专题六立体几何的综合应用Word格式.docx

1、4关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn.其中真命题的序号是_答案解析m，n可能异面；正确；正确；n或n，又m，mn或m与n相交或异面5过ABC所在平面外一点P，作PO，垂足为O，连结PA、PB、PC，（1）若PAPBPC，C90，则点O是AB边的_点（2）若PAPBPC，则点O是ABC的_心（3）若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案（1）中（2）外（3）垂题型一线面关系的证明例1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE

2、，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE.思维启迪：（1）考虑AD和平面BCC1B1的关系即可；（2）易分析知A1F綊AD.证明（1）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.（2）因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1

3、C1，所以A1F平面BCC1B1.由（1）知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.探究提高线面关系的证明要紧扣定理解答此类问题时，常有以下失分点：（1）不能充分挖掘所给隐含条件造成不知如何入手（2）证明过程中步骤不规范，不严谨 （2012山东）如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.（1）求证：BEDE；（2）若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.证明（1）如图，取BD的中点O，连结CO，EO.由于CBCD，所以COBD.又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，

4、因此BDEO.又O为BD的中点，所以BEDE.（2）方法一如图，取AB的中点N，连结DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.又因为ABD为正三角形，所以BDN30.又CBCD，BCD120，因此CBD30所以DNBC.又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDNN，所以平面DMN平面BEC.又DM平面DMN，所以DM平面BEC.方法二如图，延长AD，BC交于点F，连结EF.因为CBCD，BCD120，所以CBD30因为ABD为正三角形，所以BAD60，ABC90因为AFB30所以ABAF.又ABAD，所以D为

5、线段AF的中点连结DM，由点M是线段AE的中点，得DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，题型二面积、体积的计算例2如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点A1D1平面AB1D；（2）若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱锥B1ABC的体积体积问题的计算要结合图形中的垂直关系，注意等积变换（1）证明连结DD1.在三棱柱ABCA1B1C1中，因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1BD，且B1D1BD.所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以BB1DD1，且BB1DD1.又因为AA1BB1，AA1BB1，所以AA1DD1，AA

6、1DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1AD.又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，故A1D平面AB1D.（2）解方法一在ABC中，因为ABAC，D为BC的中点，所以ADBC.因为平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC，所以AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高在ABC中，由ABACBC4，得AD2在B1BC中，B1BBC4，B1BC60所以B1BC的面积SB1BC424所以三棱锥B1ABC的体积，即三棱锥AB1BC的体积VSB1BCAD428.方法二在B1BC中，因为B1BBC，B1BC60所以B1BC为正三角形，所以B1DBC.B1D平面B

7、1C1CB，所以B1D平面ABC，即B1D是三棱锥B1ABC的高在ABC中，由ABACBC4，得ABC的面积SABC在B1BC中，因为B1BBC4，B1BC60所以B1D2所以三棱锥B1ABC的体积SABCB1D探究提高求几何体的体积要首先确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接公式法、等积法和割补法等多种若所给几何体为不规则几何体，常用等积法和割补法求解 （2011安徽）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形（1）证明：直线BCEF；（2）求棱锥FOBED的体积

8、（1）证明如图所示，设G是线段DA延长线与线段EB延长线的交点由于OAB与ODE都是正三角形，且OD2，所以OB綊DE，OGOD2. 同理，设G是线段DA延长线与线段FC延长线的交点，有OC綊DF，OGOD2.又由于G和G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合在GED和GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B、C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF.（2）解由OB1，OE2，EOB60，知SOBE，而OED是边长为2的正三角形，故SOED所以S四边形OBEDSOBESOED过点F作FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且F

9、Q，所以VFOBEDFQS四边形OBED题型三立体几何中的探索性问题例3（2012北京）如图（1），在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图（2）DE平面A1CB.（2）求证：A1FBE.（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由探索存在性问题一般先假设存在，然后由此推理所需条件（1）证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.（2）证明由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1

10、F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.（3）解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由（2）知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.探究提高存在性问题是立体几何的一般常见题型，解决这类问题既要根据条件和定理进行严格推理，也要大胆猜想，点的存在性问题大多要考虑中点和分点 如

11、图所示，在棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，问过点A1作与截面PBC1平行的截面也是三角形吗？求该截面的面积解取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1.由于A1N綊PC1綊MC，所以四边形A1MCN是平行四边形又A1NPC1，A1MBP，A1NA1MA1，C1PPBP，平面A1MCN平面PBC1.因此，过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形又连结MN，作A1HMN于H，由于A1MA1N，MN2，则A1HSA1MN故SA1MCN2SA1MN2 （cm2）平面图形的折叠问题典例：（16分）已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，A

12、B1，BC2，CD1，过A作AECD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC.BC面CDE；FG面BCD；（3）在线段AE上找一点R，使得面BDR面DCB，并说明理由审题视角（1）在折叠过程中，DEAE，CEAE的性质不变，最终使CEDE.（2）在空间图形中，要证FG平面BCD，可构造平面或构造线段（3）先探究，再证明规范解答（1）证明由已知得：DEAE，DEEC，DE面ABCE，DEBC，又BCCE，DECEE，BC面DCE.3分（2）证明取AB中点H，连结GH，FH，G为AD的中点，GHBD，FHBC，又BD面BCD，GH面BCD，BC面BCD，FH面B

