住的黑格数之和是奇数，不可能盖住18个黑格.【巩固】 9个14的长方形不能拼成一个66的正方形，请你说明理由！3【解析】 本题若用传统的自然染色法，不能说明问题. 我们对66正方形用四种颜色染色，因为要用14来覆盖为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色也为了使每个14长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图这样，可以发现无论将14长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个要不重叠地拼出66，需9个14长方形，则必然盖住1、2、3、4各9

8、个但实际上图中一共是9个l、10个2、9个3、8个4，因而不可能用9个14长方形拼出66正方形【巩固】 用若干个22和33的小正方形不能拼成一个1111的大正方形，请你说明理由！4【解析】 如右图所示，将22或33的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77个，是奇数，所以只用23的小正方形，不可能拼成1111的大正方形.【例 7】 对于表（1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表（2）？1【解析】 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去

9、那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1+2+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成右上表.模块二、操作问题【例 8】 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？1【解析】 不可能.因为每次加上的数之和是 1234=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍. 9994=3996，不是10的倍数，所

10、以黑板上的四个数不可都是999.【例 9】 有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份应该怎样分？1【解析】 显然每人应该分+于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分【例 10】 有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得，次子得，给幼子.不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！1【解析】 这三个兄弟迷惑不解，尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用1

11、7除以2、用17除以3、用17除以9，又不让马流血.于是他们就去请教当地一位公认的智者.这位智者看了遗嘱以后说：“我借给你们一匹马，去按你们父亲的遗愿分吧！”老人原有17匹马，加上智者借给的一匹，一共18匹.于是三兄弟按照18匹马的、和，分别得到了九匹、六匹和两匹.9+6+2=17（匹）.还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者. 【巩固】 甲、乙、丙、丁分29头羊. 甲、乙、丙、丁分别得，应如何分？2【解析】 借一头羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，5，3头羊，再将借得1头羊还回去.【例 11】 8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?1【解析】 讲解

12、此题前，教师可先问学生：“3个金币，有1个假的比较轻，你称1次能把它找出来么？”将8个金币分成：3+3+2，3组，把3和3进行称量，如果重量相同，称剩下的2个金币即可找到假币；如果重量不同，将比较重的3个金币拿出，用天平称量2个，剩下1个，天平不平衡易得答案，若此时天平平衡则剩下的那个是假的.【巩固】 9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?2【解析】 第一次在左右两托盘各放置3个：（一）如果不平衡，那么较轻的一侧的3个中有一个是假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的一个是假的；（二）如果平衡，剩下的三个中

13、必有一个为假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果平衡，剩下的那个是假的这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态（轻，重，平），所以分成3堆是很常见的分法【例 12】 据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分，每人5斤. 但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？1【解析】 韩信给两人说了一句话：“葫芦归篓，篓归罐”，两人按此分油，果然把油分成了两半.具体做法如下表：韩信的话指明了倒油的方向，始终按从

14、篓向罐中倒，从罐向葫芦中倒，从葫芦向篓中倒的方向操作.按照相反的方向倒，即“葫芦归罐，罐归篓”怎样?我们试试.看来也行，只是多倒了一次.要注意的是：保持一定的方向很重要. 如果在倒油的过程中，出现从甲倒向乙，又从乙倒回甲（这两步不一定挨着），那么这两步相互抵消，肯定可以简化掉，所以最佳的倒油方法是始终按一个方向倒.【巩固】 大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量？2【解析】 先将5千克的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中还有5-4=1（千克）油；然后将小桶倒空，将大桶中1千克倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是5+1=6（千克）这道题要学会借助于大桶小桶容

15、积的差量出想获得的中间量（1千克）【巩固】 有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是得意. 一天，他遇到了两位农妇. 两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，还有一个5升和一个4升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！你说说具体的做法！3【解析】 答案如表所示【例 13】 有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水1【解析】 通过对三个数字的分析，我们发现700-300-30

16、0=100，是计算步数最少的得到100的方法而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：1大瓶往中瓶中倒满水 2中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水3小瓶中水倒回大瓶4中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记5小瓶中水倒回大瓶 6中瓶中100水倒入小瓶，标记所以最少要倒6次水本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的【例 14】 老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线（只许拐三个弯儿）你能办到吗?1【解析】 大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所有折线只能限定

17、在这9个点的范围之内我们把折线的范围冲破本题9个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了，如上右图。【例 15】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？1【解析】 第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染.【例 16】 如右图所示，将112顺次排成一圈. 如果报出一个数a（在112之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置. 例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数

18、的位置到达10的位置. 问：a是多少时，可以走到7的位置？1【解析】 不存在.当1a6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7a12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置.由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置.【例 17】 对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？1【解析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100.当然，连续操作下去会发

19、现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100.因为这一过程很长，所以这不是好方法.因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数. 100不是11的倍数，所以不可能出现. 操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门.课后练习练习1. 一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？2【解析】 甲.如右下图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多

20、少格点就转了多少次弯。如左下图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确 .练习2. 如图（1），对相邻的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作.经过若干次操作后由1变成图2，则图2中A处的数是多少？3【解析】 按图中要求操作，图3中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不变.所以A=（1+1+1+1+1）-（0+0+0+0）=5.练习3. 一个大桶装了12升水，另外有恰好能装8升和5升水的桶各一个.利用这三个桶最少倒几次才能把这12升水平均分成两份?4【解析】 答案如表所示练习4. 甲、乙分43头牛，甲得，乙得5【解析】 借2头牛，甲得18头，乙得25头，再将

21、借来的2头牛还回去.练习5. 有6张电影票（如右图），想撕成相连的3张，共有_种不同的撕法.6【解析】 形如的有2种，形如的有8种.月测备选测试1、一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右图）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋. 可以做到吗？7【解析】 不可以.如右下图所示. 守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第48棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.测试2、如右图，缺两格的88方格有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙?8【解析】 这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑要不重复不留空白，那总共能盖住的黑格数、白格数应该相等但从染色后整个图看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住测试3、 19匹马，甲、乙、丙分别得9【解析】 借1匹马，甲、乙、丙分别得10，5，4.测试4、只有5升和8升的容器，要怎样量出2升的水呢?10【解析】 将5升的容器装满水，倒在8升的容器中去，8升的容器中装入了5升的水，再一次将5升的容器装满水，倒在8升的容器里，这次8升的容器装不下5升的水了，只能装入3升的水。而5升的容器中就剩下2升的水了.11【解析】