计算流体力学中有限差分法有限体积法和有限元法的区别Word下载.docx

1、有限元方法的基础是变分原理和加权余量法， 其基本求解思想是把计算域划分为 有限个互不重叠的单元， 在每个单元内， 选择一些合适的节点作为求解函数的插 值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函 数组成的线性表达式， 借助于变分原理或加权余量法， 将微分方程离散求解。 采 用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。原理有限元方法最早应用于结构力学， 后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、 土 力学的数值模拟。 在有限元方法中， 把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互 连接的单元， 在每个单元内选择基函数， 用单元基函数的线形组合来逼近单元中 的真解，整个计

2、算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的， 则整个 计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 在河道数值模拟中， 常见 的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、 最小 二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。（1） 从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；（2） 从计算单元网格的形状来划分， 有三角形网格、 四边形网格和多边形网格；（3） 从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。 不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近

3、函数中的基函数； 最小二 乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最 小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点 上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为 0。插值函数一般由不同次幂 的多项式组成， 但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示， 但最常用的多 项式插值函数。有限元插值函数分为两大类， 一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值， 称 为拉格朗日 （Lagrange） 多项式插值； 另一种不仅要求插值多项式本身， 还要求它 的导数值在插值点取已知值，称为哈密特 （Hermite） 多项式插值。单元坐标有笛 卡尔直角坐标系和无

4、因次自然坐标， 有对称和不对称等。 常采用的无因次坐标是 一种局部坐标系， 它的定义取决于单元的几何形状， 一维看作长度比， 二维看作 面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边 形等参元的应用也越来越广。 对于二维三角形和四边形电源单元， 常采用的插值 函数为有 Lagrange 插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函 数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。基本原理与解题步骤 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：（1）建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分 方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限

5、元法的出发点。（2）区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为 若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作， 这部分工作量比较大， 除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之 外，还要表示节点的位置坐标， 同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号 和相应的边界值。（3）确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一 定插值条件的插值函数作为单元基函数。 有限元方法中的基函数是在单元中选取 的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。（4）单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合

6、表达式进行逼 近；再将近似函数代入积分方程， 并对单元区域进行积分， 可获得含有待定系数 （ 即单元中各节点的参数值 ） 的代数方程组，称为单元有限元方程。（5）总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一 定法则进行累加，形成总体有限元方程。（6）边界条件的处理： 一般边界条件有三种形式， 分为本质边界条件 （狄里克雷边 界条件） 、自然边界条件 （黎曼边界条件 ） 、混合边界条件 （柯西边界条件 ）。对于 自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。 对于本质边界条件和混合 边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。（7）解有限元方程：根据边界条件修正

7、的总体有限元方程组，是含所有待定未知 量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。3. 有限体积法 有限体积法（ FiniteVolumeMethod ）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算 区域划分为一系列不重复的控制体积， 并使每个网格点周围有一个控制体积； 将 待解的微分方程对每一个控制体积积分， 便得出一组离散方程。 其中的未知数是 网格点上的因变量的数值。 为了求出控制体积的积分， 必须假定值在网格点之间 的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来， 有限体积法属于加权剩余法中的子区域法； 从未知解的近似方法看来， 有限体积 法属于采

8、用局部近似的离散方法。 简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解， 并能得出直接的物理解释。 离散方程的物理意 义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理， 如同微分方程表示因变量 在无限小的控制体积中的守恒原理一样。 限体积法得出的离散方程， 要求因变量 的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足， 对整个计算区域，自然也得到满足。 这是有限体积法吸引人的优点。 有一些离散方法， 例如有限差分法， 仅当网格极 其细密时， 离散方程才满足积分守恒； 而有限体积法即使在粗网格情况下， 也显 示出准确的积分守恒。 就离散方法而言， 有限体积法可视作有限单元法和有限差

