高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案Word下载.docx

1、Al与l1，l2都相交Bl与l1，l2都不相交Cl至少与l1，l2中的一条相交Dl至多与l1，l2中的一条相交解析方法一如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故D不正确，故选C.方法二因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，从而l1l2，与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，故选C.热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面

2、面之间的平行、垂直关系相互转化例2（1）如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，AA1平面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点求证：直线BE平面A1FC1；平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥BEFM的体积证明取A1C1的中点G，连接EG，FG，因为点E为A1B1的中点，所以EGB1C1且EGB1C1，因为F为BC的中点，所以BFB1C1且BF所以BFEG且BFEG.所以四边形BFGE是平行四边形，所以BEFG，又BE平面A1FC1，FG平面A1FC1，所以直线BE平面A1FC1.解M为棱AB的中点理由如下：因为ACA1C1，AC平面A1FC1，A

3、1C1平面A1FC1，所以直线AC平面A1FC1，又平面A1FC1平面ABCFM，所以ACFM.又F为棱BC的中点，所以M为棱AB的中点SBFMSABC2sin 60，所以三棱锥BEFM的体积VBEFMVEBFM2.（2）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，PD平面ABCD，BAD60，PD2a，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点证明：平面EAC平面PBD；若PD平面EAC，三棱锥PEAD的体积为18，求a的值证明因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.又四边形ABCD为菱形，所以ACBD，又PDBDD，PD，BD平面PBD，所以AC平面PBD.又AC平

4、面EAC，所以平面EAC平面PBD.解连接OE.因为PD平面EAC，平面EAC平面PBDOE，所以PDOE.又ACBDO，所以O是BD的中点，所以E是PB的中点因为四边形ABCD是菱形，且BAD60所以取AD的中点H，连接BH，可知BHAD，又因为PD平面ABCD，BH平面ABCD，所以PDBH.又PDADD，PD，AD平面PAD，所以BH平面PAD.在等边三角形ABD中，由于ABa，所以BHa.因此点E到平面PAD的距离dBHaa，所以VPEADVEPADSPADda2aa318解得a6.思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：（1）证明线线平行常用的方法：一是利用平

5、行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换（2）证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2如图，在四棱锥PABCD中，ADB90，CBCD，点E为棱PB的中点（1）若PBPD，求证：PCBD；（2）求证：CE平面PAD.证明（1）取BD的中点O，连接CO，PO，因为CDCB，所以CBD为等腰三角形，所以BDCO.因为PBPD，所以PBD为等腰三角形，

6、所以BDPO.又POCOO，PO，CO平面PCO，所以BD平面PCO.因为PC平面PCO，所以PCBD.（2）由E为PB的中点，连接EO，则EOPD，又EO平面PAD，PD平面PAD，所以EO平面PAD.由ADB90及BDCO，可得COAD，又CO平面PAD，AD平面PAD，所以CO平面PAD.又COEOO，CO，EO平面COE，所以平面CEO平面PAD，而CE平面CEO，所以CE平面PAD.热点三平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个

7、平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例3如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点将ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示（1）求证：DE平面PCF；平面PBC平面PCF；（3）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由（1）证明折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以ACDE，所以折叠后，DEPF，DECF，又PFCFF，PF，CF平面PCF，所以DE平面PCF.（2）证明因为

8、四边形AECD为菱形，所以DCAE，DCAE.又点E为AB的中点，所以DCEB，DCEB，所以四边形DEBC为平行四边形，所以CBDE.又由（1）得，DE平面PCF，所以CB平面PCF.因为CB平面PBC，所以平面PBC平面PCF.（3）解存在满足条件的点M，N，且M，N分别是PD和BC的中点如图，分别取PD和BC的中点M，N.连接EN，PN，MF，CM.因为四边形DEBC为平行四边形，所以EFCN，EFBCCN，所以四边形ENCF为平行四边形，所以FCEN.在PDE中，M，F分别为PD，DE的中点，所以MFPE.又EN，PE平面PEN，PEENE，MF，CF平面CFM，MFCFF，所以平面C

9、FM平面PEN.思维升华（1）折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口（2）存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论跟踪演练3如图，在PBE中，ABPE，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且AC，ABAPAE2，将PBA沿AB折起使得二面角PABE是直二面角CD平面PAB；（2）求三棱锥EPAC的体积（1）证明因为AE2，所以AE4，又AB2，ABPE，所以BE2又因为ACBE，所以AC是RtABE的斜边BE上的中线，所以C是BE的中点，又因为D是AE的中点，所以CD是RtABE的中位线，所以CDAB，又因为CD平面PAB，AB平面P

