基于matlab的Lorenz系统仿真研究报告文档格式.docx

1、混沌系统1.引言Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。Lorenz方程的表达式如下：其中，、b为正实常数。本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。2.matlab求解Lorenz方程并绘图首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定=10，=30，b=8/3，程序如下所示：function dx=Lo

2、renz（t,x）dx=-10*（x（1）-x（2）;30*x（1）-x（2）-x（1）*x（3）;x（1）*x（2）-2.6667*x（3）;end然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。程序如下所示： clf x0=0.1,0.1,0.1; t,x=ode45（Lorenz,0,100,x0）; subplot（2,2,1） plot（x（:,1）,x（:,3） title（a） subplot（2,2,2）,2）,x（:（b） subplot（2,2,3）,2）（c） subplot（2,2,4） plot3（x（:（d）运行上述程序，可得到如下

3、波形：其中，图（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，图（b）为Lorenz混沌吸引子在y-z平面上的投影，图（c）为Lorenz混沌吸引子在x-y平面上的投影，图（d）为Lorenz混沌吸引子的三维图。可以看到，混沌吸引子在各平面上的投影类似于横写的“8”字形。由于参数=10，=30，b=8/3时为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异会引起系统行为的显著改变。因此，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制此时混沌吸引子在x-z平面上的投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上的投影放在同一图中比较。为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x

4、-z平面上的投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z平面上的投影用红色。 hold on x0=0.1,0.11,0.1;,3）,r*得到的图形如下所示：可以看到，虽然初值只有0.01的改变，红色与蓝色图形明显不重合，这证明了系统的敏感性。3.matlab对Lorenz系统仿真首先利用matlab的Simulink功能，搭建Lorenz系统的模型，仿真模型如下图所示：在仿真模型中，取参数=10，b=8/3，观察参数取不同值时系统的运行状态。根据文献1的分析，当参数01时，系统有三个平衡点：原点O（0,0,0）和P+，P-。此时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是

5、不稳定平衡点。当113.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的P+或P-。可见，是一个同宿分岔点。因此，取初值x=y=z=2，=8，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点P+或P-。取初值x=y=z=2，=18，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：为了观察=13.926的同宿分岔点现象，在=13.926附近不断尝试，最终在=15.39682328时观察到比较明显的过渡迹象。取初值x=y=z=2，=15.39682328，仿真停止时

6、间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：可以看到，虽然最终轨线趋向于与之同侧的平衡点P+或P-，但有着明显的过渡迹象。可以推测，当取15.39682328到15.39682330间的某一个数值时，会出现同宿轨现象。24.74时，P+与P-变为不稳定的，也就是说系统进入“混沌区”。此时三个平衡点O、P+、P-都不稳定。取初值x=y=z=2，=30，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：可以看到，上述图形中，轨线绕着P+若干圈后，又绕着P-若干圈，如此循环，符合文献1的描述。为了观察由系统趋向

7、于与之异侧的平衡点向系统的混沌状态的过渡现象，在=24.74附近反复不断尝试，最终发现当=23.299时，可以观察到明显的过渡迹象。因此，取初值x=y=z=2，=23.299，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：可以看到，在上图中，轨线看起来稳定在一条围绕与之异侧的平衡点的轨道上。仅从仿真运行的这段时间，无法判断系统是处于混沌状态还是会趋向于与之异侧的平衡点，可以看出明显的过渡迹象。4.对Lorenz系统的反馈控制系统的稳定是系统的基本要求。为了使Lorenz系统的不稳定平衡点变为稳定平衡点，根据文献2，可以通过加入反馈控制的方法实

8、现。加入反馈后，Lorenz方程变为：由上式可以看出，第二个方程加入了简单的线性反馈ky。建立加入反馈后的系统仿真模型，如下图所示：根据文献2的分析，当k-35.1时，可以满足使系统稳定的要求。取初值x=y=z=2，=30，仿真停止时间为100，k=-36，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：可以看到，系统很快趋于原点O（0,0,0）并稳定下来，这验证了通过加入反馈使Lorenz系统变得稳定的这一方法的正确性。5.结论本文直观地观察了Lorenz混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性，比较分析了在不同参数下的Lorenz系统

9、仿真结果，最后验证了添加反馈控制这一方法可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。通过使用matlab对Lorenz系统仿真，直观地观察到了Lorenz系统的运行轨迹，加深了对Lorenz方程和混沌现象的理解。参考文献：1崇新.非线性电路理论及应用M.：交通大学出版,2007.201-2082朱少平.Lorenz方程的动力学特性与控制J.教育学院学报，2007,23（4）：81-843赖宏慧.基于matlab的Lorenz系统模拟实验仿真J.科技信息.2010,17:18-194柴彩春.关于Lorenz方程的动力学性态研究J.师学院学报，2011,11（1）：8-105庆花.基于Matlab的lorenz混沌系统仿真J.现代商贸工业，2014,02:194-195