9、 分法的中间物。 有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律 （既插值函数） ， 并将其作为近似解。 有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间 如何变化。 有限体积法只寻求的结点值， 这与有限差分法相类似； 但有限体积法 在寻求控制体积的积分时， 必须假定值在网格点之间的分布， 这又与有限单元法 相类似。在有限体积法中， 插值函数只用于计算控制体积的积分， 得出离散方程 之后，便可忘掉插值函数； 如果需要的话， 可以对微分方程中不同的项采取不同 的插值函数。4. 比较分析有限差分法（ FDM）: 直观，理论成熟，精度可眩但是不规则区域处理繁琐，虽然 网格生成可以使FDM应用于不规则

10、区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用 FDM的好处在于易于编程，易于并行。有限元方法（ FEM）: 适合处理复杂区域，精度可眩缺憾在于内存和计算量巨大。 并行不如FDM和FVM直观。不过FEM的并行是当前和将来应用的一个不错的方向。 有限容积法 : 适于流体计算，可以应用于不规则网格，适于并行。但是精度基本 上只能是二阶了。FVM的优势正逐渐显现出来，FVM在应力应变，高频电磁场方 面的特殊的优点正在被人重视。比较一下： 有限容积法和有限差分法： 一个区别就是有限容积法的截差是不定的 （跟取的相 邻点有关，积分方法离散方程），而有限差分就可以直接知道截差（微分方法离 散方程）。有限容积法和

11、有限差分法最本质的区别是， 前者是根据积分方程推导 出来的（即对每个控制体积分），后者直接根据微分方程推导出来，所以前者的 精度不但取决于积分时的精度， 还取决与对导数处理的精度， 一般有限容积法总 体的精度为二阶， 因为积分的精度限制， 当然有限容积法对于守恒型方程导出的 离散方程可以保持守恒型； 而后者直接由微分方程导出， 不涉及积分过程， 各种 导数的微分借助 Taylor 展开，直接写出离散方程，当然不一定有守恒性，精度 也和有限容积法不一样，一般有限差分法可以使精度更高一些。 当然二者有联系，有时导出的形式一样，但是概念上是不一样的。 至于有限容积法和有限元相比， 有限元在复杂区域的

12、适应性对有限容积是毫无优 势可言的，至于有限容积的守恒性， 物理概念明显的这些特点， 有限元是没有的。 目前有限容积在精度方面与有限元法有些差距。有限元方法比有限差分优越的方面主要在能适应不规则区域， 但是这只是指的是 传统意义上的有限差分， 现在发展的一些有限差分已经能适应不规则区域。 对于 椭圆型方程，如果区域规则，传统有限差分和有限元都能解，在求解效率，这里 主要指编程负责度和收敛快慢、内存需要，肯定有限差分有优势。（1） 有限差分法（Finite Differenee Method ，简称FDM是数值方法中 最经典的方法。它是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求 解域，

13、然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上 有限个未知数的差分方程组。求差分方程组（代数方程组）的解，就是微分方程 定解问题的数值近似解，这是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法。这种方法发展较早，比较成熟，较多用于求解双曲型和抛物型问题（发展型 问题）。用它求解边界条件复杂，尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法 方便。（2） 有限元法（Finite Element Method ，简称FEM与有限差分法都是广泛应用的流体力学数值计算方法。有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当 形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数， 然后根据极值原理（变 分或加

14、权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程， 把总体的极值作为个单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件 的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。有限元法的基础是 极值原理和划分插值，它吸收了有限差分法中离散处理的内核， 又采用了变分计 算中选择逼近函数并对区域积分的合理方法， 是这两类方法相互结合，取长补短发展的结果。它具有广泛的适应性，特别适用于几何及物理条件比较复杂的问题， 而且便于程序的标准化。对椭圆型问题（平衡态问题）有更好的适应性。有限元 法因求解速度较有限差分法和有限体积法满， 因此，在商用CFD软件中应用并不普遍，目前的商用CFD软

15、件中，FIDAP采用的是有限元法。而有限元法目前在固 体力学分析中占绝对比例，几乎所有的固体力学分析软件都是采用有限元法。（3） 有限体积法（Finite Volume Method ，简称FVM是近年发展非常迅 速的一种离散化方法，其特点是计算效率高。目前在CFD领域得到了广泛的应用。 其基本思路是：将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的 控制体积；将待解的微分方程（控制方程）对每一个控制体积分，从而得到一组 离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量， 为了求出控制体的积分，必须假 定因变量值在网格点之间的变化规律。 从积分区域的选取方法看来，有限体积法 属于加权余量法中的