13、CD，GH面BCD，FH面BCD.又GHFHH，GH，FH面FHG，面FHG面BCD，6分GF平面FHG，GF面BCD.8分（3）解R点满足3ARRE时，面BDR面BDC.证明如下：取BD中点Q，连结DR，BR，CR，CQ，RQ.10分容易计算CD2，BD2，CR，BR，DR，CQ在BDR中，BRDR，BD2，RQ在CRQ中，CQ2RQ2CR2，CQRQ，14分又在CBD中，CDCB，Q为BD中点，CQBD.CQ面BDR，又CQ面BDC，面BDC面BDR.16分温馨提醒（1）平面图形的折叠问题是立体几何中的一种重要题型，解决这类问题，关键是抓住折叠前后的不变量和不变的位置关系（2）要准确地画出

14、折叠前后的几何图形，对分析问题会产生至关重要的作用（3）本题易错是第（3）问，探索不到R的具体位置，是导致错解的源头方法与技巧1应用线面平行的判定定理证明线面平行的关键是找到平面内与平面外直线平行的直线；应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为线线平行2证明线线平行、线面平行、面面平行，常常借助线面平行的桥梁作用，实现三者之间的相互转化为达此目的，充分利用现有的平行关系是找到解题思路的关键3空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的失误与防范无论是解题还是

15、证明，一定要注意对文字语言、图形语言和符号语言进行相互转化和相互翻译，使三者之间相辅相成，相得益彰A组专项基础训练（时间：35分钟，满分：62分）一、填空题（每小题5分，共35分）1设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号为_答案解析由面面平行的判定定理可知，正确由线面平行的判定定理可知，正确对于来说，内直线只垂直于和的交线l，得不到其是的垂线，故也得不出.对于来说，l只有和内

16、的两条相交直线垂直，才能得到l.也就是说当l垂直于内的两条平行直线的话，l不一定垂直于.2若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则命题：若m，则m；若m，n，mn，则；若m，m，则；若，则.其中正确命题的序号是_答案解析m也可能成立与也可以相交与可相交也可平行3已知直线a，b，c和平面，给出下列命题：若a，b与成等角，则ab；若，c，则c；若ab，a，则b；，a，则a.其中错误命题的序号是_答案解析由于一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个，所以是正确的其余的都是错误的4在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE

17、.其中正确论断的序号为_解析如图，PABC为正三棱锥，PBAC；又DEAC，DE平面PDE，AC平面PDE，AC平面PDE.故正确5已知a、b是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若a，a，则；若，则；若，a，b，则ab；若，a，b，则ab.其中正确命题的序号有_解析垂直于同一直线的两平面平行，正确；也成立，错；a、b也可异面，错；由面面平行性质知，ab，正确6. 如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是_答案解析对于，PA平面AB

18、C，PABC，AB为O的直径，BCAC，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确7下列命题中正确的个数是_若直线a不在内，则a；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行；若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点；平行于同一平面的两直线可以相交答案2解析错，因为a可以与相交；错，可以有一个点在内，即l与相交时也符合要求；错，可以是异面直线；对；对二、解答题（共27分）8. （13分）如图，已知PA垂

19、直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若PDA45MN平面PCD.（2）试问矩形ABCD满足什么条件时，PCBD.解（1）如图，取PD的中点E，连结AE，NE.E、N分别为PD、PC的中点，EN綊CD.又M为AB的中点，AM綊EN綊AM，四边形AMNE为平行四边形MNAE.PA平面ABCD，PDA45PAD为等腰直角三角形，AEPD.又CDAD，CDPA，CD平面PAD，而AE平面PAD，CDAE.又CDPDD，AE平面PCD.MN平面PCD.（2）连结AC，若PCBD.又PABD，PAPCP，BD平面PAC，BDAC，即矩形ABCD的对角线互相垂直矩形ABCD为正方形，即

20、当矩形ABCD为正方形时，PCBD.9（14分）（2011辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD. PQ平面DCQ；（2）求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值（1）证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.（2）解设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由（1）知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，

21、DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.B组专项能力提升58分）一、填空题（每小题5分，共30分）1已知a，b，c是直线，是平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a与b异面，且a，则b与相交；若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直其中真命题的序号是_解析构造长方体ABCDA1B1C1D1，可排除.2RtABC在给定平面上的射影有如下的判断：可能是一条线段；可能是直角三角形；可能是钝角三角形；可能是锐角三角形；可能是一条直线；可能是一条射线其中正确判断的序号是_答案解析不对，因为RtA

22、BC的边长为有限长，所以它的射影不可能是一条直线；不对，原因同.3. 如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，有下面结论：BD平面CB1D1；AC1BD；AC1平面CB1D1；异面直线AD与CB1所成的角为60.其中正确命题的序号是_解析由BDB1D1，B1D1平面CB1D1，得BD平面CB1D1.BD平面AC1C.由B1C平面ABC1，得AC1B1C，同理AC1B1D1，所以AC1平面CB1D1.AD与B1C成45角4正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_答案解析如图，取CD的中点F、SC的中点G，连结EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知ACEF，又GHSO，GH平面ABCD，ACGH，GHEFH，AC平面EFG，故点P的轨迹是EFG，其周长为5平面，直线a分别和，交于A，B，C，直线b分别交，于D，E，F，且AB2，DE4，EF3，则AC_.解析当a，b异面时，过A点作直线b的平行线交，于E，F，则