10、AB，所以CD平面PAB.（2）解由（1）知，直线CD是RtABE的中位线，所以CDAB1，因为二面角PABE是直二面角，平面PAB平面EABAB，PA平面PAB，PAAB，所以PA平面ABE，又因为AP2，所以VEPACVPACEAECDAP41真题体验1（2017全国改编）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是_（填序号）答案（1）解析对于（1），作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交；对于（2），作如图所示的辅助线，则AB

11、CD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；对于（3），作如图所示的辅助线，对于（4），作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.2（2017江苏）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC.证明（1）在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以ABEF.又EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.（2）因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面B

12、CD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又AC平面ABC，所以ADAC.押题预测1不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面，内，下列为真命题的是（）Amnm BmnCm Dmn押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力解析构造长方体，如图所示因为A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂

13、直，平面AA1C1C与平面AA1B1B也不垂直，所以选项A，B都是假命题CC1AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.2如图（1），在正ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BEAF2CF.点P为边BC上的点，将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图（2）所示A1EFP；（2）若BPBE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；押题依据以平面图形的翻折为背景，探索

14、空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向（1）证明在正ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示因为BEAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF为正三角形又AEDE，所以EFAD.所以在题图（2）中，A1EEF，又A1E平面A1EF，平面A1EF平面BEFC，且平面A1EF平面BEFCEF，所以A1E平面BEFC.因为FP平面BEFC，所以A1EFP.（2）解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行如题图（1），在正ABC中，因为BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如图所示，取A1P的中

15、点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MKFP.因为FPBE，所以MKBE.因为MK平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行A组专题通关1已知，是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：若l，则l；若l，则l；若l，则l；若l，则l.其中说法正确的个数为（）A3 B2 C1 D4解析若l，则l或l，不正确；若l，则l 或l，不正确；若l，则l，正确；若l，则l或l或l与相交且l与不垂直，不正确，故选C.2如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为（）A B C

16、 D解析由题意可得图中GH与MN平行，不合题意；图中GH与MN异面，符合题意；图中GH与MN相交，不合题意；图中GH与MN异面，符合题意则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为.3给出下列四个命题：如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命题的个数为（）A1 B2 C3 D4解析对于，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a，故正确；对于，因为垂直于同一平面的两直

17、线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于，平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；对于，因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确4（2018全国）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A. B. C. D. 答案A解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D

18、1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等分别取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN6.故选A.5对于四面体ABCD，有以下命题：若ABACAD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；若ABCD，ACBD，则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心；四面体ABCD的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为其

19、中正确的命题是（）A B C D解析正确，若ABACAD，则AB，AC，AD在底面上的射影相等，即与底面所成角相等；不正确，如图，点A在平面BCD内的射影为点O，连接BO，CO，可得BOCD，COBD，所以点O是BCD的垂心；正确，如图，AB平面BCD，BCD90，其中有4个直角三角形；正确，设正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式SBCDr，解得 r那么内切球的表面积S4r2，故选D.6已知m，n，l1，l2表示不同的直线，表示不同的平面，若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是（）Am且l1 Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2解析对于选项A，当m且l1时

20、，可能平行也可能相交，故A不是的充分条件；对于选项B，当m且n时，若mn，则，可能平行也可能相交，故B不是的充分条件；对于选项C，当m且nl2时，可能平行也可能相交，故C不是的充分条件；对于选项D，当ml1，nl2时，由线面平行的判定定理可得l1，l2，又l1l2M，由面面平行的判定定理可以得到，故D是的一个充分条件故选D.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_（填序号）ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.答案解析因为AC平面BDD1B1，BE平面BDD1B1，所以ACBE，故正确；因为B1D1BD

21、，即BDB1E，B1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以B1E平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，又CF平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即整理得x23ax2a20，解得xa或x2

22、a.9.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，GAD为等边三角形，BF平面ABCD，GDC90，若点P为线段GD的中点AP平面GCD；平面ADG平面FBC.证明（1）因为GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，所以APGD.因为ADCD，GDCD，且ADGDD，AD，GD平面GAD，故CD平面GAD，又AP平面GAD，所以CDAP，又CDGDD，CD，GD平面GCD，所以AP平面GCD.（2）因为BF平面ABCD，CD平面ABCD，所以BFCD，因为BCCD，BFBCB，BF，BC平面FBC，所以CD平面FBC，由（1）知CD平面GAD，所以平面ADG平面FBC.10在梯形ABCD中（图1），ABCD，AB2，CD5，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE1，AE2，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得AFBD，DECF，得空间几何体ADEBCF（图2）（1）证明：BE平面ACD；（2）求三棱锥EACD的体积（1）证明连接BE交AF于点O，取AC的中点H，连接OH，DH，则OH是AFC的中位线，所以OHCF且OHCF，由已知得DECF且DE所以DEOH且DEOH，所以四边形DEOH为平行四边形，DHEO，又因为EO平