16、子域法，从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局 部近似的离散方法。简言之，子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。简短而言，有限元法，将物理量存储在真实的网格节点上， 将单元看成由周 边节点及型函数构成的统一体；有限体积法往往是将物理量存储在网格单元的中 心点上，而将单元看成围绕中心点的控制体积， 或者在真实网格节点上定义和存 储物理量，而在节点周围构造控制题。1有限差分方法（FDM是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广 泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连 续的求解域。 有限差分法以 Taylor 级 数展开等方法， 把控制方程中的 导数用网格节点上的函数

17、值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节 点上的值为未知数的代数方程组。 该方法是一种直接将微分问题变为代 数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比 较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶 格式、二阶格式和高阶格式。从差分 的空间形式来考虑，可分为中心 格式和逆风格式。 考虑时间因子的影响， 差分格式还可 以分为显格式、 隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式 的组合， 不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构 网格，网格的步 长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。其 基本的差分表达 式主要有三种形式：

18、一阶向前差分、一阶向后差分、 一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度， 后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几 种不同差分格式 的组合，可以组合成不同的差分计算格式。2有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想 是把计算域划分为有限个 互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些 合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各 变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助 于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。 采用不同的权函数和 插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。在有限元方法中， 把计算域离散剖分为有

19、限个互不重叠且相互连接的单 元，在每个单 元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元 中的真解，整个计算域上总体的 基函数可以看为由每个单元基函数组 成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算 格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二 乘法和伽辽 金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多 边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插 值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金 （Galerkin） 法是将权函数取为逼近函数中的基函

20、 数 ；最小二 乘法是令权函数等于余量本身， 而内积的极小值则为对代 求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点 令近似解在选定的 N 个配置点上严格满足微分 方程，即在配置点上令 方程余量为 0。 插值函数一般由不同次幂的多项式组成， 但也有采用三角函数或指数函数组成的乘 积表示，但最常用的多项式插值函数。有 限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多 项式本身在插值点取已 知值，称为拉格朗日 （Lagrange） 多项式插值；另一种不仅要求插 值多 项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值， 称为哈密特 （Hermite） 多项式插值 。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次

21、自然坐标，有对 称和不对称等。常采用的无因 次坐标是一种局部坐标系，它的定义取 决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看 作面积比，三维看作 体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等 参 元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元， 常采用的插 值函数为有 La grange 插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高 阶插值函数、面积坐标系中的线 性插值函数、二阶或更高阶插值函数 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 （1） 建立积分方程， 根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程 初边 值问题等价的积分表达式， 这是有限元法的出发点。 （

22、2） 区域单元剖分， 根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干 相互 连接、不重叠的单元。 区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作， 这部分工 作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之 间的关系之外，还要表示节 点的位置坐标，同时还需要列出自然边界 和本质边界的节点序号和相应的边界值。 （3） 确定单元基函数，根据单 元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值 函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的， 由于 各单元 具有规则的几何形状， 在选取基函数时可遵循一定的法则。 （4） 单元分析： 将各个单元中的求解函数用单元基函数

23、的线性组合表达式进 行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获 得含有待定系数 （即单元中各节点 的参数值 ） 的代数方程组，称为单元 有限元方程。 （5） 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所 有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。 （6） 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件 （ 狄里 克雷边界条件 ） 、自然边界条件 （ 黎曼边界条件 ） 、混合边界条件 （ 柯西 边界条件 ） 。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。 对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程 进行修正满足。 （7

24、） 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方 程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法 求解，可求得各节点的函数值 3有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思 路是：将计算区域 划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点 周围有一个控制体积；将待解的微分 方程对每一个控制体积积分，便 得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量 的数值。为了 求出控制体积的积分，必须假定 值在网格点之间的变化规律，即假设 值 的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积 法属于加权剩余法中 的子区域法；从未知解的近似方法看来

25、，有限体 积法属于采用局部近似的离散方法。简 言之，子区域法属于有限体积 发的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物 理解释。 离散方程的物理意义，就 是因变量 在有限大小的控制体积中 的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒 原理一样。 限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意 一组控制体积都得到满足， 对整个计算区域，自然也得到满足。这是 有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法， 例如有限差分法，仅当 网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使 在粗 网格情况下，也显示出准确的积分守恒。 就离散方法而言，有限体积 法可视作有

26、限单元法和有限差分法的中间物。 有限单元法必 须假定 值 在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差 分法只 考虑网格点上 的数值而不考虑 值在网格点之间如何变化。有 限体积法只寻求 的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在 寻求控制体积的积分时， 必须假定 值在网格 点之间的分布，这又与有 限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制 体积的 积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对 微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。4多重网格方法 通过在疏密不同的网格层上进行迭代 , 以平滑不同频率 的误差分量 .具有收敛速度快 ,精度高等

27、优点 . 多重网格法基本原理微分 方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变化较缓慢的低频分量； 另一类是频率高， 摆动快的高频分量。 一般的迭代方法可以迅速地将摆 动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。高频分量 和低频分量是相对的， 与网格尺度有关， 在细网格上被视为低频的分量， 在粗网格上可能为高频分量。 多重网格方法作为一种快速计算方法，迭 代求解由偏微分方程组离散以后组成的代数方程组， 其基本原理在于一 定的网格最容易消除波长与网格步长相对应的误差分量。 该方法采用不 同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差分量， 首先在细网 格上采用迭代法， 当收敛速度变缓慢时

28、暗示误差已经光滑， 则转移到较 粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量， 这样 逐层进行下去直到消除各种误差分量， 再逐层返回到细网格上。目前两 层网格方法从理论上已证明是收敛的， 并且其收敛速度与网格尺度无关 哈克#迹 988 。 多重网格法是迭代法与粗网格修正的组合，经过 证明迭代法可迅速地将那些高频分量去掉， 粗网格修正则可以帮助消除 那些光滑了的低频分量， 而对那些高频分量基本不起作用。 科研中国 在 多重网格计算中，需要一些媒介把细网格上的信息传递到粗网格上去， 同时还需要一些媒介把粗网格上的信息传递到细网格上去。限制算子 Iih（i-1）h 是把细网格 i-1 层

29、上的残余限制到粗网格 i 层上的算子，最 简单的算子是平凡单射，另外还有特殊加权限制；插值算子 Iih（i-1）h 是把粗网格 i 层上的结果插值到细网格 i-1 层上的算子， 一般采用线性 插值或完全加权限制算子。5近似求解的误差估计办法 共有三大类 : 单元余量法 , 通量投射法及外推法.单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中，它主要是估计 精确算子的余量 ,而不是整套控制方程的全局误差 . 这样就必须假定周围的单元误差并不相互耦合 , 误差计算采用逐节点算法进行 . 单元余量 法的各种不同做法主要来自对单元误差方程的边界条件的不同处理办 法. 基于此, 该方法能够有效处理局部的残

30、余量 ,并能成功地用于网格优 化程序 .通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实 : 精确求解偏微 分方程不可能有不连续的微分 , 而近似求解却可以存在微分的不连续 , 这样产生的误差即来自微分本身 , 即误差为系统的光滑求解与不光滑求 解之差 .该方法与单元余量法一样 ,对节点误差采用能量范数 , 故也能成 功地用于网格优化程序 . 单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差 计算（ 采用能量范数 ）, 误差方程的全局特性没有考虑 .另外计算的可行 性（ 指误差估计方程的计算时间应小于近似求解计算时间 ） 不能在这两种方法中体现 , 因为获得的误差方程数量 , 阶数与流场控制方程相同 . 外 推法是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值 . 各 类文献中较多地采用 Richardson 外推方法来估计截断误差 . 无论是低阶 还是高阶格式 , 随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解 . 但由 于计算机内存与计算时间的限制 , 实际上不能采用这种网格无限加密的 办法.由 Richardson 所发展起来的外推方法 ,可以利用在不同疏密网格 上得出的结果估计相应的收敛解 , 可以估计所用离散方法截断误差的阶 数,可以估计所得数值计算的截断误差 .该